Перпендикулярні лінії в математиці — це пари прямих, які завжди перетинаються одна з одною під прямим кутом, тобто перпендикулярні прямі завжди перетинаються прямими, які перетинаються під кутом 90°. Перпендикулярні лінії ми добре бачимо, кути стін, кути парти та інші являють собою паралельну пряму. Про перпендикулярні прямі кажуть, що вони перетинаються під прямим кутом. Найкоротша відстань між двома прямими визначається за допомогою перпендикулярної відстані між ними, тобто перпендикулярна лінія між двома точками дає найкоротшу відстань між ними.

У цій статті ми детально дізнаємося про перпендикулярні лінії, їхні властивості та інші.

Зміст

• Що таке перпендикулярні лінії?
• Властивості перпендикулярних прямих
• Нахил перпендикулярних прямих
• Формула перпендикулярних прямих
• Як малювати перпендикулярні лінії?
• Рівняння перпендикулярної прямої

Що таке перпендикуляр?

Перпендикуляр визначається як пряма, яка утворює а прямий кут з іншою лінією. Іншими словами, перпендикулярна лінія означає лінії, які утворюють кут 90 градусів. Найкоротшою відстанню між точкою і прямою є перпендикуляр між ними. Перпендикуляр становить 90 градусів з іншою лінією. Лінії AB і PQ, як показано на зображенні нижче, перпендикулярні одна одній, оскільки вони перетинаються під кутом 90 градусів.

Лінії AB і CD, додані на зображенні нижче, показують дві перпендикулярні лінії.

Що таке перпендикулярні лінії?

Перпендикулярні лінії означають лінії, які перетинають одна одну під кутом, що дорівнює 90 градусам, тобто якщо дві лінії зустрічаються під прямим кутом, вони називаються перпендикулярними лініями. Візьміть фігуру, додану нижче, пряма l і пряма m перетинаються одна з одною в точці O, а кут між ними становить 90 градусів.

Таким чином, ми можемо сказати, що l є прямою, перпендикулярною до m прямої або пряма m є перпендикулярною до прямої l. Представимо цю умову як l ⊥ m. Тепер будь-яка пряма, паралельна прямій l, перпендикулярна до прямої m. Найкоротшою відстанню між точкою і прямою завжди є перпендикулярна відстань між ними.

Примітка: Не всі прямі, що перетинаються, є перпендикулярними, але всі перпендикулярні прямі є прямими, що перетинаються.

Знак перпендикуляра

Перпендикулярні лінії позначаються символом «⊥». Якщо прямі l і m перпендикулярні одна до одної, тобто вони перетинаються під кутом 90 градусів, то їх називають перпендикулярними прямими і позначають як l ⊥ m. Точка перетину називається підніжжям перпендикуляра.

Перпендикулярні фігури

Препендикулярні форми можна побачити навколо нас у повсякденному житті. До перпендикулярних належать фігури, у яких хоча б один кут дорівнює 90°. Різноманітні фігури, які мають перпендикулярні лінії (перпендикулярні фігури), є,

• Майдан
• Прямокутник
• Прямокутний трикутник

Властивості перпендикулярних прямих

Будь-які дві прямі, що перетинаються під кутом 90 градусів, називаються перпендикулярними. Перпендикулярні лінії мають інші властивості, ніж лінії, що перетинаються, а загальні властивості прямих, що перетинаються, такі:

• Перпендикулярні прямі - це прямі, які завжди перетинаються під прямим кутом.
• Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї прямої, то ці дві прямі завжди паралельні одна одній.

Нахил перпендикулярних прямих

Нахил будь-якої лінії — це кут кута, утвореного лінією з додатною віссю x, і нахил у випадку перпендикулярних ліній має особливий зв’язок між ними.

Припустимо, що ми маємо дві прямі PQ і RS, які перпендикулярні одна до одної. Тепер нахил лінії PQ дорівнює, скажімо, m₁а нахил лінії RS дорівнює, скажімо, m₂, то добуток нахилів дорівнює -1. Твердження для того ж є,

Заява: Дві прямі перпендикулярні одна до одної, якщо добуток їх нахилу дорівнює -1.

Це можна представити як

м ₁ .м ₂ = -1

Формула перпендикулярних прямих

Дві основні формули перпендикулярних ліній обговорюються нижче,

Твердження 1: Добуток нахилу перпендикуляра на нахил вихідної лінії завжди дорівнює -1 .

Доказ:

Нехай вихідна лінія складає кут θ з віссю X.

Тоді пряма, перпендикулярна до прямої, буде складати кут θ + 90° або θ – 90° з віссю X.

Тепер нахил вихідної лінії дорівнює tan θ

вибрати з кількох таблиць у sql

Нахил перпендикулярної лінії дорівнює або tan (θ + 90^О) або загар (θ – 90^О)

tan (θ + 90 ^О ) = tan (θ – 90 ^О ) = -cot i

Таким чином, кут нахилу перпендикуляра дорівнює -cot θ

тепер,

Добуток нахилів = tan θ × (-cot θ) = -1

Отже, доведено

Твердження 2: Якщо рівняння прямої ax + by + c = 0

Тоді рівняння прямої, перпендикулярної до даної прямої, має вигляд

– bx + ay + d = 0

де, в і d будь-які постійні значення

Доказ:

Рівняння прямої: ax + by + c = 0

Нахил лінії становить -а/б

Нехай кут нахилу перпендикуляра дорівнює м

Ми знаємо, що добуток нахилу двох перпендикулярних прямих дорівнює -1

m × (-a / b) = – 1

m = b / a

Тепер, якщо перпендикуляр проходить через точку (x₁, і₁), то рівняння перпендикулярної прямої є,

(і – і₁) / (x – x₁) = b / a

і – і₁= (b / a) × (x – x₁)

є – є₁= bx – bx₁

– bx + є + (bx₁– є₁) = 0 {нехай bx₁– є₁= d}

Таким чином, шукане рівняння прямої є,

– bx + ay + d = 0

Як малювати перпендикулярні лінії?

Ми можемо легко побудувати пару перпендикулярних прямих, використовуючи транспортир і циркуль.

Креслення перпендикулярних ліній за допомогою транспортира

Щоб намалювати пару перпендикулярних ліній, виконайте описані нижче дії.

Крок 1: Спочатку за допомогою лінійки намалюйте на папері горизонтальну лінію АВ.

крок 2: Позначте будь-яку точку P на прямій AB, з якої потрібно провести перпендикуляр.

крок 3: Розташуйте протектор на лінії та зіставте середину протектора з точкою P на лінії.

крок 4: Позначте кут 90 градусів за допомогою протектора.

крок 5: З’єднайте лінію за допомогою будь-якої лінійки під кутом 90 градусів, щоб отримати пару перпендикулярних ліній.

Креслення перпендикулярної лінії за допомогою циркуля

Нижче наведено кроки для створення перпендикулярних ліній за допомогою циркуля

Крок 1: Намалюйте лінію на папері за допомогою лінійки

крок 2: Візьміть точку на лінії та помістіть на неї стрілку компаса.

крок 3: Намалюйте дугу (півколо) з одного боку лінії.

крок 4: Не змінюючи радіус циркуля, помістіть голку на один кінець діаметра півкола.

крок 5: Розріжте напівкруглу дугу на три частини, розрізавши її двічі. Перший розріз має 60°, а другий — 120°

Крок 6: Різниця між першим і другим розрізами становить 60°. Розділіть цю щілину навпіл за допомогою компаса, не змінюючи її радіус.

Крок 7: Тепер з’єднайте точку перетину 60 і 120 навпіл з точкою, яка спочатку припускалася, щоб намалювати дугу півкола.

Крок 8: Проведена лінія перпендикулярна початковій лінії.

Приклади перпендикулярних прямих

Перпендикулярні лінії - це лінії, які завжди зустрічаються під кутом 90 градусів. Ми бачимо різні приклади паралельних прямих у реальному житті, деякі з них,

• Кути кімнат перпендикулярні один до одного.
• Стрілки годинника являють собою перпендикулярні лінії на 3′ години.
• Кути столу і парти представляють собою перпендикулярні лінії.

Перпендикулярні та паралельні прямі

Перпендикулярні прямі — це прямі, які утворюють одна з одною кут 90°, а паралельними є прямі, які паралельні одна одній, тобто вони знаходяться на однаковій відстані одна від одної і ніколи не перетинаються.

Примітка: Паралельні лінії зустрічаються в нескінченності .

Нахил паралельних і перпендикулярних прямих

Нахил паралельних прямих дорівнює, тоді як добуток нахилу перпендикулярних прямих дорівнює -1.

Рівняння паралельних і перпендикулярних прямих

Якщо дві прямі паралельні, то їх рівняння прямих:

• ax + by + c = 0 і ax + by + d = 0

Тоді як рівняння двох перпендикулярів є,

• ax + by + c = 0 і -bx + ax + d = 0

Що таке паралельні прямі?

Паралельні прямі в геометрії визначаються як лінії, які не стикаються одна з одною у 2-D площині, тобто вони ніколи не перетинаються одна з одною у 2-D площині. Відстань між двома паралельними прямими завжди постійна. На зображенні, доданому нижче, показано дві пари паралельних ліній.

Прямі a, b, x, y паралельні одна одній.

Різниця між паралельними прямими та перпендикулярними прямими

Паралельні прямі проти перпендикулярних прямих обговорюються в таблиці нижче.

Рівняння перпендикулярної прямої

Стандарт рівняння прямої є ax + by + c = 0 і лінія, перпендикулярна даній прямій, задана за допомогою,

-bx + ay + d = 0

де, d є постійним значенням, і його значення визначається за допомогою іншої заданої умови.

Нахил перпендикулярної лінії

Припустимо, нам дано пряму, рівняння якої має вигляд y = mx + c, а її нахил дорівнює m, тоді нахил прямої, перпендикулярної до заданої прямої, дорівнює,

Нахил перпендикулярної лінії = -1/м

Тепер, якщо нахил двох ліній дорівнює m₁і м₂тоді співвідношення між цими двома нахилами є, м ₁ м ₂ = -1

Детальніше,

• Паралельні прямі
• Поперечні лінії
• Властивості паралельних прямих

Приклади перпендикулярних прямих

Приклад 1: Чи перпендикулярні прямі 3x + 2y + 5 = 0 і 2x – 3y + 8 = 0?

рішення:

Нахил лінії ax + by + c = 0 дорівнює -a/b

• Нахил прямої 3x + 2y + 5 = 0 дорівнює м₁= – 3/2.
• Нахил лінії 2x – 3y + 8 = 0 дорівнює м₂= -2 / (-3) = 2 / 3

Ми знаємо, що прямі є перпендикулярними, якщо їхні нахили відповідають умові.

м₁× м₂= -1

Тепер із наведеної вище умови,

= (- 3/2) × (2/3)

= -1

Добуток нахилів дорівнює -1, отже, лінії перпендикулярні.

Приклад 2. Знайти пряму, перпендикулярну до прямої x + 2y + 5 = 0 і пройти через точку (2, 5).

рішення:

Ми знаємо, що рівняння прямої, перпендикулярної до прямої ax + by + c = 0, є – bx + ay + d = 0.

Дане рівняння прямої є x + 2y + 5 = 0

Порівнюючи пряму x + 2y + 5 = 0 з ax + by + c = 0, ми отримуємо,

• а = 1
• b = 2
• c = 5

Таким чином, рівняння будь-якої прямої, перпендикулярної до цієї прямої, є – 2x + y + d = 0…(i)

Дано, ця пряма проходить через (2, 5),

Таким чином, поклавши (2, 5) у це рівняння перпендикулярної прямої

-2 × 2 + 5 + d = 0

⇒ d = -1

Підставляючи значення d в eq(i), отримуємо

-2x + y + (-1) = 0

Таким чином, рівняння перпендикулярної прямої є -2x + y – 1 = 0

Приклад 3: Знайдіть нахил прямої, перпендикулярної до прямої 3x + 9y + 7 = 0.

рішення:

враховуючи,

Рівняння прямої таке: 3x + 9y + 7 = 0

Нахил цієї лінії = -a/b = – 3 / 9 = – 1 / 3

Нехай нахил ine, перпендикулярний до верхньої лінії, дорівнює m

Тепер використовуємо формулу перпендикулярної лінії

m × (- 1/3) = – 1

⇒ m = 3

Отже, нахил прямої, перпендикулярної до даної прямої, дорівнює 3.

Приклад 4. Знайдіть кут прямої, перпендикулярної до прямої x + y + 3 = 0.

рішення:

Дана лінія,

x + y + 3 = 0

Нахил заданої лінії = -a/b = – 1 / 1 = – 1

Припустимо, нахил лінії, перпендикулярної до вищезгаданої лінії, дорівнює m

З формули перпендикулярної прямої,

m × -1 = – 1

⇒ m = 1

Кут прямої, перпендикулярної до даної прямої, дорівнює θ, тоді

m = tan θ

⇒ tan θ = 1

⇒ θ = загар^-1(1) = 45°

Отже, кут, утворений перпендикуляром до осі X, дорівнює 45°.

Перпендикулярні практичні задачі

Q1. Знайдіть кут прямої, перпендикулярної до прямої 3x + 9y – 11 = 0.

Q2. Якщо одна пряма проходить через точки (11, –4) і (–1, 8), а інша пряма проходить через точки (8, 3) і (–1, -3). Перевірте, паралельні чи перпендикулярні ці лінії.

Q3. Знайдіть рівняння прямої, яка перпендикулярна до 5x − 7y = 5 і проходить через точку (-1, 8).

Q4. Знайдіть рівняння прямої, яка проходить через (2, 3) і перпендикулярна до осі х.

Перпендикулярні лінії – поширені запитання

Що таке перпендикулярні лінії?

Якщо дві прямі, що перетинаються, перетинаються під прямим кутом, тобто під кутом 90 градусів, то ці дві прямі називаються перпендикулярними.

Що таке паралельні та перпендикулярні прямі?

Паралельні прямі — це прямі, які не перетинаються одна з одною в двовимірній площині. Відстань між двома паралельними прямими завжди постійна. Тоді як якщо дві лінії стикаються одна з одною під кутом 90 градусів, то ці лінії називаються перпендикулярними.

Чи завжди прямі, що перетинаються, перпендикулярні?

Ні, не всі прямі, що перетинаються, завжди перпендикулярні, вони можуть бути або не бути перпендикулярними. Лінії, що перетинаються, можуть зустрічатися під різними кутами.

Що є умовою для нахилу перпендикулярних ліній?

Припустимо, що нахил двох прямих дорівнює m₁і м₂тоді умова нахилів двох перпендикулярних прямих: м ₁ .м ₂ = -1

Скільки перпендикулярних прямих можна провести до прямої?

Ми можемо провести будь-яку кількість перпендикулярних прямих до прямої, тобто мати нескінченну кількість перпендикулярних прямих до будь-якої прямої.

Коли дві прямі є перпендикулярними?

Дві прямі перпендикулярні, якщо вони перетинаються під кутом 90°, тобто перпендикулярні прямі завжди перетинаються під прямим кутом.

Що таке перпендикулярний трикутник?

Трикутник, кут якого дорівнює 90°, називається перпендикулярним трикутником. Його також називають прямокутним трикутником.

Що таке перпендикулярні фігури?

Деякі фігури, які називаються перпендикулярними фігурами, — це фігури, які містять принаймні один перпендикуляр. Різні приклади перпендикулярних форм: квадрат, прямокутник, прямокутний трикутник

Що таке перпендикулярні кути?

Кути, що дорівнюють 90°, називають перпендикулярними. Інша назва перпендикулярних кутів — прямі кути.

Що таке перпендикулярний символ?

Символ або знак, який позначає перпендикуляр, це: ⟂. Ми використовуємо цей символ, щоб показати, чи дві прямі перпендикулярні. Наприклад, якщо написано A⟂B, де A і B — дві прямі, то пряма A перпендикулярна до прямої B і навпаки.

Як визначити, які прямі перпендикулярні?

Якщо кут між двома прямими дорівнює 90°. Тоді можна сказати, що ці дві прямі перпендикулярні. Якщо нахил двох ліній подано як, m₁, м₂тоді ми використовуємо формулу перпендикулярної лінії, щоб визначити, перпендикулярні вони чи ні. Формула перпендикулярної прямої дорівнює m₁.м₂= -1

Як знайти кут нахилу перпендикулярних прямих?

Нахил перпендикулярних ліній можна легко обчислити за допомогою формули нахилу. Припустімо, що нам задана лінія, ми спочатку перетворюємо її в стандартну форму, а потім використовуємо формулу нахилу, щоб знайти нахил. Формула нахилу така: m = -b/a, де a — коефіцієнт при x, а b — коефіцієнт при y.