logo

TechCodeview

Подібні трикутники

Подібні трикутники це трикутники однакової форми, але можуть мати різні розміри. Подібні трикутники мають відповідні сторони, пропорційні одна одній, і відповідні кути, рівні між собою. Подібні трикутники відрізняються від рівних трикутників. Дві конгруентні фігури завжди подібні, але дві подібні фігури не обов'язково повинні бути рівними.

Два трикутники вважаються подібними, якщо їхні відповідні кути збігаються, а сторони пропорційні. Це означає, що подібні трикутники мають однакову форму, хоча їхні розміри можуть відрізнятися. З іншого боку, трикутники визначаються як конгруентні, якщо вони не тільки мають однакову форму, але й мають відповідні сторони, однакові за довжиною.



Тепер давайте дізнаємося більше про Подібні трикутники та їхні властивості з розв’язаними прикладами та інше докладно в цій статті.

Зміст

Які подібні Трикутники?

Подібні трикутники – це трикутники, схожі один на одного, але їхні розміри можуть відрізнятися. Подібні предмети мають однакову форму, але різні розміри. Це означає, що подібні форми, якщо їх збільшувати або зменшувати, повинні накладатися одна на одну. Ця властивість подібних форм відома як Подібність .



Є три подібні теореми про трикутник:

  • AA (або AAA) або Теорема подібності кута-кута
  • SAS або Теорема подібності сторони-кута-сторони
  • SSS або Теорема подібності сторони-сторони

Означення подібних трикутників

Два трикутники називаються подібними трикутниками, якщо їх відповідні кути рівні, а відповідні сторони знаходяться в однаковій пропорції. Відповідні кути двох подібних трикутників повинні бути рівними. Подібні трикутники можуть мати різні відповідні довжини сторін трикутника, але відношення довжин відповідних сторін повинно бути однаковим.

Коли два трикутники подібні, це означає, що:



приклади автоматів dfa
  • Усі пари відповідних кутів у трикутниках рівні.
  • Усі пари відповідних сторін трикутника пропорційні.

Символ ∼ використовується для представлення подібності між подібними трикутниками. Отже, коли два трикутники подібні, ми записуємо це як △ABC ∼ △DEF.

Приклади подібних трикутників

Різні приклади подібних трикутників:

  • Якщо ми візьмемо два трикутники зі сторонами у співвідношенні, то вони будуть подібними трикутниками.
  • Стовпи прапорів і їхні тіні представляють подібні трикутники.

Трикутники, показані на зображенні нижче, подібні, і ми представляємо їх як △ABC ∼ △PQR.

Подібні трикутники

Основна теорема пропорційності (теорема Фалеса)

Основна теорема пропорційності, також відома як теорема Фалеса, є фундаментальною концепцією геометрії, яка стосується подібності трикутників. У ньому сказано, що якщо лінію провести паралельно одній стороні трикутника, то вона пропорційно ділить дві інші сторони. Простіше кажучи, якщо лінія, паралельна одній стороні трикутника, перетинає дві інші сторони, вона пропорційно ділить ці сторони.

Математично, якщо пряму DE провести паралельно одній стороні трикутника ABC, яка перетинає сторони AB і AC у точках D і E відповідно, то згідно з основною теоремою пропорційності:

BD/DA = CE/HER

Ця теорема є наслідком подібності трикутників, утворених паралельною прямою і сторонами вихідного трикутника. Зокрема, трикутники ADE і ABC, а також трикутники ADC і AEB подібні через рівність відповідних кутів. Отже, співвідношення відповідних сторін у подібних трикутниках рівні, що призводить до співвідношення пропорційності, описаного основною теоремою пропорційності.

Основна теорема пропорційності широко використовується в геометрії та тригонометрії для розв’язування різноманітних задач із паралельними прямими та трикутниками. Він служить основоположним принципом для розуміння властивостей подібних трикутників і зв’язків між їхніми відповідними сторонами та кутами. Крім того, він формує основу для більш просунутих концепцій геометрії, таких як теорема про паралельні лінії та застосування в різних геометричних конструкціях і доказах.

Критерії подібних трикутників

Якщо два трикутники подібні, вони повинні відповідати одному з наступних правил:

  • Дві пари відповідних кутів рівні. (Правило AA)
  • Три пари відповідних сторін пропорційні. (Правило SSS)
  • Дві пари відповідних сторін пропорційні, а відповідні кути між ними рівні. (Правило SAS)

Читайте детально: Критерії подібних трикутників

Формула подібних трикутників

У минулому розділі ми вивчили дві умови, за допомогою яких можна перевірити, подібні дані трикутники чи ні. Умови такі, коли два трикутники подібні; їх відповідні кути рівні, або відповідні сторони пропорційні. Використовуючи будь-яку умову, ми можемо довести, що △PQR і △XYZ подібні з наступного набору подібних формул трикутника.

Формула для подібних трикутників у геометрії

У △PQR і △XYZ, якщо,

  1. ∠P = ∠X, ∠Q = ∠Y, ∠R = ∠Z
  2. PQ/XY = QR/YZ = RP/ZX

Наведені вище трикутники подібні, тобто △PQR ∼ △XYZ.

Подібні правила трикутника

Теореми подібності допомагають нам визначити, чи подібні два трикутники чи ні. Якщо ми не маємо вимірювання кутів або сторін трикутників, ми використовуємо теореми подібності.

Нижче наведено три основні типи правил подібності:

  • AA (або AAA) або Теорема подібності кута-кута
  • SAS або Теорема подібності сторони-кута-сторони
  • SSS або Теорема подібності сторони-сторони

Кут-кут (AA) або теорема подібності AAA

Критерій подібності АА стверджує, що якщо будь-які два кути в трикутнику відповідно дорівнюють будь-яким двом кутам іншого трикутника, то вони повинні бути подібними трикутниками. Правило подібності АА легко застосувати, коли ми знаємо лише міру кутів і не маємо уявлення про довжину сторін трикутника.

На зображенні нижче, якщо відомо, що ∠B = ∠G і ∠C = ∠F:

І ми можемо сказати, що за критерієм подібності AA △ABC і △EGF подібні або △ABC ∼ △EGF.

⇒AB/EG = BC/GF = AC/EF і ∠A = ∠E.

Сторона-кут-сторона або Теорема подібності SAS

Згідно з теоремою подібності SAS, якщо будь-які дві сторони першого трикутника знаходяться в точних пропорціях до двох сторін другого трикутника, а кути, утворені цими двома сторонами окремих трикутників, рівні, то вони повинні бути подібними трикутниками. Це правило зазвичай застосовується, коли ми знаємо лише міру двох сторін і кут, утворений між цими двома сторонами в обох трикутниках відповідно.

На зображенні нижче, якщо відомо, що AB/DE = AC/DF і ∠A = ∠D

І ми можемо сказати, що за критерієм подібності SAS △ABC і △DEF подібні або △ABC ∼ △DEF.

Side-Side-Side або Теорема подібності SSS

Згідно з теоремою про подібність SSS, два трикутники будуть схожі один на одного, якщо відповідне співвідношення всіх сторін двох трикутників є рівним. Цей критерій зазвичай використовується, коли ми маємо лише вимірювання сторін трикутника та маємо менше інформації про кути трикутника.

На зображенні нижче, якщо відомо, що PQ/ED = PR/EF = QR/DF

І ми можемо сказати, що за критерієм подібності SSS △PQR і △EDF подібні або △PQR ∼ △EDF.

Властивості подібних трикутників

Подібні трикутники мають різні властивості, які широко використовуються для розв'язування різноманітних геометричних задач. Деякі загальні властивості подібного трикутника:

  • Форма подібних трикутників фіксована, але їх розміри можуть бути різними.
  • Відповідні кути подібних трикутників рівні.
  • Відповідні сторони подібних трикутників мають спільні співвідношення.
  • Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату відношення їх відповідної сторони.

Як знайти подібні трикутники?

Два дані трикутники можна довести як подібні трикутники за допомогою наведених вище теорем. Ми можемо виконати наведені нижче дії, щоб перевірити, чи дані трикутники подібні чи ні:

Крок 1: Запишіть задані розміри трикутників (відповідні сторони або відповідні кути).

Крок 2: Перевірте, чи відповідають ці розміри умовам теорем про подібні трикутники (AA, SSS, SAS).

Крок 3 : Дані трикутники, якщо вони задовольняють будь-яку з теорем подібності, можуть бути представлені за допомогою ∼ для позначення подібності.

Це можна краще зрозуміти за допомогою наступного прикладу:

Приклад: Перевірте, чи △ABC і △PQR є подібними трикутниками чи не використовуючи наведені дані: ∠A = 65°, ∠B = 70º і ∠P = 70°, ∠R = 45°.

Використовуючи дане вимірювання кутів, ми не можемо зробити висновок, чи дані трикутники відповідають критерію подібності AA чи ні. Знайдемо міру третього кута й обчислимо її.

Ми знаємо, використовуючи властивість суми кутів трикутника, ∠C у △ABC = 180° – (∠A + ∠B) = 180° – 135° = 45°

Подібним чином ∠Q у △PQR = 180° – (∠P + ∠R) = 180° – 115° = 65°

Отже, ми можемо зробити висновок, що в △ABC і △PQR,

∠A = ∠Q, ∠B = ∠P і ∠C = R

△ABC ∼ △QPR

Площа подібних трикутників – Теорема

Теорема про площу подібного трикутника стверджує, що для двох подібних трикутників відношення площ трикутників пропорційне квадрату відношення їхніх відповідних сторін. Припустимо, що нам дано два подібних трикутника, тоді ΔABC і ΔPQR

Відповідно до теореми подібного трикутника:

(Площа ΔABC)/(Площа ΔPQR) = (AB/PQ) 2 = (BC/QR) 2 = (CA/RP) 2

Різниця між подібними та рівними трикутниками

Подібні трикутники та конгруентні трикутники — два види трикутників, які широко використовуються в геометрії для розв’язування різноманітних задач. Кожен тип трикутника має різні властивості, і основні відмінності між ними обговорюються в таблиці нижче.

Подібні трикутники

Рівні трикутники
Подібними трикутниками називають трикутники, у яких відповідні рівні кути. Рівні трикутники — це трикутники, які мають рівні відповідні кути та рівні відповідні сторони.
Подібні трикутники мають однакову форму, але їхні розміри можуть бути або не бути однаковими Рівні трикутники мають однаковий розмір і однакову площу.
Подібні трикутники не є накладеними зображеннями один одного, доки їх не буде збільшено або зменшено. Конгруентні трикутники є зображеннями, що накладаються один на одного, якщо їх розташувати в правильній орієнтації.
Подібні трикутники зображені за допомогою '~' символ. Конгруентні трикутники представлені за допомогою « ≅ символ.
Їхні відповідні сторони знаходяться у відношенні. Їх відповідні сторони рівні.

Застосування подібних трикутників

Різні застосування подібного трикутника, які ми бачимо в реальному житті:

  • Тінь і висота різних об'єктів обчислюються за допомогою концепції подібних трикутників.
  • Масштабування карти використовує концепцію подібного трикутника.
  • Фотографічні пристрої використовують подібні властивості трикутника для захоплення різних зображень.
  • Моделювання використовує концепцію подібних трикутників.
  • Навігація та тригонометрія також використовує подібний підхід до трикутника для вирішення різних задач тощо.

Люди також переглядають:

Конгруентність трикутників

Площа трикутника

Трикутник під прямим кутом

Периметр трикутника

Важливі зауваження щодо подібних трикутників:

  • Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату відношення їхніх відповідних сторін.
  • Усі конгруентні трикутники подібні, але всі подібні трикутники не обов’язково можуть бути рівними.
  • це ' ~ Символ ’ використовується для позначення подібних трикутників.

Розв’язування задач про подібні трикутники

Запитання 1: На наведеному малюнку 1 DE || е. Якщо AD = 2,5 см, DB = 3 см, AE = 3,75 см. Знайти AC?

рішення:

У △ABC, DE || до н.е.

іскра підручник

AD/DB = AE/EC (за теоремою Фалеса)

2,5/3 = 3,75/x, де EC = x см

(3 × 3,75)/2,5 = 9/2 = 4,5 см

EC = 4,5 см

Отже, AC = (AE + EC) = 3,75 + 4,5 = 8,25 см.

Запитання 2: На малюнку 1 DE || е. Якщо AD = 1,7 см, AB = 6,8 см, AC = 9 см. Знайти AE?

рішення:

Нехай AE = x см.

У △ABC, DE || до н.е.

За теоремою Фалеса ми маємо,

AD/AB = AE/AC

1,7/6,8 = х/9

x = (1,7×9)/6,8 = 2,25 см

AE = 2,25 см

Отже, AE = 2,25 см

рахі савант

Запитання 3: Доведіть, що пряма, проведена через середину однієї сторони трикутника (рис. 1) паралельно іншій стороні, ділить третю сторону навпіл.

рішення:

Дано ΔΑΒC, у якому D є серединою AB і DE || до н.е., зустріч AC в E.

ДОВЕСТИ AE = EC.

Доказ: Оскільки DE || е. за теоремою Фалеса маємо:

AE/AD = EC/DB =1 (AD = DB, дано)

AE/EC = 1

AE = EC

Запитання 4: На наведеному малюнку 2 AD/DB = AE/EC і ∠ADE = ∠ACB. Доведіть, що АВС — рівнобедрений трикутник.

рішення:

Маємо AD/DB = AE/EC DE || до н.е. [за зворотною теоремою Фалеса]

∠ADE = ∠ABC (відповідні ∠s)

Але ∠ADE = ∠ACB (дано).

Отже, ∠ABC = ∠ACB.

Отже, AB = AC [сторони, протилежні рівним кутам].

Отже, △ABC — рівнобедрений трикутник.

Запитання 5: Якщо D і E — точки на сторонах AB і AC відповідно від △ABC (рис. 2), що AB = 5,6 см, AD = 1,4 см, AC = 7,2 см і AE = 1,8 см, покажіть, що DE | | е.

рішення:

Дано AB = 5,6 см, AD = 1,4 см, AC = 7,2 см і AE = 1,8 см.

AD/AB = 1,4/5,6 = 1/4 і AE/AC = 1,8/7,2 = 1/4

AD/AB = AE/AC

Отже, згідно з теоремою Фалеса, DE || е.

Запитання 6: Доведіть, що відрізок, який сполучає середини будь-яких двох сторін трикутника (рис. 2), паралельний третій стороні.

рішення:

У △ABC, де D і E є серединами AB і AC відповідно.

Оскільки D і E є серединами AB і AC відповідно, маємо:

AD = DB і AE = EC.

AD/DB = AE/EC (кожен дорівнює 1)

Отже, згідно з теоремою Фалеса, DE || е

Важливі посилання, пов’язані з математикою:

  • Що таке простий відсоток
  • Формула втрати
  • Властивість суми кутів
  • Подільність на 11
  • Гістограма
  • Застосування тригонометрії
  • Список натуральних чисел
  • Модель Піфагора
  • Проект з математики для 9 класу

Практичні запитання Подібні трикутники

Q1. У двох подібних трикутниках △ABC і △ADE, якщо DE || BC і AD = 3 см, AB = 8 см, AC = 6 см. Знайдіть AE.

Q2. У двох подібних трикутниках △ABC і △PQR, якщо QR || BC і PQ = 2 см, AB = 12 см, AC = 9 см. Знайдіть PR.

Q3. У двох подібних трикутниках ΔABC і ΔAPQ довжини сторін дорівнюють AP = 9 см, PB = 12 см і BC = 24 см. Знайдіть відношення площ ΔABC і ΔAPQ.

Q4. У двох подібних трикутниках ΔABC і ΔAPQ довжини сторін дорівнюють AP = 3 см, PB = 4 см і BC = 8 см. Знайдіть відношення площ ΔABC і ΔAPQ.

Підсумок – Подібні трикутники

Подібні трикутники — це геометричні фігури однакової форми, але різні за розміром, що характеризуються рівними відповідними кутами та пропорційними відповідними сторонами. Такі ключові теореми, як кут-кут (AA), сторона-кут-сторона (SAS) і сторона-сторона-сторона (SSS), встановлюють критерії подібності трикутника.

Ці принципи є основоположними в таких галузях, як інженерія, комп’ютерна графіка та архітектура, завдяки їхній здатності зберігати цілісність форми під час масштабування. Теорема Фалеса, або Основна теорема пропорційності, ілюструє, як пряма, паралельна одній стороні трикутника, пропорційно ділить дві інші, додатково демонструючи концепцію подібності трикутників.

Подібні трикутники мають вирішальне значення для практичного застосування, починаючи від обчислення висот і відстаней у навігації до оптимізації проектів у технологіях і будівництві, демонструючи їх широку актуальність як в академічному, так і в реальному контексті.

Подібні трикутники – поширені запитання

Що таке подібні трикутники 10 клас?

Подібні трикутники - це трикутники, у яких усі кути рівні, а їх сторони співвідношені. Вони мають схожу форму, але не однакову площу.

Анкіта Дейв

Що таке формули подібних трикутників?

Формули подібних трикутників — це формули, які показують, чи подібні два трикутники чи ні. Для двох трикутників △ABC і △XYZ формула подібних трикутників:

  • ∠A = ∠X, ∠B = ∠Y і ∠C = ∠Z
  • AB/XY = BC/YZ = CA/ZX

Який символ використовується для зображення подібних трикутників?

Подібні трикутники позначаються символом «~». Якщо два трикутники △ABC і △XYZ подібні, ми представляємо їх як △ABC ~ △XYZ, це читається як трикутник ABC, подібний до трикутника XYZ.

Що таке 3 теореми про подібні трикутники?

Ми можемо легко довести, що два трикутники подібні, використовуючи теорему про три трикутники, яка:

  • AA (або AAA) або Теорема подібності кута-кута
  • SAS або Теорема подібності сторони-кута-сторони
  • SSS або Теорема подібності сторони-сторони

Які властивості подібних трикутників?

Важливими властивостями подібного трикутника є,

  • Подібні трикутники мають фіксовану форму, але їхні розміри можуть бути різними.
  • У подібного трикутника відповідні кути рівні.
  • В подібному трикутнику відповідні сторони мають спільні співвідношення.

Як дізнатися, чи подібні два трикутники?

Якщо всі кути трикутника рівні, то можна легко сказати, що трикутники подібні.

Які трикутники завжди подібні?

Трикутник, який завжди подібний, є рівностороннім. Оскільки всі кути рівносторонніх трикутників завжди дорівнюють 60 градусам, будь-які два рівносторонні трикутники завжди подібні.

Що таке площа подібних трикутників?

Відношення площ двох подібних трикутників завжди дорівнює відношенню квадратів їх сторін. Для двох трикутників △ABC і △XYZ можна сказати, що

  • площа △ABC / площа △XYZ = (AB / XY)2

Що таке критерій подібного трикутника?

Критерії подібних трикутників — це критерії, за якими ми можемо оголосити три трикутники подібними трикутниками, і ці три критерії:

  • Критерії AAA (Angle-Angle-Criteria)
  • Критерії SAS (критерії сторона-кут-сторона)
  • Критерії SSS (критерії Side-Side-Side)

Хто є батьком подібних трикутників?

Евклід, давньогрецький математик, якого часто називають батьком геометрії, надав фундаментальні принципи для розуміння подібних трикутників у своїй праці «Елементи».

Чи пропорційні подібні трикутники?

Так, подібні трикутники пропорційні. Це означає, що відповідні сторони подібних трикутників пропорційні, а це означає, що відношення відповідних сторін подібних трикутників залишається постійним.

Які трикутники завжди подібні?

Трикутники з однаковими трьома кутами завжди подібні. Це фундаментальна властивість, відома як критерій подібності кут-кут (AA).

Чи всі прямокутні трикутники подібні?

Ні, не всі прямокутні трикутники подібні. Хоча прямокутні трикутники з однаковими гострими кутами подібні, довжина гіпотенузи та відношення довжин сторін можуть відрізнятися, що призводить до несхожості між прямокутними трикутниками.

Чому дорівнює відношення двох подібних трикутників?

Відношення будь-яких двох відповідних сторін у подібних трикутниках залишається постійним. Це означає, що якщо ви візьмете відповідні сторони подібних трикутників і сформуєте співвідношення, результат завжди буде однаковим, незалежно від вибраної конкретної довжини сторін.