Похідна функції арктангенса позначається як тан^-1(x) або arctan(x). Це дорівнює 1/(1+x ² ) . Похідна функції арктангенса визначається шляхом визначення швидкості зміни функції arctan відносно незалежної змінної. Техніка знаходження похідних тригонометричних функцій називається тригонометричним диференціюванням.

Похідна Арктану

У цій статті ми дізнаємося про похідну від arctan x і її формулу, включаючи доказ формули. Окрім цього, ми також надали кілька вирішених прикладів для кращого розуміння.

Похідна Arctan x

Похідна функції арктангенса або arctan(x) є 1/(1+x ² ). Arctan x представляє кут, тангенс якого дорівнює x. Іншими словами, якщо y = arctan(x), то tan(y) = x.

Похідну функції можна знайти за допомогою ланцюгового правила. Якщо у вас є складена функція, наприклад arctan(x), ви диференціюєте зовнішню функцію відносно внутрішньої функції, а потім множите на похідну внутрішньої функції.

Похідна формули Arctan x

Формула для похідної, оберненої до tan x, визначається так:

d/dx(arctan(x)) = 1/(1+x ² )

Також перевірити :

найкрасивіша посмішка в світі

• Arctan – формула, графік, ідентифікатори, домен, діапазон і поширені запитання
• Обчислення в математиці
• Зворотний Тригонометрична функція

Доведення похідної Arctan x

Похідну, обернену до tan x, можна довести такими способами:

• Використання Правило ланцюжка
• Використання Метод неявної диференціації
• Використання перших принципів похідних

Похідна Arctan x за правилом ланцюгів

Щоб довести похідну Arctan x за правилом ланцюга, ми використаємо основну тригонометричну та обернену тригонометричну формулу:

• сек²y = 1 + tan²і
• tan(arctan x) = x

Ось доказ похідної від arctan x:

Припустимо, y = arctan(x)

Беручи тан з двох сторін отримуємо:

tan y = tan(arctan x)

tan y = x [як tan (арктан x) = x]

Тепер відрізнимо обидві сторони відносно x

d/dx (tan y) = d/dx(x)

d/dx(tan y) = 1 [як d/dx(x) = 1]

Застосовуючи ланцюгове правило для диференціювання tan y відносно x, ми отримуємо

d/dx(tan y) = сек²y · dy/dx = 1

dy/dx = 1/сек²і

dy/dx = 1/1 + tan²y [як розд²y = 1 + tan²і]

Тепер ми знаємо tan y = x, підставляючи значення у наведене вище рівняння, яке ми отримуємо

dy/dx = 1/1 + x²

Похідна Arctan x методом неявного диференціювання

Похідна арктана x можна довести методом неявного диференціювання. Ми будемо використовувати основні тригонометричні формули, наведені нижче:

• сек²x = ( 1 + tan²x )

• Якщо y = арктан x ⇒ x = tan y і x²= так²і

Почнемо доведення для похідної арктану x , припустимо, що f(x) = y = arctan x

Методом неявного диференціювання

f(x) = y = арктан x

⇒ x = tan y

Беручи похідну з обох сторін відносно x

⇒ d/dx[x] = d/dx[tan y]

⇒ 1 = d/dx[tan y]

Множення та ділення правої частини на dy

⇒ 1 = d/dx[tan y] × dy/dy

хост linux

⇒ 1 = d/dy[tan y] × dy/dx

⇒ 1 = сек²y × dy/dx

⇒ dx/dy = ( 1+tan²y) [Як розд²x = ( 1 + tan²x )]

⇒ dy/dx = 1/( 1+tan²і )

⇒ dy/dx = 1/( 1 + x²) = f'(x)

Тому f'(x) = 1/ ( 1+x²)

Похідна Arctan x за першим принципом

Щоб довести похідну від arctan x за допомогою першого принципу похідної, ми використаємо основні обмеження та тригонометричні формули, наведені нижче:

пронумеруйте алфавіт

• lim_h→0арктан х/х = 1

• arctan x – arctan y = arctan [(x – y)/(1 + xy)]

Почнемо доказ для похідної від arctan x

маємо arctan(x) = y

Застосуємо отримане означення похідної

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan (x + h)- arctan x}{h}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {x + h – x}{1 + (x + h)x})}{h}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac { h}{1 + (x + h)x})}{h imes frac{1 + (x+h)x}{1 + (x + h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {h}{1 + (x + h)x})}{(1+(x+h)x) imes frac{h}{1 + (x + h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +(x+h)x)} imes displaystyle lim_{ h o 0}frac{arctanfrac{h}{1+(x+h)x}}{frac{h}{1+(x+h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +x^2+hx)} imes 1

frac{d arctan x}{dx} = frac{1}{(1 +x^2)}

Також перевірити

• Похідна обернених тригонометричних функцій
• Формули диференціювання
• Зворотні тригонометричні тотожності

Приклади похідної Arctan x

Приклад 1: Знайти похідну функції f(x) = arctan(3x).

рішення:

Ми будемо використовувати правило ланцюга, яке стверджує, що якщо g(x) диференційовна в x і f(x) = arctan (g(x)), то похідна f'(x) визначається як:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

У цьому випадку g(x) = 3x, тому g'(X) = 3. Застосовуючи формулу ланцюгового правила:

f'(x) = 3/(1+(3x)²)

f'(x) = 3/(1+9x²)

Приклад 2: Знайдіть похідну функції h(x) = tan ^-1 (x/2)

рішення:

Ми будемо використовувати правило ланцюга, згідно з яким f(x) = tan^-1(g(x)), то похідна f'(x) визначається як:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

У цьому випадку g(x) = x/2, тому g'(X) = 1/2. Застосування формули ланцюгового правила:

f'(x) = (1/2)/(1+(x/2)²)

f'(x) = (1/2)/(1+x²/4)

Спрощуючи ми отримуємо,

f'(x) = 2/(4+x²)

Приклад 3. Знайдіть похідну f(x) = arctan (2x ² )

панда тане

рішення:

Ми будемо використовувати правило ланцюга, яке стверджує, що якщо g(x) диференційовна в x і f(x) = arctan (g(x)), то похідна f'(x) визначається як:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

У цьому випадку g(x) = 2x², тому g'(X) = 4x.

Застосування формули ланцюгового правила:

f'(x) = 4x/(1+(2x²)²)

f'(x) = 4x/(1+4x⁴)

f'(x) = d/dx(арктан (2 рази²)) = 4x/(1+4x⁴)

java int як рядок

Практичні запитання щодо похідної Arctan x

Q.1: Знайдіть похідну функції f(x) = x ² аркан (2x)

Q.2: Знайдіть похідну функції k(x) = arctan (х ³ +2x)

Q.3: Знайдіть похідну функції p(x) = x arctan(x ² +1)

Q.4: Знайдіть похідну функції f(x) = arctan (x)/1+x

Q.5: Знайдіть похідну функції r(x) = arctan (4x)

Детальніше,

• Похідна в математиці
• Похідна tan, обернена x
• Арктан

Похідна від Arctan x – поширені запитання

Що таке похідна в математиці?

У математиці похідні вимірюють, як функція змінюється, коли змінюється її вхід (незалежна змінна). Похідна функції f(x) позначається як f'(x) або (d /dx)[f(x)].

Що є похідним від tan ^-1 (x)?

Похідне від тан^-1(x) відносно x є 1/1+x²

Що таке зворотне значення tan x?

Arctan є оберненою функцією tan і є однією з обернених тригонометричних функцій. Вона також відома як функція арктан.

Що таке правило ланцюга в Arctan (x)?

Ланцюгове правило є правилом диференціювання. Для арктану (u), правило ланцюга стверджує, що якщо f(x) = arctan(u), то f'(x) = (1/1+u²)× du/dx. Застосування цього до arctan(x), де u=x, дає 1/1+x²

Що таке похідна від f(x) = x tan ^-1 (x)?

Похідна f(x) = xtan^-1(x) можна знайти за правилом добутку. Результат є так ^-1 (x) + {x/(1 + x ² )} .

Що таке антипохідна Arctan x?

Першопохідна від arctan x визначається як ∫tan^-1x dx = x tan^-1x – ½ ln |1+x²| + C.

Що таке похідна?

Похідна функції визначається як швидкість зміни функції відносно незалежної змінної.