#practiceLinkDiv { display: none !important; }Дано натуральне число п завдання полягає в тому, щоб знайти суму дільників усіх дільників числа n.
вік Піта Девідсона
приклади:
Input : n = 54 Output : 232 Divisors of 54 = 1 2 3 6 9 18 27 54. Sum of divisors of 1 2 3 6 9 18 27 54 are 1 3 4 12 13 39 40 120 respectively. Sum of divisors of all the divisors of 54 = 1 + 3 + 4 + 12 + 13 + 39 + 40 + 120 = 232. Input : n = 10 Output : 28 Divisors of 10 are 1 2 5 10 Sums of divisors of divisors are 1 3 6 18. Overall sum = 1 + 3 + 6 + 18 = 28Recommended Practice Знайдіть суму дільників Спробуйте!
Користуючись тим, що будь-яке число п можна виразити як добуток простих множників п = стор1k1x стор2k2x ... де p1стор2... є простими числами.
Усі дільники числа n можна виразити як p1ax стор2bx ... де 0<= a <= k1 and 0 <= b <= k2.
Тепер сума дільників буде сумою всіх степенів p1- стор1стор11.... стор1k1помножене на весь ступінь p2- стор2стор21.... стор2k1
Сума дільника n
= (стор1x стор2) + (стор11x стор2) +.....+ (стор1k1x стор2) +....+ (стор1x стор21) + (стор11x стор21) +.....+ (стор1k1x стор21) +........+
(стор1x стор2k2) + (стор11x стор2k2) +......+ (стор1k1x стор2k2).
= (стор1+ стор11+...+ стор1k1) x стор2+ (стор1+ стор11+...+ стор1k1) x стор21+......+ (стор1+ стор11+...+ стор1k1) x стор2k2.
= (стор1+ стор11+...+ стор1k1) x (стор2+ стор21+...+ стор2k2).
Тепер дільники будь-якої paдля p як прості є pстор1...... сторa. А сума дільників буде (стор(a+1)- 1)/(p -1) нехай він визначає f(p).
Таким чином буде сума дільників усіх дільників
= (f(p1) + f(стор11) +...+ f(стор1k1)) x (f(p2) + f(стор21) +...+ f(стор2k2)).
Таким чином, якщо розкласти число n на прості множники, ми можемо знайти суму дільників усіх дільників. Але в цій задачі нам дано, що n є добутком елемента масиву. Знайдіть розкладання кожного елемента на прості множники, використовуючи факт abx aв= аb+c.
Нижче наведено реалізацію цього підходу:
різниця між лисицею та вовкомC++
// C++ program to find sum of divisors of all // the divisors of a natural number. #include
// Java program to find sum of divisors of all // the divisors of a natural number. import java.util.HashMap; class GFG { // Returns sum of divisors of all the divisors // of n public static int sumDivisorsOfDivisors(int n) { // Calculating powers of prime factors and // storing them in a map mp[]. HashMap<Integer Integer> mp = new HashMap<>(); for (int j = 2; j <= Math.sqrt(n); j++) { int count = 0; while (n % j == 0) { n /= j; count++; } if (count != 0) mp.put(j count); } // If n is a prime number if (n != 1) mp.put(n 1); // For each prime factor calculating (p^(a+1)-1)/(p-1) // and adding it to answer. int ans = 1; for (HashMap.Entry<Integer Integer> entry : mp.entrySet()) { int pw = 1; int sum = 0; for (int i = entry.getValue() + 1; i >= 1; i--) { sum += (i * pw); pw *= entry.getKey(); } ans *= sum; } return ans; } // Driver code public static void main(String[] args) { int n = 10; System.out.println(sumDivisorsOfDivisors(n)); } } // This code is contributed by // sanjeev2552
# Python3 program to find sum of divisors # of all the divisors of a natural number. import math as mt # Returns sum of divisors of all # the divisors of n def sumDivisorsOfDivisors(n): # Calculating powers of prime factors # and storing them in a map mp[]. mp = dict() for j in range(2 mt.ceil(mt.sqrt(n))): count = 0 while (n % j == 0): n //= j count += 1 if (count): mp[j] = count # If n is a prime number if (n != 1): mp[n] = 1 # For each prime factor calculating # (p^(a+1)-1)/(p-1) and adding it to answer. ans = 1 for it in mp: pw = 1 summ = 0 for i in range(mp[it] + 1 0 -1): summ += (i * pw) pw *= it ans *= summ return ans # Driver Code n = 10 print(sumDivisorsOfDivisors(n)) # This code is contributed # by mohit kumar 29
// C# program to find sum of divisors of all // the divisors of a natural number. using System; using System.Collections.Generic; class GFG { // Returns sum of divisors of // all the divisors of n public static int sumDivisorsOfDivisors(int n) { // Calculating powers of prime factors and // storing them in a map mp[]. Dictionary<int int> mp = new Dictionary<int int>(); for (int j = 2; j <= Math.Sqrt(n); j++) { int count = 0; while (n % j == 0) { n /= j; count++; } if (count != 0) mp.Add(j count); } // If n is a prime number if (n != 1) mp.Add(n 1); // For each prime factor // calculating (p^(a+1)-1)/(p-1) // and adding it to answer. int ans = 1; foreach(KeyValuePair<int int> entry in mp) { int pw = 1; int sum = 0; for (int i = entry.Value + 1; i >= 1; i--) { sum += (i * pw); pw = entry.Key; } ans *= sum; } return ans; } // Driver code public static void Main(String[] args) { int n = 10; Console.WriteLine(sumDivisorsOfDivisors(n)); } } // This code is contributed // by Princi Singh
<script> // Javascript program to find sum of divisors of all // the divisors of a natural number. // Returns sum of divisors of all the divisors // of n function sumDivisorsOfDivisors(n) { // Calculating powers of prime factors and // storing them in a map mp[]. let mp = new Map(); for (let j = 2; j <= Math.sqrt(n); j++) { let count = 0; while (n % j == 0) { n = Math.floor(n/j); count++; } if (count != 0) mp.set(j count); } // If n is a prime number if (n != 1) mp.set(n 1); // For each prime factor calculating (p^(a+1)-1)/(p-1) // and adding it to answer. let ans = 1; for (let [key value] of mp.entries()) { let pw = 1; let sum = 0; for (let i = value + 1; i >= 1; i--) { sum += (i * pw); pw = key; } ans *= sum; } return ans; } // Driver code let n = 10; document.write(sumDivisorsOfDivisors(n)); // This code is contributed by patel2127 </script>
Вихід:
df loc
28
Часова складність: O(?n log n)
Допоміжний простір: O(n)
Оптимізації:
Для випадків, коли є кілька вхідних даних, для яких нам потрібно знайти значення, яке ми можемо використовувати Решето Ератосфена як обговорювалося в це пост.