У нещодавно оновленому SAT 2016 зміст розділу з математики розподілено Радою коледжу на чотири категорії: «Сутро алгебри», «Розв’язування задач і аналіз даних», «Паспорт для підвищення рівня математики» та «Додаткові теми з математики». Серце алгебри займає найбільшу частину розділу математики SAT (33% тесту) , тому до нього потрібно добре підготуватися. У цій публікації я обговорюватиму вміст цієї категорії та типи запитань, працюватиму над практичними задачами та дам поради щодо вирішення цих питань.

Серце алгебри: Огляд

Вміст покритий

Як випливає з назви, «Серце алгебри» охоплює вміст алгебри, але який саме вміст алгебри? Ці запитання стосуються:

• Лінійні рівняння
• Система рівнянь
• Абсолютне значення
• Побудова графіків лінійних рівнянь
• Лінійні нерівності та системи нерівностей

Нижче я розповім про кожну з цих областей вмісту. Я точно поясню, що вам потрібно знати в кожній області, і проведу вас через деякі практичні завдання.

ПРИМІТКА: Усі практичні задачі в цій статті походять від a справжній практичний тест коледжу SAT (Тренувальний тест №1).

Я рекомендую вам не читати цю статтю, доки ви не пройдете практичний тест №1 (щоб я вам не спойлерив!). Якщо ви не проходили тренувальний тест №1, додайте цю статтю в закладки та поверніться, коли завершите її. Якщо ви вже пройшли тренувальний тест №1, читайте далі!

Серце алгебри Питання Розбивка

Як я вже згадував на початку статті, «Серце алгебри» становить 33% математичної частини, тобто 19 питань. Їх буде вісім у розділі 3 (тест з математики без калькулятора) та 11 у розділі 4 (тест з математики з калькулятором).

Питання «Серце алгебри» відрізняються за поданням. Оскільки їх так багато, Раді коледжу потрібно було змішати, як вони ставлять вам ці запитання. Ви побачите питання з кількома варіантами відповідей і таблиці в серці алгебри. Ви можете просто надати рівняння (рівняння) і їх потрібно розв’язати або ви можете отримати сценарій реального світу як текстову задачу, і потрібно створити рівняння(-я), щоб знайти відповідь.

Математичний розділ SAT представляє питання в порядку складності (визначається тим, скільки часу потрібно середньому учневі, щоб розв’язати задачу, і відсотком учнів, які правильно відповідають на запитання). У цьому розділі ви побачите питання «Серце алгебри». : прості, «легкі» з’являться на початку множинного вибору та сітки, тоді як складніші, які потребують розв’язування рівняння або рівнянь, з’являться ближче до кінця.

Я наведу приклади кожного типу запитань (легких і складних), коли ми дізнаємося про кожну область вмісту в наступному розділі.

Ми на шляху до підкорення алгебри!

Розподіл областей вмісту

Лінійні рівняння

Запитання щодо лінійного рівняння можна представити кількома способами. У легших питаннях щодо лінійного рівняння вам буде запропоновано розв’язати надане вам лінійне рівняння. У складніших питаннях щодо лінійного рівняння вам буде запропоновано написати лінійне рівняння, щоб представити дану ситуацію.

Немає практичних проблем з калькулятором

Це питання є одне з найпростіших, найлегших і найпряміших запитань з алгебри що ти побачиш. Запитання просто просить вас розв’язати лінійне рівняння, не поміщаючи його в реальну ситуацію, яка вимагатиме від вас розуміння контексту, а також рівняння.

Пояснення відповіді:

Оскільки $k=3$, можна замінити k на 3 у рівнянні, що дасть ${x-1}/{3}=3$. Помноживши обидві сторони ${x-1}/{3}=3$ на 3, ви отримаєте $x-1=9$, а якщо додати 1 до кожної сторони, то результат буде $x=10$. D - правильна відповідь.

Порада:

Якщо вам важко вирішити це запитання, ви також можете вирішити його, підключивши варіанти відповіді для x і подивившись, який з них спрацював. Підключення спрацює, але займе більше часу, ніж просто розв’язування рівняння.

Якщо ви розв’язуєте рівняння, щоб знайти х, ви можете ще раз перевірити свою відповідь, підключивши її. Якщо ви вставите свій варіант відповіді для х і обидві сторони рівняння рівні, ви знаєте, що у вас правильна відповідь!

Наступне питання трохи складніше оскільки він просить вас створити лінійне рівняння для представлення реального світу, який воно представляє.

Пояснення відповіді:

Є два шляхи вирішення цієї проблеми.

Підхід 1: Загальна кількість повідомлень, надісланих Арманом, дорівнює швидкості його надсилання текстових повідомлень (м повідомлень на годину), помноженій на 5 годин, які він витратив на надсилання повідомлень: m повідомлень на годину × 5 годин = 5 мільйонів доларів США повідомлень. Подібним чином загальна кількість повідомлень, надісланих Тайроном, дорівнює його швидкості надсилання текстових повідомлень (p SMS/годину), помноженій на 4 години, які він витратив на надсилання SMS-повідомлень: p SMS/година × 4 години = $4p$ SMS. Загальна кількість повідомлень, надісланих Армандом і Тайроном, дорівнює сумі загальної кількості повідомлень, надісланих Армандом, і загальної кількості повідомлень, надісланих Тайроном: $5m+4p$. С - правильна відповідь.

Підхід 2: Виберіть числа та вставте їх. Наприклад, я збираюся вибрати числа та сказати, що Арманд надсилає 3 повідомлення на годину, а Тайрон надсилає 10 повідомлень на годину. Виходячи з наданої інформації, якщо Арманд надсилає текстові повідомлення протягом 5 годин, Арманд надсилає (3 текстові повідомлення на годину) (5 годин) текстові повідомлення або 15 текстових повідомлень; якщо Tyrone надсилає SMS протягом 4 годин, Tyrone надсилає (10 SMS на годину) (4 години) SMS або 40 SMS. Таким чином, загальна кількість текстових повідомлень, надісланих Арманом і Тайроном, становить $15+40=55$. Тепер я додаю числа, які я вибрав, до варіантів відповідей і дивлюсь, чи кількість текстів відповідає 55 текстам, отже, для відповіді C $5(3) +4(10)=15+40=55$ текстів. Отже, С є правильною відповіддю. ПРИМІТКА: для цього запитання ця стратегія була повільнішою, але для більш складних питань це може бути швидшим і простішим підходом.

Порада:

Розглядайте ці проблеми крок за кроком. Обчисліть загальну кількість текстових повідомлень Армана, потім обчисліть загальну кількість текстових повідомлень Тайрона, а потім об’єднайте їх в один вираз. Не поспішайте переходити до остаточної відповіді. Ви можете зробити помилку на цьому шляху.

Системи рівнянь

Питання системи рівнянь будуть представлені так само, як питання лінійних рівнянь; проте, вони складніші оскільки тепер вам потрібно зробити більше кроків і/або створити друге рівняння.

The легша система рівнянь попросить вас розв’язати одну змінну, коли вам дано два рівняння з двома змінними.

The складніші запитання системи рівнянь вимагатиме від вас написати систему рівнянь для представлення даної ситуації, а потім розв’язати одну змінну за допомогою створених вами рівнянь.

Немає практичних проблем з калькулятором

Це питання, мабуть, є найпростіші, найлегші та найзрозуміліші системи рівнянь що ти побачиш. Він встановлює для вас рівняння та просто просить розв’язати x.

Пояснення відповіді:

Віднімання лівої та правої частин $x+y=−9$ від відповідних сторін $x+2y =−25$ дає $(x+2y)−(x+y)=−25−(−9)$ , що еквівалентно $y=−16$. Заміна $−16$ на $y$ у $x+y=−9$ дає $x+(−16)=−9$, що еквівалентно $x=−9−(−16) =7$. Правильна відповідь 7.

Порада:

Підключення може бути хорошим варіантом, якщо вам дано це запитання під час множинного вибору (чого тут немає). Однак ви також могли підключити свою відповідь, щоб ще раз перевірити свою роботу!

Ось ще одне досить просте питання системи рівнянь, але це так трохи складніше оскільки вам потрібно надати відповідь як для x, так і для y (що створює більше можливостей для помилок).

Пояснення відповіді:

Додавання x і 19 до обох сторін $2y−x=−19$ дає $x=2y+19$. Тоді заміна $2y+19$ на x у $3x+4y=−23$ дає $3(2y + 19)+4y=−23$. Останнє рівняння еквівалентно $10y+57=−23$. Розв’язування $10y+57=−23$ дає $y=−8$. Зрештою, заміна −8 замість y у $2y−x=−19$ дає $2(−8)−x=−19$, або $x=3$. Отже, розв’язок $(x, y)$ даної системи рівнянь дорівнює $(3, −8)$.

Порада:

Підключення також було б швидким способом вирішити цю проблему! Коли вас попросять розв’язати обидві змінні в системі рівнянь, завжди намагайтеся підключатися!

Нижче наведено a трохи складніше. Незважаючи на те, що вам надано рівняння, вам усе одно потрібно визначити, що вас запитує (яку змінну потрібно розв’язати), що трохи складніше, оскільки воно задає вам запитання за сценарієм реального світу. Крім того, вам потрібно розв’язати це за допомогою розумової математики (оскільки це в розділі без калькулятора).

Пояснення відповіді:

Щоб визначити ціну за фунт яловичини, коли вона дорівнювала ціні за фунт курки, визначте значення x (кількість тижнів після 1 липня), коли дві ціни були рівними. Ціни були рівними, коли $b=c$; тобто коли $2,35+0,25x=1,75+0,40x$. Останнє рівняння еквівалентно $0,60=0,15x$, отже $x={0,6}/{0,15}=4$. Потім, щоб визначити $b$, ціну за фунт яловичини, замініть $x$ на 4 у $b=2,35+0,25x$, що дає $b=2,35+0,25(4)=3,35$ доларів за фунт. Отже, D є правильною відповіддю.

Порада:

Не поспішайте, працюючи над кожним кроком. Легко зробити невелику помилку і отримати неправильну відповідь.

Практична задача калькулятора

Нижче наведено одне з найскладніших питань з алгебри. На основі реального сценарію, який ви надали в запитанні, вам потрібно створити два рівняння, а потім розв’язати їх.

Пояснення відповіді:

Щоб визначити кількість проданих салатів, складіть і розв’яжіть систему двох рівнянь. Нехай $x$ дорівнює кількості проданих салатів, а $y$ дорівнює кількості проданих напоїв. Оскільки кількість салатів плюс кількість проданих напоїв дорівнює 209, має виконуватися рівняння $x+y=209$. Оскільки кожен салат коштував 6,50, кожна газована вода коштувала 2,00, а загальний дохід становив 836,50, рівняння $6,50x+2,00y=836,50$ також має виконуватися. Рівняння $x+y=209$ еквівалентне $2x+2y=418$, а віднімання кожної сторони $2x+2y=418$ від відповідної сторони $6,50x+2,00y=836,50$ дає $4,5x=418,50 $. Отже, кількість проданих салатів x становила $x={418,50}/{4,50}=93$. Отже, B є правильною відповіддю.

Порада:

Розглядайте ці проблеми крок за кроком. Напишіть рівняння загальної кількості проданих салатів і напоїв, потім обчисліть рівняння доходу, а потім розв’яжіть. Не поспішайте, інакше ви можете зробити помилку.

Абсолютне значення

Зазвичай буде лише одне питання про абсолютне значення у розділі математики SAT. Запитання зазвичай досить просте та зрозуміле, але для правильної відповіді потрібно знати правила абсолютного значення. Все, що є абсолютним значенням, буде взято в дужки зі знаком абсолютного значення, який виглядає так: || Наприклад, $|-4|$ або $|x-1|$

Абсолютне значення — це відстань уздовж числової прямої вперед або назад.

Це означає що будь-який знак абсолютного значення стане додатним оскільки він представляє відстань уздовж числової прямої, і неможливо мати від’ємну відстань. Наприклад, на наведеній вище числовій прямій -2 на 2 віддалений від 0. Все, що знаходиться всередині абсолютного значення, стає додатним.

Це також означає, що рівняння за абсолютним значенням завжди матиме два розв’язки . Наприклад, $|x-1|=2$ матиме два розв’язки $x-1=2$ і $x-1=-2$. Потім ви розв’язуєте кожне окреме рівняння, щоб знайти два розв’язки, $x=3,-1$.

Працюючи над проблемами абсолютного значення, пам’ятайте, що вам потрібно створити два окремих рішення: позитивне та негативне, як ми робили вище.

Практична задача калькулятора

Пояснення відповіді:

Якщо значення $|n−1|+1$ дорівнює 0, то $|n−1|+1=0$. Віднімання 1 з обох сторін цього рівняння дає $|n−1|=−1$. Вираз $|n−1|$ у лівій частині рівняння є абсолютним значенням $n−1$, і, як я щойно згадав, абсолютне значення ніколи не може бути від’ємним числом, оскільки воно представляє відстань. Таким чином, $|n−1|=−1$ не має розв'язку. Отже, не існує значень для n, для яких значення $|n−1|+1$ дорівнює 0. D є правильною відповіддю.

Порада:

Пам'ятайте про правила абсолютної величини (вона завжди позитивна!). Якщо ви пам'ятаєте правила, ви повинні правильно поставити запитання!

Побудова графіків лінійних рівнянь

Ці запитання перевіряють вашу здатність читати графік та інтерпретувати його у формі $y=mx+b$. Коротке оновлення: $y=mx+b$ — це рівняння прямої, де m представляє нахил, а b — точку перетину y.

У цих запитаннях вам, як правило, буде представлений графік прямої, і вам потрібно буде визначити, яким є кут нахилу та точка перетину y, щоб написати рівняння лінії.

Практична задача калькулятора

Пояснення відповіді:

Зв’язок між h і C представлено будь-яким рівнянням даного прямого. Точка перетину прямої C дорівнює 5. Оскільки точки $(0, 5)$ і $(1, 8)$ лежать на прямій, нахил прямої дорівнює ${8-5}/{1-0 }={3}/{1}=3$. Тому зв’язок між h і C можна представити як $C=3h+5$, рівняння нахилу та перетину прямої. С - правильна відповідь.

Порада:

Запам’ятайте форму перетину нахилу ($y=mx+b$) і рівняння нахилу $m={y_2-y_1}/{x_2-x_1}$. Дізнайтеся, що означає кожна змінна в рівняннях. Якщо ви все це знаєте, ви зможете впоратися з будь-якою поставленою задачею лінійного рівняння.

Лінійні нерівності та системи лінійних нерівностей

Це мабуть, найскладніші питання «Серця алгебри». тому що багатьом учням важко, коли змінні поєднуються з нерівностями. Якщо вам потрібно швидко, але глибоко освіжити знання про нерівності, перегляньте наш посібник із нерівностей.

Ці питання зазвичай з’являються в кінці рядків вибору та сітки в кожному розділі. Ці запитання будуть представлені як прості вже встановлені нерівності (вас не попросять створити нерівності, а також вам не буде представлений сценарій реального світу з використанням нерівностей). Незважаючи на те, що вони подані просто, ці запитання є складними, і легко зробити помилку, тому не поспішайте!

Практичні завдання на калькулятор

Пояснення відповіді:

Віднімання $3x$ і додавання 3 до обох сторін $3x−5≥4x−3$ дає $−2≥x$. Отже, x є розв’язком $3x−5≥4x−3$ тоді і тільки тоді, коли x менше або дорівнює −2 і x НЕ є розв’язком $3x−5≥4x−3$ тоді і тільки тоді, коли x більше ніж −2. З наданих варіантів лише −1 є більшим за −2 і, отже, не може бути значенням x. А - правильна відповідь.

Ви також можете спробувати відповісти на це питання, підключивши варіанти відповідей і подивившись, який із них не працює. Якщо додати A до нерівності, ви отримаєте $3(-1)-5≥4(-1)−3$. Якщо спростити нерівність, ви отримаєте -8≥-7, що невірно, тому А є правильною відповіддю.

Порада

Запам'ятайте правила нерівностей! Не поспішайте, проходячи кожен крок, щоб не зробити помилок. Крім того, не забудьте спробувати підключити варіанти відповідей, щоб знайти правильну відповідь!

Давайте поглянемо на інший приклад.

Пояснення відповіді:

Оскільки (0, 0) є розв’язком системи нерівностей, заміна 0 замість x і 0 замість y у даній системі має призвести до двох істинних нерівностей. Після цієї заміни y<−x + a becomes 0 x + b becomes 0>b. Отже, a додатне, а b від’ємне. Отже, a > b. Вибір А правильний.

Порада:

Поводьтеся з цією системою нерівностей із чотирма змінними так само, як із системою нерівностей із двома змінними. Пам’ятайте, що якщо (0,0) є рішенням, це означає, що коли x=0, y=0.

4 ключові стратегії для основи алгебри

Я вставив стратегії для вирішення цих питань у цій статті в розділах «підказки», але зараз я підсумую їх тут.

Стратегія №1: запам’ятайте правила та формулу

Вам потрібно знати правила нерівностей, правила абсолютного значення та формулу для версії відрізка прямої ($y=mx+b$), щоб правильно відповісти на ці типи питань алгебри. Без правил і формули ці запитання практично неможливі.

Якщо вам потрібна додаткова допомога з будь-якою з концепцій, ознайомтеся з нашими докладними посібниками з лінійних рівнянь, систем рівнянь, абсолютного значення, форми відрізка нахилу та лінійних нерівностей і систем нерівностей.

Стратегія №2: підключення відповідей

У питаннях із варіантами відповідей ви повинні завжди перевіряйте, чи можете ви підключити варіанти відповідей до заданих рівнянь або нерівностей, щоб знайти правильну відповідь . Іноді цей підхід буде набагато простішим, ніж спроба розв’язати рівняння.

Навіть якщо ви виявите, що підключення відповідей уповільнює вашу роботу, вам варто принаймні подумати про його використання для перевірки своєї роботи. Вставте варіант відповіді, який ви знайдете, і подивіться, чи він призводить до збалансованого рівняння чи правильних нерівностей. Якщо так, ви знаєте, що у вас правильна відповідь!

Підключіть його! Підключіть його!

Стратегія №3: підключення чисел

Якщо вставляти відповіді неможливо, часто можна вставляти числа, як у питанні 2 вище. Загалом, коли ви вибираєте числа для підключення, я не рекомендую використовувати -1, 0 або 1 (оскільки вони можуть призвести до неправильних відповідей), і обов’язково прочитайте запитання, щоб побачити, які числа вам слід вибрати. Наприклад, у запитанні 2 цифри представляли кількість надісланих текстових повідомлень, тому вам не слід використовувати від’ємне число для позначення кількості текстових повідомлень, оскільки неможливо надіслати від’ємну кількість текстових повідомлень.

Для нерівностей це особливо важливо, часто запитання звучить так: 'наведене нижче вірно для всіх $x>0$'. Якщо це так, ви не можете підключити 0 або -5; ви можете вставляти лише числа, більші за 0, оскільки це параметр, встановлений у запитанні.

Стратегія №4: Працюйте крок за кроком

Щоб отримати запитання Heart of Algebra, вам потрібно не поспішати, опрацьовуючи кожен крок. Ці запитання можуть включати 5, 10, 15 кроків, і вам потрібно не поспішати, щоб переконатися, що ви не зробили маленької помилки на кроці 3, яка призведе до неправильної відповіді. Ви знаєте свою справу, тож не дозволяйте дрібним помилкам коштувати вам балів!

Що далі?

Тепер, коли ви знаєте, чого очікувати від питань Heart of Algebra, переконайтеся, що ви до них готові всі інші теми з математики ви побачите на SAT. Усі наші посібники з математики проведуть вас через стратегії та практичні задачі для всіх тем, які розглядаються в математичному розділі, від цілих чисел до пропорцій, кіл і багатокутників (і багато іншого!).

Хвилюєтеся через день іспиту? Переконайтеся, що ви точно знаєте, що робити, і візьміть із собою, щоб заспокоїтися та заспокоїти нерви, перш ніж прийде час здавати SAT.

Не вистачає часу на розділ з математики SAT? Не дивіться далі, ніж наш посібник, який допоможе вам перевершити час і максимізувати свій бал з математики SAT.

Рибалка, щоб отримати ідеальний бал? Перевірте наш посібник з отримання ідеальних 800 , написаний ідеальним бомбардиром.