Рекурсивна функція — це функція, значення якої в будь-якій точці можна обчислити зі значень функції в деяких попередніх точках. Наприклад, припустимо, що функція f(k) = f(k-2) + f(k-3), визначена над невід’ємним цілим числом. Якщо у нас є значення функції при k = 0 і k = 2, ми також можемо знайти її значення при будь-якому іншому невід’ємному цілому числу. Іншими словами, ми можемо сказати, що рекурсивна функція відноситься до функції, яка використовує власні попередні точки для визначення наступних термінів і таким чином формує послідовність термінів. У цій статті ми дізнаємося про рекурсивні функції разом із певними прикладами.
Що таке рекурсія?
Рекурсія відноситься до процесу, в якому рекурсивний процес повторюється. Рекурсивна — це різновид функції однієї чи кількох змінних, зазвичай заданої певним процесом, який виробляє значення цієї функції шляхом безперервної реалізації певного відношення до відомих значень функції.
Тут ми розберемо рекурсію за допомогою прикладу.
Припустімо, що ви збираєтеся піднятися сходами на перший поверх з першого поверху. Отже, щоб зробити це, ви повинні зробити крок за кроком. Є лише шлях до другої сходинки, тобто до першої крутої сходинки. Припустимо, ви хочете перейти до третього кроку; спочатку потрібно зробити другий крок. Тут ви можете чітко побачити процес повторення. Тут ви бачите, що з кожним наступним кроком ви додаєте попередній крок як повторювану послідовність з однаковою різницею між кожним кроком. Це фактична концепція рекурсивної функції.
крок 2: Крок 1 + нижня сходинка.
крок 3: Крок 2 + Крок 1 + найнижча сходинка.
крок 4: Крок 3 + крок 2 + крок 1 + найнижча сходинка і так далі.
Набір натуральних чисел є основним прикладом рекурсивних функцій, які починаються від одиниці до нескінченності, 1,2,3,4,5,6,7,8, 9,…….нескінченність. Таким чином, набір натуральних чисел показує рекурсивну функцію, оскільки ви можете побачити спільну різницю між кожним терміном як 1; він показує щоразу, коли наступний термін повторюється попереднім терміном.
Що таке рекурсивно визначена функція?
Рекурсивно визначені функції складаються з двох частин. Перша частина стосується визначення найменшого аргументу, а з іншого боку, друга частина стосується визначення n-го терміна. Найменший аргумент позначається f (0) або f (1), тоді як n-й аргумент позначається f (n).
Дотримуйтеся поданого прикладу.
Припустимо, що послідовність 4,6,8,10
Явна формула для наведеної вище послідовності: f (n)= 2n + 2
Явна формула для наведеної вище послідовності задана за допомогою
f (0) = 2
має наступну java
f(n) = f (n-1) + 2
Тепер ми можемо отримати члени послідовності за допомогою рекурсивної формули f(2 ) f (1) + 2
f(2) = 6
f (0) = 2
f(1) = f(0) + 2
f (1) = 2 + 2 = 4
f(2 ) = f (1) + 2
f(2) = 4 + 2 = 6
f(3 ) = f (2) + 2
f(3 ) = 6 + 2 = 8
За допомогою наведеної вище формули рекурсивної функції ми можемо визначити наступний член.
Що робить функцію рекурсивною?
Щоб зробити будь-яку функцію рекурсивною, потрібен власний термін для обчислення наступного члена в послідовності. Наприклад, якщо ви хочете обчислити n-й член заданої послідовності, вам спочатку потрібно знати попередній член і член перед попереднім членом. Отже, вам потрібно знати попередній термін, щоб визначити, чи є послідовність рекурсивною чи не рекурсивною. Отже, ми можемо зробити висновок, що якщо функції потрібен попередній член для визначення наступного члена в послідовності, функція вважається рекурсивною функцією.
java ще якщо
Формула рекурсивної функції
Якщо1, а2, а3, а4, а5, а6, ……..ап,……це багато наборів або послідовність, тоді рекурсивна формула потребує обчислення всіх термінів, які існували раніше, щоб обчислити значення
aп= аn-1 +a1
Наведену вище формулу також можна визначити як рекурсивну формулу арифметичної послідовності. Ви можете чітко бачити в згаданій вище послідовності, що це арифметична послідовність, яка містить перший член, за яким слідують інші терміни та загальну різницю між кожним терміном. Загальна різниця стосується числа, яке ви до них додаєте або віднімаєте.
Рекурсивну функцію також можна визначити як геометричну послідовність, де набори чисел або послідовність мають спільний множник або спільне відношення між собою. Формула геометричної послідовності задається як
aп= аn-1 *r
Зазвичай рекурсивна функція складається з двох частин. Перший — це твердження першого члена разом із формулою, а інший — це твердження першого члена разом із правилом, пов’язаним із наступними термінами.
Як написати рекурсивну формулу для арифметичної послідовності
Щоб написати рекурсивну формулу для формули арифметичної послідовності, виконайте наведені кроки
Крок 1:
На першому кроці вам потрібно переконатися, чи є дана послідовність арифметичною чи ні (для цього вам потрібно додати або відняти два послідовні доданки). Якщо ви отримуєте той самий вихід, то послідовність береться як арифметична послідовність.
крок 2:
Тепер вам потрібно знайти спільну різницю для заданої послідовності.
крок 3:
Сформулюйте рекурсивну формулу, використовуючи перший член, а потім створіть формулу, використовуючи попередній термін і загальну різницю; таким чином ви отримаєте заданий результат
aп= аn-1 +d
тепер розберемося з наведеною формулою на прикладі
припустимо, що 3,5,7,9,11 є заданою послідовністю
У наведеному вище прикладі ви можете легко знайти, що це арифметична послідовність, оскільки кожен член у послідовності збільшується на 2. Отже, загальна різниця між двома членами дорівнює 2. Ми знаємо формулу рекурсивної послідовності
aп= аn-1 +d
враховуючи,
d = 2
a1= 3
так,
a2= а(2-1)+ 2 = а1+2 = 3+2 = 5
a3= а(3-1)+ 2 = а2+2 = 5+2 = 7
кутовий матеріал
a4= а(4-1)+ 2 = а3+2 = 7+2 = 9
a5= а(5-1)+ 2 = a + 2 = 9+2 = 11, і процес продовжується.
Як написати рекурсивну формулу для геометричної послідовності?
Щоб написати рекурсивну формулу для формули геометричної послідовності, виконайте наведені кроки:
Крок 1
На першому кроці вам необхідно переконатися, чи є задана послідовність геометричною чи ні (для цього потрібно кожен член помножити або розділити на число). Якщо ви отримуєте однакові результати від одного члена до наступного, послідовність вважається геометричною.
Крок 2
Тепер вам потрібно знайти загальне співвідношення для заданої послідовності.
Крок 3
Сформулюйте рекурсивну формулу, використовуючи перший член, а потім створіть формулу, використовуючи попередній член і загальне співвідношення; таким чином ви отримаєте заданий результат
aп= r*an-1
Тепер розберемося з поданою формулою на прикладі
припустимо, що 2,8,32, 128,.є заданою послідовністю
У наведеному вище прикладі ви можете легко знайти, що це геометрична послідовність, оскільки наступний член у послідовності виходить шляхом множення 4 на попередній член. Отже, спільне співвідношення між двома членами дорівнює 4. Ми знаємо формулу рекурсивної послідовності
aп= r*an-1
aп= 4
an-1= ?
враховуючи,
r = 4
a1= 2
так,
a2= а(2-1)* 4 = а1+ * 4 = 2* 4 = 8
1 мільйон номер
a3= а(3-1)* 4 = а2* 4 = 8 * 4 = 32
a4= а(4-1)* 4 = а3* 4 = 32* 4 = 128, і процес продовжується.
Приклад рекурсивної функції
приклад 1:
Визначте рекурсивну формулу для послідовності 4,8,16,32,64, 128,….?
рішення:
Дана послідовність 4,8,16,32,64,128,…..
Дана послідовність є геометричною, тому що якщо ми помножимо попередній член, ми отримаємо наступні члени.
Щоб визначити рекурсивну формулу для заданої послідовності, її потрібно записати в табличній формі
| Номери термінів | Термін послідовності | Позначення функції | Підрядковий запис |
|---|---|---|---|
| 1 | 4 | f(1) | a1 |
| 2 | 8 | f(2) | a2 |
| 3 | 16 | f(3) | a3 |
| 4 | 32 | f(4) | a4 |
| 5 | 64 | f(5) | a5 |
| 6 | 128 | f(6) | a6 |
| п | . | f(n) | aп |
Отже, рекурсивна формула в понятті функції задається за допомогою
f(1) = 4, f(n) . f(n- 1)
У нотації нижнього індексу рекурсивна формула задається як
a1= 4, ап= 2. аn-1