Зріз конуса — це особлива форма, яка утворюється, коли ми розрізаємо конус площиною, паралельною його основі. Конус - це тривимірна фігура, що має круглу основу і вершину. Отже, зріз конуса — це суцільний об’єм, утворений видаленням частини конуса площиною, паралельною круглій основі. Усечена точка визначається не лише для конусів, але також може бути визначена для різних типів пірамід (квадратна піраміда, трикутна піраміда тощо).

Деякі з поширених форм усіченого конуса, які ми виявляємо в нашому повсякденному житті, це відра, абажури та інші. Давайте дізнаємось більше про усічений конус із цієї статті.

Що таке січений конус?

Frustum - це латинське слово, що означає шматочки, отже, усічений конус - це суцільний шматок конуса. Коли a правильний круговий конус розсікається площиною, паралельною основі конуса, отримана таким чином фігура називається зрізаною конусом. На малюнку нижче показано, як площина розрізає конус паралельно його основі, утворюючи усічену конусну частину.

Тепер усічений конус легко визначити як

Якщо правильний круговий конус відсічений площиною, паралельною його основі, то форму ділянки між січною площиною та площиною основи називають усіченим конусом.

Сітка шматок конуса

Якщо тривимірну (3D) форму розрізають і перетворюють у двовимірну форму, отримана таким чином форма називається сіткою. Можна припустити, що коли сітка фігури складена належним чином у правильний спосіб, вона утворює бажану тривимірну форму. На наведеному нижче зображенні показана сітка всіченої конуса.

Властивості шматка конуса

Властивості всіченої конуса дуже подібні до властивостей конуса, деякі з важливих властивостей усіченої конуса:

• Основа конуса вихідного конуса міститься у всіченій частині конуса, але його вершина не міститься у всіченій частині.
• Формули усіченої конуса залежать від його висоти та двох радіусів (відповідних верхній і нижній основам).
• Висота усіченої конуса - це перпендикулярна відстань між центрами двох його основ.

Формули шматка конуса

Усічена конуса — це така форма, яку часто можна побачити в нашому повсякденному житті, наприклад, настільні лампи, відра тощо. Важливі формули для усіченої конуса:

• Об'єм шматка конуса
• Площа поверхні всіченої конуса

Давайте детально дізнаємося про ці формули нижче,

Об'єм шматка конуса

Зріз конуса — це розрізана частина конуса, де маленький конус відокремлений від більшого конуса. Тому, щоб обчислити об’єм усіченої конуса, потрібно просто обчислити різницю між об’ємом більшого та меншого конуса.

Припустимо,

• Загальна висота конуса H + h
• Загальна висота нахилу повинна бути l’ + L
• Радіус повного конуса дорівнює r
• Радіус розрізаного конуса дорівнює r’

Оскільки об’єм конуса задано як V = 1/3πr²ч

Об'єм повного конуса V₁= 1/3πr²(H+h)

Об'єм меншого конуса V₂=1/3πr’²(h)

Тепер об’єм усіченої конуса (V) можна обчислити за формулою:

V = V₁- В₂

метод підрядка java

V = 1/3πr²(H+h) – 1/3πr’²(h)

V= 1/3π[r²(H+h) – r’²(h)]…(1)

Використовуючи властивість подібності трикутників △OCD і △OAB, можна записати,

r / (H + h) = r’ / h

r / r’ = (H + h) / h

H + h = год / г’

Підставте це значення (H+h) у рівняння (1) і спростіть,

V = 1/3π[r²(прав / прав’) – п’²(h)}

= 1/3π[{год³– год’³} / r’]…(2)

Знову використовуючи властивість подібного трикутника в △OCD і △OAB, ми знайдемо значення h

r / (H + h) = r’ / h

r / r’ = (H + h) / h

rh = (H + h)r’

rh = Hr’ + hr’

(r -r’)h = Hr’

h = Hr’ / (r -r’)

Підставляючи ці значення в рівняння (2),

V = 1/3π[{r³h – r³h} / r’]

= 1/3π[{r³– р’³}h / r’]

= 1/3π[{r³– р’³}{Hr’ / (r – r’)} / r’]

= 1/3πH(r²+ r’²+рр')

Таким чином,

Об'єм усіченої конуса = 1/3 πH(r ² + r’ ² + рр')

Площа поверхні всіченої конуса

Площу поверхні зрізаного конуса можна обчислити за різницею між площа поверхні повного конуса і менший конус (видалений із повного конуса). Площу поверхні зрізаного конуса можна обчислити за допомогою діаграми нижче, де потрібно підсумувати площі поверхонь вигнутих поверхонь, а також площі поверхонь верхньої та нижньої поверхонь зрізаного конуса.

Подібно до об’єму всіченої конуса, площа вигнутої поверхні також дорівнюватиме різниці між площами поверхні більшого та меншого конуса.

На наведеному вище малюнку трикутники OAB і OCD подібні. Тому, використовуючи критерії подібності, можна написати,

l’ / l = r’ / r…(1)

Оскільки l’ = l – L, отже, з рівняння (1),

(l – L) / l = r’ / r

Після перехресного множення,

lr – Lr = lr’

l(r – r’) = Lr

l = Lr / (r – r’)…(2)

Площа вигнутої поверхні повного конуса = πrl

Площа вигнутої поверхні меншого конуса = πr’l’

Різниця між площею вигнутої поверхні повного конуса та меншого конуса = π (rl – r’l’)

Таким чином, площа вигнутої поверхні (CSA) усіченої конуса = πl (r – r’l’/l)

Використовуйте рівняння (1), щоб підставити значення l’/l у наведене вище рівняння та спростіть,

CSA зрізаного конуса = πl (r – r’×r’/r) = πl (r²– р’²)/р

Тепер підставте значення l з рівняння (2) і спростіть,

розпакування в linux

CSA зрізаного конуса = πlr/(r – r’)× (r²– р’²)/r = πl (r + r')

Таким чином, можна написати,

Площа криволінійної поверхні конуса = πl (r + r’)

Тепер давайте обчислимо площу поверхні верхньої та нижньої основ усіченої конуса, так що,

Площа поверхні верхньої основи усіченого конуса, що має радіус r’ = πr’²

Площа поверхні нижньої основи усіченого конуса, що має радіус r = πr²

Так,

Загальна площа поверхні всіченої конуса = площа вигнутої поверхні всіченої конуса + площа поверхні верхньої основи + площа поверхні нижньої основи

тому

Загальна площа поверхні всіченого конуса = πl (r + r') + πr'²+ πr²= πl (r + r') + π (r²+ r’²)

Таким чином, загальна площа поверхні всіченого конуса = πl (r + r’) + π (r²+ r’²)

Цю формулу також можна записати як

Загальна площа поверхні всіченого конуса = πl (r²– р’²)/r + π (r²+ r’²)

Отже, можна написати,

Загальна площа всіченої поверхні конуса = πl(r + r’) + π (r ² + r’ ² )

або

Загальна площа поверхні зрізаного конуса = πl (r ² – р’ ² )/r + π (r ² + r’ ² )

Зауважте, що l — це похила висота меншого конуса, який можна задати як

L = √ [H ² + (r – r’) ² ]

Читати, більше

• Об'єм конуса
• Об'єм циліндра
• Обсяг кулі

Розв'язані приклади на фрагменті конуса

Приклад 1. Знайдіть об’єм усіченої частини конуса, висота якого 15 см, а радіуси обох основ дорівнюють 5 см і 8 см.

рішення:

Використовуючи вивчену вище формулу, можна записати,

V = 1/3 πH(r²+ r’²+ рр')

враховуючи,

H = 15 см
r’= 5 см
r = 8 см

V = 1/3 π15(8²+ 5²+ 40)

V = 5π(129)

V = 645π см³

приклад 2: Знайдіть площу поверхні та повну площу всіченої поверхні конуса, висота якого 10 см, а радіуси обох основ дорівнюють 4 см і 8 см.

рішення:

Ми знаємо формулу для площі поверхні та загальної площі поверхні усіченої конуса. Нам потрібно вставити потрібні значення.

Площа вигнутої поверхні усіченої кістки = πl(r+r’)

де,
L = √ [H²+ (R – r)²]

враховуючи,
H = 10 см
r = 4 см
R = 8 см

Обчислення значення L,

L = √ [10²+ (8 – 4)²]

= √(100+16) = √(116)

Площа вигнутої поверхні Frustum = πL(R+r)

= π√(116)×(8+4)

= 48π√(29)

Загальна площа поверхні = площа вигнутої поверхні всіченої поверхні + площа обох основ

= 48π√(29) + π(8)²+ p(4)²

= 48π√(29) + 64π + 16π

= 48π√(29) + 80π см²

видалення останнього коміту git

Приклад 3: Припустимо, у нас є відкрите металеве відро, висота якого дорівнює 50 см, а радіуси основ дорівнюють 10 см і 20 см. Знайдіть площу металевий лист, який використовується для виготовлення відра.

рішення:

Ківш має форму зрізу, який закривається знизу. Нам потрібно обчислити загальну площу поверхні цього зріза.

Дано
H = 50 см
r ‘= 10 см
r = 20 см

Площа вигнутої поверхні Frustum = πL(R+r)

L = √ [H²+ (r – r’)²]

L = √ [50²+ (20 – 10)²]

= √(2500+100) = √(2600)

= √100(26) = 10√(26)

Площа вигнутої поверхні Frustum = πL(R+r)

= π10√(26)×(20+10)

= 300π√(26)

Загальна площа поверхні = площа вигнутої поверхні всіченої поверхні + площа обох основ

= 300π√(26) + π(20)²+ π(10)²

= 300π√(26) + 400π + 100π

= (300π√(26) + 500π) см²

Приклад 4: Знайдіть вираз об’єму для всіченої поверхні, якщо її висота дорівнює 6y, а її радіуси дорівнюють y і 2y відповідно.

рішення:

Використовуючи вивчену вище формулу,

V = 1/3 πH(r²+ r’²+ рр')

враховуючи,

H = 6 років
r'= y
r = 2y

V = 1/3 π6[(2y)²+ (та)²+ (y)(2y)]

V = 2πy(7y²)

V = 14πy³одиниця³

Поширені запитання щодо Piece of Cone

Запитання 1: Що таке січений конус?

відповідь:

Коли ми розрізаємо конус таким чином, щоб площина розрізу була паралельна основі конуса. Отриману таким чином фігуру називають усіченим конусом.

Запитання 2: Що таке усічена конічна формула?

відповідь:

Формули усіченої конуса розглядаються нижче. Давайте візьмемо зріз радіуса основи «R» і верхнього радіуса «r», висоту «H» і похилу висоту, тоді,

• Об'єм шматка конуса (V) = 1/3πH(r²+ рр’ + р’²)
• Загальна площа всіченої поверхні конуса = πl (r + r’) + π (r’²+ р²).

Запитання 3: Що таке CSA усіченої кістки?

відповідь:

Площа криволінійної поверхні всіченого конуса обчислюється за формулою:

CSA = πl (r + r')

де,
р' є радіусом верхнього кола усіченої точки
r є радіусом основи
л це висота нахилу

Запитання 4: Яка площа поверхні всіченого конуса?

відповідь:

Площа поверхні зрізаного конуса обчислюється за формулою

java заміна всього

• CSA частини конуса = πl [ (r²– р’²) / r’ ]
• TSA усіченої конуса = π (r²+ r’²) + πl [ (р²– р’²) / r’]

Запитання 5: Який об’єм усіченої конічної частини?

відповідь:

Об'єм усіченої конуса обчислюють за формулою

• V = 1/3πh[ (r³– р’³) / r’]
• V = 1/3πH(r²+ рр’ + р’²)