logo

TechCodeview

Зворотні тригонометричні тотожності

Зворотні тригонометричні тотожності: У математиці обернені тригонометричні функції також відомі як аркус-функції або антитригонометричні функції. Обернені тригонометричні функції є функціями, оберненими до основних тригонометричних функцій, тобто синуса, косинуса, тангенса, косекансу, секансу та котангенса. Використовується для знаходження кутів з будь-яким тригонометричним співвідношенням. Обернені тригонометричні функції зазвичай використовуються в таких галузях, як геометрія, інженерія тощо. Представлення обернених тригонометричних функцій:

Якщо a = f(b), то обернена функція є



b = f-1(а)

ідея intellij проти затемнення

Прикладами обернених обернених тригонометричних функцій є sin-1х, cos-1х, отже-1x тощо.

Зміст



Область визначення та діапазон обернених тригонометричних тотожностей

У наведеній нижче таблиці показано деякі тригонометричні функції з їх областю визначення та діапазоном.

функція Домен Діапазон
y = без-1х[-одинадцять][-p/2, p/2]
y = cos-1х[-одинадцять][0, p]
y = cosec-1х Р – (-1,1)[-π/2,π/2] – {0}
y = сек-1х Р - (-одинадцять)[0, π] – {π/2}
y = так-1х Р (-p/2, p/2)
y = ліжечко-1х Р (0, p)

Властивості обернених тригонометричних функцій

Нижче наведено властивості обернених тригонометричних функцій:

Властивість 1:



  1. без-1(1/x) = cosec-1x, для x ≥ 1 або x ≤ -1
  2. cos-1(1/х) = сек-1x, для x ≥ 1 або x ≤ -1
  3. так-1(1/x) = дитяче ліжечко-1x, для x> 0

Властивість 2:

  1. без-1(-x) = -sin-1x, для x ∈ [-1 , 1]
  2. так-1(-x) = -tan-1x, для x ∈ R
  3. cosec-1(-x) = -cosec-1x, для |x| ≥ 1

Властивість 3

  1. cos-1(-x) = π – cos-1x, для x ∈ [-1 , 1]
  2. сек-1(-x) = π – сек-1x, для |x| ≥ 1
  3. ліжечко-1(-x) = π – кот-1x, для x ∈ R

Властивість 4

  1. без-1х + cos-1x = π/2, для x ∈ [-1,1]
  2. так-1х + ліжечко-1x = π/2, для x ∈ R
  3. cosec-1х + сек-1x = π/2 для |x| ≥ 1

Властивість 5

  1. так-1х + отже-1y = так-1( x + y )/(1 – xy), для xy <1
  2. так-1х – отже-1y = так-1(x – y)/(1 + xy), для xy> -1
  3. так-1х + отже-1y = π + tan-1(x + y)/(1 – xy), для xy>1 ; x, y>0

Властивість 6

  1. 2тан-1х = гріх-1(2x)/(1 + x2), для |x| ≤ 1
  2. 2тан-1х = cos-1(1 – х2)/(1 + x2), для x ≥ 0
  3. 2тан-1х = так-1(2x)/(1 – x2), для -1

Тотожності оберненої тригонометричної функції

Нижче наведено тотожності обернених тригонометричних функцій:

  1. без-1(sin x) = x за умови -π/2 ≤ x ≤ π/2
  2. cos-1(cos x) = x за умови 0 ≤ x ≤ π
  3. так-1(tan x) = x за умови -π/2
  4. без-1x) = x за умови -1 ≤ x ≤ 1
  5. cos(cos-1x) = x за умови -1 ≤ x ≤ 1
  6. так Так-1x) = x за умови x ∈ R
  7. cosec(cosec-1x) = x за умови -1 ≤ x ≤ ∞ або -∞
  8. сек (сек-1x) = x за умови 1 ≤ x ≤ ∞ або -∞
  9. ліжечко (ліжечко-1x) = x за умови -∞
  10. sin^{-1}(frac{2x}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  11. cos^{-1}(frac{1 – x^2}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  12. tan^{-1}(frac{2x}{1 – x^2}) = 2 tan^{-1}x
  13. 2cos-1х = cos-1(2 рази2- 1)
  14. 2гріх-1х = гріх-12x√(1 – x2)
  15. 3гріх-1х = гріх-1(3x-4x3)
  16. 3cos-1х = cos-1(4x3– 3x)
  17. 3тан-1х = так-1((3x – x3/1 – 3х2))
  18. без-1x + sin-1y = без-1{ x√(1 – y2) + y√(1 – x2)}
  19. без-1x – sin-1y = без-1{ x√(1 – y2) – y√(1 – x2)}
  20. cos-1х + cos-1y = cos-1[xy – √{(1 – x2)(1 – і2)}]
  21. cos-1x – cos-1y = cos-1[xy + √{(1 – x2)(1 – і2)}
  22. так-1х + отже-1y = так-1(x + y/1 – xy)
  23. так-1х – отже-1y = так-1(x – y/1 + xy)
  24. так-1х + отже-1і +загар-1z = так-1(x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

Люди також переглядають:

Приклади завдань на обернені тригонометричні тотожності

Питання 1: Спробуйте без -1 х = сек -1 1/√(1-x 2 )

рішення:

Нехай без-1х = у

⇒ sin y = x , (оскільки sin y = перпендикуляр/гіпотенуза ⇒ cos y = √(1- перпендикуляр2)/гіпотенуза )

⇒ cos y = √(1 – x2), тут гіпотенуза = 1

⇒ sec y = 1/cos y

⇒ sec y = 1/√(1 – x2)

⇒ y = сек-11/√(1 – х2)

⇒ без-1х = сек-11/√(1 – х2)

Отже, доведено.

Питання 2: Спробуйте так -1 x = cosec -1 √(1 + x 2 )/x

рішення:

Нехай так-1х = у

⇒ tan y = x, перпендикуляр = x і основа = 1

⇒ sin y = x/√(x2+ 1) , (оскільки гіпотенуза = √(перпендикуляр2+ база2) )

⇒ cosec y = 1/sin y

⇒ cosec y = √(x2+ 1)/х

⇒ y = cosec-1√(x2+ 1)/х

⇒ так-1x = cosec-1√(x2+ 1)/х

Отже, доведено.

Питання 3: Оцініть себе як -1 x)

рішення:

Нехай cos-1х = у

⇒ cos y = x, основа = x і гіпотенуза = 1, тому sin y = √(1 – x2)/1

⇒ tan y = sin y/ cos y

⇒ tan y = √(1 – x2)/x

⇒ y = так-1√(1 – x2)/x

⇒ cos-1х = так-1√(1 – x2)/x

Отже, tan(cos-1x) = tan(tan-1√(1 – x2)/x ) = √(1 – x2)/x.

Питання 4: так -1 √(sin x) + кот -1 √(sin x) = y. Знайдіть co і.

рішення:

Ми знаємо, що загар-1х + ліжечко-1x = /2, отже, порівнюючи цю тотожність із рівнянням, наведеним у запитанні, ми отримуємо y = π/2

Отже, cos y = cos π/2 = 0.

Питання 5: так -1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2)тан -1 x, x> 0. Розв’яжіть для x.

рішення:

так-1(1 – x)/(1 + x) = (1/2)тан-1х

⇒ 2тан-1(1 – x)/(1 + x) = tan-1x …(1)

Ми це знаємо, 2tan-1х = так-12x/(1 – x2).

Тому LHS рівняння (1) можна записати як

так-1[ { 2(1 – x)/(1 + x)}/{ 1 – [(1 – x)(1 + x)]2}]

= так-1[ {2(1 – x)(1 + x)} / { (1 + x)2– (1 – х)2}]

= так-1[ 2(1 – х2)/(4x)]

= так-1(1 – х2)/(2x)

Оскільки LHS = RHS, отже

так-1(1 – х2)/(2x) = загар-1х

⇒ (1 – х2)/2x = x

⇒ 1 – х2= 2х2

⇒ 3 рази2= 1

⇒ x = ± 1/√3

Оскільки x має бути більше 0, тому x = 1/√3 є прийнятною відповіддю.

Питання 6: Спробуйте так -1 √x = (1/2)cos -1 (1 – x)/(1 + x)

рішення:

Нехай так-1√x = y

⇒ tan y = √x

⇒ так2y = x

тому

RHS = (1/2)cos-1(1 - так2y)/(1 + tan2і)

= (1/2)cos-1(тому що2і без2y)/(cos2і + без2і)

= (1/2)cos-1(тому що2і без2і)

= (1/2)cos-1(cos 2y)

= (1/2)(2y)

= і

= так-1√x

= LHS

Отже, доведено.

Питання 7: так -1 (2x)/(1 – x 2 ) + дитяче ліжечко -1 (1 – х 2 )/(2x) = π/2, -1

рішення:

так-1(2x)/(1 – x2) + дитяче ліжечко-1(1 – х2)/(2x) = π/2

⇒ так-1(2x)/(1 – x2) + так-1(2x)/(1 – x2) = π/2

⇒ 2тан-1(2x)/(1 – x2) = ∏/2

⇒ так-1(2x)/(1 – x2) = ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = tan ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = 1

⇒ 2x = 1 – x2

⇒ x2+ 2x -1 = 0

⇒ x = [-2 ± √(22– 4(1)(-1))] / 2

⇒ x = [-2 ± √8] / 2

⇒ x = -1 ± √2

⇒ x = -1 + √2 або x = -1 – √2

Але відповідно до запитання x ∈ (-1, 1), отже, для даного рівняння набором розв’язків є x ∈ ∅.

Питання 8: так -1 1/(1 + 1,2) + тан -1 1/(1 + 2,3) + … + так -1 1/(1 + n(n + 1)) = tan -1 х. Розв’язати х.

рішення:

так-11/(1 + 1,2) + тан-11/(1 + 2,3) + … + tan-11/(1 + n(n + 1)) = tan-1х

⇒ так-1(2 – 1)/(1 + 1,2) + загар-1(3 – 2)/(1 + 2,3) + … + отже-1(n + 1 – n)/(1 + n(n + 1)) = tan-1х

⇒ (так-12 – так-11) + (так-13 – так-12) + … + (так-1(n + 1) – отже-1n) = так-1х

⇒ так-1(n + 1) – отже-11 = так-1х

⇒ так-1n/(1 + (n + 1).1) = tan-1х

⇒ так-1n/(n + 2) = tan-1х

⇒ x = n/(n + 2)

Запитання 9: Якщо 2tan -1 (без х) = так -1 (2сек x), а потім розв’яжіть для x.

рішення:

2тан-1(без х) = так-1(2 сек х)

⇒ так-1(2sin x)/(1 – sin2х) = так-1(2/cos x)

⇒ (2sin x)/(1 – sin2x) = 2/cos x

⇒ sin x/cos2x = 1/cos x

⇒ sin x cos x = cos2х

⇒ sin x cos x – cos2х = 0

⇒ cos x(sin x – cos x) = 0

⇒ cos x = 0 або sin x – cos x = 0

⇒ cos x = cos π/2 або tan x = tan π/4

⇒ x = π/2 або x = π/4

Але при x = π/2 даного рівняння не існує, тому x = π/4 є єдиним розв’язком.

Питання 10: Доведіть, що ліжечко -1 [ {√(1 + sin x) + √(1 – sin x)}/{√(1 + sin x) – √(1 – sin x)}] = x/2, x ∈ (0, π/4) )

рішення:

Тому нехай x = 2y

LHS = дитяче ліжечко-1[{√(1+sin 2y) + √(1-sin 2y)}/{√(1+sin 2y) – √(1-sin 2y)}]

= ліжечко-1[{√(cos2і + без2y + 2sin y cos y) + √(cos2і + без2y – 2sin y cos y)}/{√(cos2і + без2y + 2sin y cos y) – √(cos2і + без2y – 2sin і cos y)} ]

= ліжечко-1[{√(cos y + sin y)2+ √(cos y – sin y)2} / {√(cos y + sin y)2– √(cos і – sin і)2}]

= ліжечко-1[(cos y + sin y + cos y – sin y )/(cos y + sin y – cos y + sin y)]

= ліжечко-1(2cos y)/(2sin y)

= ліжечко-1(ліжечко і)

= і

= х/2.

Практичні завдання на обернені тригонометричні тотожності

Задача 1: Розв’яжіть x у рівнянні sin -1 (x) + cos -1 (x) = π/2

Задача 2: Доведіть, що тан -1 (1) + так -1 (2) + так -1 (3) = стор

Проблема 3: обчисліть cos⁡(без -1 (0,5))

Проблема 4: Якщо тан -1 (х) + засмага -1 (2x) = π/4, тоді знайдіть x

Поширені запитання щодо обернених тригонометричних тотожностей

Що таке обернені тригонометричні функції?

Обернені тригонометричні функції — функції, обернені до основних тригонометричних функцій (синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс і котангенс). Вони використовуються для знаходження кутів, що відповідають заданим тригонометричним співвідношенням.

Чому обернені тригонометричні функції важливі?

Обернені тригонометричні функції важливі в різних галузях, як-от геометрія, інженерія та фізика, оскільки вони допомагають визначати кути на основі тригонометричних співвідношень, що має вирішальне значення для вирішення багатьох практичних завдань.

Які області визначення та області обернених тригонометричних функцій?

Кожна обернена тригонометрична функція має певні домени та діапазони:

с в -1 (x) : домен [-1, 1] і діапазон [- π/2, π/2]

cos -1 (x) : домен [-1, 1] і діапазон [0, π]

так⁡ -1 (x) : домен R і діапазон (- π/2, π/2)

Чи можна обернені тригонометричні функції використовувати в численні?

Так, обернені тригонометричні функції часто використовуються в численні для інтегрування та диференціювання. Вони особливо корисні для інтегрування функцій, які містять тригонометричні вирази.