У цій статті ми збираємося обговорити матрицю суміжності та її представлення.

c++ розділення рядка

Визначення матриці суміжності

У теорії графів матриця суміжності — це щільний спосіб опису скінченної структури графа. Саме двовимірна матриця використовується для відображення асоціації між вузлами графа.

Якщо графік має п кількість вершин, то матриця суміжності цього графа дорівнює n x n , і кожен запис матриці представляє кількість ребер від однієї вершини до іншої.

Матриця суміжності також називається as матриця підключення . Іноді його також називають a Матриця вершин .

Представлення матриці суміжності

Якщо неорієнтований граф G складається з n вершин, то матриця суміжності графа має вигляд n x n матриці A = [aij] і визначається як -

a_ij= 1 {якщо існує шлях з V_iдо В_j}

a_ij= 0 {Інакше}

Давайте розглянемо деякі важливі моменти щодо матриці суміжності.

• Якщо між вершиною V існує ребро_iі В_j, де i — рядок, а j — стовпець, тоді значення a_ij= 1.
• Якщо між вершиною V немає ребра_iі В_j, то значення a_ij= 0.
• Якщо в простому графі немає самоциклів, то матриця вершин (або матриця суміжності) повинна мати 0 на діагоналі.
• Матриця суміжності є симетричною для неорієнтованого графа. Він визначає, що значення в i^тисрядок і j^тисдорівнює значенню в j^тисряд i^тис
• Якщо матриця суміжності помножена сама на себе, і якщо в i є ненульове значення^тисрядок і j^тисколони, далі йде траса від с_iдо В_j­­з довжиною, еквівалентною 2. Ненульове значення в матриці суміжності означає наявність певної кількості окремих шляхів.

Примітка. У матриці суміжності 0 означає, що між двома вузлами немає зв’язку, тоді як 1 означає, що зв’язок існує між двома вузлами.

Як створити матрицю суміжності?

Припустимо, є граф g з п кількість вершин, то матриця вершин (або матриця суміжності) задається як -

А = а_{одинадцять}a₁₂. . . . . a_1нa_{двадцять один}a₂₂. . . . . a_2н. . . . . . . . . a_n1a_n2. . . . . a_пп

Де a_ijдорівнює кількості ребер від вершини i до j. Як згадувалося вище, матриця суміжності є симетричною для неорієнтованого графа, тому для неорієнтованого графа_ij= а_хі.

Якщо графи прості і немає ваг на ребрах або множинних ребрах, тоді елементи матриці суміжності будуть 0 і 1. Якщо немає самоциклів, тоді діагональні записи матриці суміжності будуть 0.

Тепер давайте подивимося на матрицю суміжності для неорієнтованого графа та орієнтованого графа.

math pow java

Матриця суміжності для неорієнтованого графа

У неорієнтованому графі ребра не пов’язані з напрямками з ними. У неорієнтованому графі, якщо існує ребро між вершиною A і вершиною B, тоді вершини можуть бути перенесені з A в B, а також з B в A.

Розглянемо наведений нижче неорієнтований граф і спробуємо побудувати для нього матрицю суміжності.

Ми бачимо, що на графіку немає самоциклу, тому діагональні елементи суміжної матриці дорівнюватимуть 0. Матриця суміжності наведеного вище графіка буде -

Матриця суміжності для орієнтованого графа

В орієнтованому графі ребра утворюють впорядковану пару. Ребра представляють певний шлях від деякої вершини A до іншої вершини B. Вузол A називається початковим вузлом, тоді як вузол B називається кінцевим вузлом.

Розглянемо наведений нижче орієнтований граф і спробуємо побудувати для нього матрицю суміжності.

На наведеному вище графіку ми бачимо, що немає самоциклу, тому діагональні елементи суміжної матриці дорівнюватимуть 0. Матриця суміжності наведеного вище графа буде -

чому інтерфейс маркера в java

Властивості матриці суміжності

Нижче наведено деякі властивості матриці суміжності:

• Матриця суміжності — це матриця, яка містить рядки та стовпці, які використовуються для представлення простого позначеного графа з числами 0 і 1 у позиції (V_я, ІН_j), відповідно до умови, чи є два V_{i ­} і В_jє суміжними.
• Для орієнтованого графа, якщо існує ребро між вершиною i або V_iдо вершини j або V_j, то значення A[V_i][IN_j] = 1, інакше значення буде 0.
• Для неорієнтованого графа, якщо між вершиною i або V існує ребро_iдо вершини j або V_j, то значення A[V_i][IN_j] = 1 і A[V_j][IN_i] = 1, інакше значення буде 0.

Давайте розглянемо деякі питання матриці суміжності. Нижче наведено питання щодо зважених неорієнтованих і орієнтованих графів.

ПРИМІТКА. Граф називається зваженим графом, якщо кожному ребру присвоєно додатне число, яке називається вагою ребра.

Питання 1 - Якою буде матриця суміжності для наведеного нижче неорієнтованого зваженого графа?

Рішення - У наведеному запитанні немає самоциклу, тому зрозуміло, що діагональні елементи суміжної матриці для наведеного вище графа дорівнюватимуть 0. Наведений вище граф є зваженим неорієнтованим графом. Ваги на ребрах графа будуть представлені як елементи матриці суміжності.

Матриця суміжності наведеного вище графа буде -

char до внутр

Питання 2 - Якою буде матриця суміжності для орієнтованого нижче зваженого графа?

Рішення - У наведеному запитанні немає самоциклу, тому зрозуміло, що діагональні елементи суміжної матриці для наведеного вище графа будуть 0. Наведений вище граф є зваженим орієнтованим графом. Ваги на ребрах графа будуть представлені як елементи матриці суміжності.

Матриця суміжності наведеного вище графа буде -

Сподіваюся, ця стаття стане в нагоді для вас, щоб зрозуміти, що стосується матриці суміжності. Тут ми обговорили матрицю суміжності, а також її створення та властивості. Ми також обговорили формування матриці суміжності на орієнтованих чи неорієнтованих графах, незалежно від того, зважені вони чи ні.