logo

TechCodeview

Ряд Ешелон Форма

Матриця є у формі рядкового ешелону, якщо вона має такі властивості:

  • Будь-який рядок, що повністю складається з нулів, знаходиться в нижній частині матриці.
  • Для кожного рядка, який не містить повністю нулі, перший ненульовий запис дорівнює 1 (так званий початковий 1).
  • Для двох послідовних (ненульових) рядків провідна 1 у верхньому рядку знаходиться ліворуч, ніж провідна в нижньому рядку.

Для скороченої форми ешелону рядків початкова 1 кожного рядка містить 0 нижче та над ним у цьому стовпці.



Нижче наведено приклад рядно-ешелонної форми:

egin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 4 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 2 end{bmatrix}

і скорочена рядно-ешелонна форма:



egin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 5 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

java порівняння рядків

Будь-яка матриця може бути перетворена у скорочену форму ешелону рядків, використовуючи техніку, яка називається Гаусовим усуненням. Це особливо корисно для розв’язування систем лінійних рівнянь.

Усунення Гауса

Усунення Гауса — це спосіб перетворення матриці у скорочену форму ешелону рядків. Його також можна використовувати як спосіб пошуку розв’язку розв’язку системи лінійних рівнянь. Ідея цього полягає в тому, що ми виконуємо деякі математичні операції над рядком і продовжуємо, поки не залишиться лише одна змінна.



Нижче наведено деякі операції, які ми можемо виконати:

  • Поміняйте місцями будь-які два ряди
  • Додайте два ряди разом.
  • Помножте один рядок на ненульову константу (тобто 1/3, -1/5, 2).

Дано таке лінійне рівняння:

немає вхідного сигналу

x - 2y + z = -1 2x + y - 3z = 8 4x - 7y + z = -2

і доповнену матрицю вище

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 2 & 1 & 3 & : & 8 4 & -7 & 1 & : & -2 end{bmatrix}

Тепер нам потрібно перетворити це у форму рядків-ешелонів. Щоб перетворити це у форму рядків-ешелонів, нам потрібно виконати усунення Гауса.

  • Спочатку нам потрібно відняти 2*r1з р2і 4*р1з р3щоб отримати 0 на першому місці r2і r3.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 5 & -5 & : & 10 0 & 1 & -3 & : & 2 end{bmatrix}

  • Далі ми поміняємо місцями рядки r2 і r3 і після цього віднімемо 5*r2з р3щоб отримати другий 0 у третьому рядку.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 1 & -3 & : & 2 0 & 0 & 10 & : & 0 end{bmatrix}

розрахунок терміну перебування в excel
  • Тепер ми можемо вивести значення с з р3,тобто 10 z =0 ⇾ z=0. За допомогою значення z =0 ми можемо помістити його в r2, y = 2. Подібним чином ми можемо помістити значення y і z в r1і ми отримуємо значення x=3

Ранг матриці

Ранг матриці - це кількість ненульових рядків у формі ешелону рядків. Щоб знайти ранг, нам потрібно виконати наступні кроки:

  • Знайти рядково-ешелонну форму даної матриці
  • Підрахувати кількість ненульових рядків.

Візьмемо приклад матриці:

egin{bmatrix} 4 & 0 & 1 2 & 0 & 2 3 & 0 & 3 end{bmatrix}

Тепер ми зводимо наведену вище матрицю до форми рядків-ешелонів

egin{bmatrix} 1 & 0 & frac{1}{4} 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Тут лише два рядки містять ненульові елементи. Отже, ранг матриці дорівнює 2.

Реалізація

  • Щоб перетворити матрицю у скорочену форму рядків, ми використали пакет Sympy на python, спочатку його потрібно встановити.

python3

# install sympy> ! pip install sympy> # import sympy> import> sympy> # find the reduced row echelon form> sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rref()> # find the rank of matrix> print>('Rank of matrix :',sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rank())> 
>
>

Вихід: 

(Matrix([  [1, 0, 0],  [0, 0, 1],  [0, 0, 0]]), (0, 2))    Rank of matrix : 2>