Гострокутний, тупокутний, рівнобедрений, рівносторонній… Що стосується трикутників, існує багато різних різновидів, але лише кілька «особливих». Ці спеціальні трикутники мають узгоджені та передбачувані сторони та кути, які можна використовувати, щоб скоротити свій шлях у своїх геометричних або тригонометричних задачах. А трикутник 30-60-90, який вимовляється як «тридцять шістдесят дев’яносто», справді є особливим типом трикутника.
У цьому посібнику ми розповімо вам, що таке трикутник 30-60-90, чому він працює та коли (і як) використовувати свої знання про нього. Тож давайте до цього!
Що таке трикутник 30-60-90?
Трикутник 30-60-90 — це особливий прямокутний трикутник (прямокутний трикутник — це будь-який трикутник, що містить кут 90 градусів), який завжди має градусні кути 30 градусів, 60 градусів і 90 градусів. Оскільки це особливий трикутник, він також має значення довжини сторін, які завжди узгоджені одне з одним.
Базове співвідношення трикутників 30-60-90 таке:
Сторона, протилежна куту 30°: $x$
Сторона, протилежна куту 60°: $x * √3$
Сторона, протилежна куту 90°: x$
Наприклад, трикутник з кутом 30-60-90 градусів може мати довжину сторін:
2, 2√3, 4
7, 7√3, 14
√3, 3, 2√3
скільки там фільмів місія неможлива
(Чому довший катет дорівнює 3? У цьому трикутнику найкоротший катет ($x$) дорівнює $√3$, тому для довшого катета $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$. І гіпотенуза в 2 рази помножена на найкоротший катет, або √3$)
І так далі.
Сторона, протилежна куту 30°, завжди найменша , тому що 30 градусів — це найменший кут. Сторона, протилежна куту 60°, буде середньою довжиною , оскільки 60 градусів є середнім градусним кутом у цьому трикутнику. І, нарешті, сторона, протилежна куту 90°, завжди буде найбільшою стороною (гіпотенузою) тому що 90 градусів - це найбільший кут.
Хоча він може виглядати схожим на інші типи прямокутних трикутників, причина того, що трикутник 30-60-90 такий особливий, полягає в тому, що вам потрібні лише три частини інформації, щоб знайти всі інші вимірювання. Поки ви знаєте значення двох мір кута та довжини однієї сторони (не має значення, яка сторона), ви знаєте все, що вам потрібно знати про свій трикутник.
Наприклад, ми можемо використати формулу трикутника 30-60-90, щоб заповнити всі порожні інформаційні поля трикутників нижче.
Приклад 1
Ми бачимо, що це прямокутний трикутник, у якому гіпотенуза вдвічі більша за довжину одного з катетів. Це означає, що це має бути трикутник 30-60-90, а менша сторона протилежна 30°.
Отже, довший катет має бути навпроти кута 60° і мати розмір * √3$, або √3$.
Приклад 2
семантична помилка
Ми бачимо, що це має бути трикутник 30-60-90, тому що ми бачимо, що це прямокутний трикутник з одним заданим виміром, 30°. Тоді невідзначений кут має дорівнювати 60°.
Оскільки 18 є мірою, протилежною куту 60°, вона має дорівнювати $x√3$. Тоді найкоротший відрізок повинен мати розмір /√3$.
(Зауважте, що довжина катета фактично становитиме /{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$, тому що знаменник не може містити радикал/квадратний корінь).
А гіпотенуза буде (18/√3)$
(Зауважте, що, знову ж таки, ви не можете мати радикал у знаменнику, тому остаточна відповідь дійсно буде 2-кратною довжиною катета √3$ => √3$).
Приклад 3
Знову ж таки, нам дано два вимірювання кута (90° і 60°), тому третя міра буде 30°. Оскільки це трикутник 30-60-90, а гіпотенуза дорівнює 30, найкоротший катет дорівнюватиме 15, а довший — 15√3.
Не потрібно звертатися до чарівної вісімки — ці правила завжди працюють.
Чому це працює: доказ теореми про трикутник 30-60-90
Але чому цей спеціальний трикутник працює так, як він? Як ми знаємо, що ці правила законні? Давайте розберемося, як саме працює теорема про трикутник 30-60-90, і доведемо, чому ці довжини сторін завжди будуть узгодженими.
По-перше, давайте на секунду забудемо про прямокутні трикутники і подивимось на рівносторонній трикутник.
Рівносторонній трикутник — це трикутник, у якого всі сторони рівні й кути рівні. Оскільки сума внутрішніх кутів трикутника завжди дорівнює 180° і 0/3 = 60$, рівносторонній трикутник завжди матиме три кути по 60°.
Тепер давайте опустимо висоту від самого верхнього кута до основи трикутника.
Ми зараз створив два прямі кути і два конгруентні (рівні) трикутники.
Як ми знаємо, що вони рівні трикутники? Тому що ми скинули висоту з рівносторонній трикутник, ми розділили основу рівно навпіл. Нові трикутники також мають одну довжину сторони (висоту), і кожен з них має однакову довжину гіпотенузи. Оскільки вони мають три спільні довжини сторін (SSS), це означає трикутники рівні.
Примітка: два трикутники конгруентні не тільки на основі принципів довжини сторони, сторони, сторони, або SSS, але й на основі мір сторони, кута, сторони (SAS), кута, кута, сторони (AAS) і кута бічний кут (ASA). В основному? Вони точно конгруентні.
Тепер, коли ми довели конгруентність двох нових трикутників, ми бачимо, що кожний з верхніх кутів має дорівнювати 30 градусам (оскільки кожен трикутник уже має кути 90° і 60°, і в сумі вони повинні складати 180°). Це означає ми зробили два трикутники 30-60-90.
І оскільки ми знаємо, що ми розрізаємо основу рівностороннього трикутника навпіл, ми бачимо, що сторона, протилежна куту 30° (найкоротша сторона) кожного з наших 30-60-90 трикутників, рівно половині довжини гіпотенузи .
Отже, давайте назвемо нашу початкову довжину сторони $x$, а нашу поділену навпіл довжину $x/2$.
Тепер все, що нам залишилося зробити, це знайти довжину середини сторони двох трикутників. Для цього ми можемо просто скористатися теоремою Піфагора.
$a^2 + b^2 = c^2$
$(x/2)^2 + b^2 = x^2$
$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$
$b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4$
$b^2 = {3x^2}/4$
додати в масив java
$b = {√3x}/2$
Отже, у нас залишилося: $x/2, {x√3}/2, x$
Тепер давайте помножимо кожну міру на 2, щоб полегшити життя та уникнути всіх дробів. Таким чином, ми залишимо:
$x$, $x√3$, x$
Отже, ми бачимо, що трикутник 30-60-90 буде завжди мають узгоджені довжини сторін $x$, $x√3$ і x$ (або $x/2$, ${√3x}/2$ і $x$).
На щастя для нас, ми можемо довести, що правила трикутника 30-60-90 істинні без всього... цього.
Коли використовувати правила трикутника 30-60-90
Знання правил трикутника 30-60-90 допоможе вам заощадити час і енергію на багатьох різних математичних задачах, а саме на різноманітних геометричних і тригонометричних задачах.
друкувати масив у java
Геометрія
Правильне розуміння трикутників 30-60-90 дозволить вам розв’язувати геометричні питання, які або було б неможливо розв’язати, не знаючи цих правил співвідношення, або, принаймні, потребували б багато часу та зусиль, щоб вирішити «довгий шлях».
Завдяки спеціальним співвідношенням трикутників ви можете обчислити відсутні висоти трикутників або довжини катетів (без використання теореми Піфагора), знайти площу трикутника за допомогою інформації про відсутню висоту чи довжину основи та швидко обчислити периметри.
Щоразу, коли вам потрібна швидкість, щоб відповісти на запитання, запам’ятовуйте ярлики, як-от ваші правила 30-60-90, стане в нагоді.
Тригонометрія
Запам’ятовування та розуміння співвідношення трикутників 30-60-90 також дозволить вам розв’язувати багато тригонометричних завдань без необхідності використання калькулятора або необхідності наближення ваших відповідей у десятковій формі.
Трикутник 30-60-90 має досить прості синуси, косинуси та тангенси для кожного кута (і ці вимірювання завжди будуть послідовними).
Синус 30° завжди буде /2$.
Косинус 60° завжди буде /2$.
Хоча інші синуси, косинуси та тангенси досить прості, це два, які найлегше запам’ятати та, ймовірно, з’являться на тестах. Отже, знання цих правил дозволить вам знайти ці тригонометричні вимірювання якомога швидше.
Поради щодо запам’ятовування правил 30-60-90
Ви знаєте, що ці правила співвідношення 30-60-90 корисні, але як зберегти інформацію в голові? Запам’ятати правила трикутника 30-60-90 — це запам’ятати співвідношення 1: √3 : 2 і знати, що найкоротша сторона завжди протилежна найкоротшому куту (30°), а найдовша сторона завжди протилежна куту. найбільший кут (90°).
Деякі люди запам'ятовують співвідношення, думаючи: $i x$, $o 2 i x$, $i x o √ o3$, ', оскільки послідовність '1, 2, 3' зазвичай легко запам'ятати. Єдиним застережним заходом щодо використання цієї техніки є пам’ятати, що найдовша сторона насправді дорівнює x$, ні $x$, помножене на $√3$.
Інший спосіб запам'ятати свої коефіцієнти - це використовуйте мнемонічну гру слів у співвідношенні 1: корінь 3: 2 у правильному порядку. Наприклад, «Джекі Мітчелл викреслила Лу Геріга і «також виграла Руті»: один, корінь три, два. (І це справжня історія бейсболу!)
Пограйте зі своїми власними мнемонічними засобами, якщо вони вам не подобаються — заспівайте пропорцію до пісні, знайдіть власні фрази «один, корінь три, два» або придумайте вірш про пропорцію. Ви навіть можете просто запам’ятати, що трикутник 30-60-90 є половиною рівностороннього трикутника, і звідси визначити розміри, якщо вам не подобається їх запам’ятовувати.
Однак вам має сенс запам’ятати ці правила 30-60-90, збережіть ці співвідношення в пам’яті для майбутніх питань з геометрії та тригонометрії.
Запам'ятовування - ваш друг, однак ви можете це зробити.
Приклад 30-60-90 Питання
Тепер, коли ми розглянули, як і чому трикутники 30-60-90, давайте попрацюємо над деякими практичними задачами.
Геометрія
Будівельник прихиляє 40-футову драбину до стіни будівлі під кутом 30 градусів від землі. Земля рівна, а сторона будівлі перпендикулярна до землі. Наскільки далеко вгору по будівлі сягає драбина, до найближчого фута?
Не знаючи наших спеціальних правил трикутника 30-60-90, нам довелося б використовувати тригонометрію та калькулятор, щоб знайти розв’язок цієї проблеми, оскільки у нас є лише одна сторона трикутника. Але оскільки ми знаємо, що це a спеціальні трикутник, ми можемо знайти відповідь всього за кілька секунд.
Якщо будівля та земля перпендикулярні одне до одного, це означає, що будівля та земля утворюють прямий (90°) кут. Також враховується, що драбина стикається з землею під кутом 30°. Тому ми бачимо, що кут, що залишився, має становити 60°, що робить цей трикутник 30-60-90.
алгоритми сортування вставками
Тепер ми знаємо, що гіпотенуза (найдовша сторона) числа 30-60-90 дорівнює 40 футам, а це означає, що найкоротша сторона буде вдвічі меншою. (Пам’ятайте, що найдовша сторона завжди вдвічі — x$ — дорівнює найкоротшій стороні.) Оскільки найкоротша сторона протилежна куту 30°, а цей кут є градусною мірою драбини від землі, це означає, що верхня частина драбини вдаряється об будівлю на висоті 20 футів від землі.
Наша остаточна відповідь – 20 футів.
Тригонометрія
Якщо в прямокутному трикутнику sin Θ = /2$, а довжина найкоротшого катета дорівнює 8. Яка довжина відсутньої сторони, яка НЕ є гіпотенузою?
Оскільки ви знаєте свої правила 30-60-90, ви можете розв’язати цю задачу, не потребуючи ні теореми Піфагора, ні калькулятора.
Нам сказали, що це прямокутний трикутник, і ми знаємо з наших спеціальних правил прямокутного трикутника, що синус 30° = /2$. Таким чином, відсутній кут має становити 60 градусів, що робить цей трикутник 30-60-90.
І оскільки це трикутник 30-60-90, і нам сказали, що найкоротша сторона дорівнює 8, гіпотенуза має бути 16, а відсутня сторона має бути * √3$, або √3$.
Наша остаточна відповідь 8√3.
Винос
Пам'ятаючи про правила для трикутників 30-60-90 допоможуть вам скоротити свій шлях через різноманітні математичні задачі . Але майте на увазі, що, хоча знання цих правил є зручним інструментом, який потрібно мати при собі, ви все одно можете вирішити більшість проблем без них.
Слідкуйте за правилами $x$, $x√3$, x$ і 30-60-90 будь-яким зрозумілим для вас способом і намагайтеся дотримуватися їх чітко, якщо можете, але не панікуйте, якщо ви думаєте, гасне, коли настає час хруску. У будь-якому випадку, ви маєте це.
І, якщо вам потрібно більше практики, перегляньте це Вікторина про трикутник 30-60-90 . Вдалого складання тестів!