Цільова функція — це мета задачі лінійного програмування, як випливає з назви. У лінійному програмуванні або лінійній оптимізації ми використовуємо різні техніки та методи, щоб знайти оптимальне рішення лінійної проблеми з деякими обмеженнями. Техніка також може включати обмеження нерівності. Цільовою функцією лінійного програмування є оптимізація для пошуку оптимального рішення для заданої проблеми.
У цій статті ми дізнаємося все про цільову функцію, включаючи її визначення, типи, як сформулювати цільову функцію для будь-якої задачі тощо. Ми також дізнаємося про різні представлення цільових функцій, наприклад лінійні цільові функції або нелінійні цілі функції. Отже, давайте почнемо вивчати цю фундаментальну концепцію лінійного програмування, тобто цільову функцію.
Що таке цільова функція?
Як випливає з назви, цільова функція в основному встановлює мету проблеми. Він зосереджений на прийнятті рішень на основі обмежень. Це дійсна функція, яку потрібно максимізувати або мінімізувати залежно від обмежень. Це як функція прибутку або збитку. Зазвичай його позначають Z.
Нижче наведено термінологію, пов’язану з цільовою функцією:
- Обмеження: В основному це умовні рівняння, які керують лінійною функцією
- Змінні рішення: Змінні, значення яких потрібно знайти. Рівняння розв'язуються так, щоб отримати оптимальне значення цих змінних.
- Можливий регіон: Це область на графіку, де обмеження задовольняються, а змінні рішення знаходяться в кутах області.
- Оптимальне рішення: Найкраще можливе рішення, яке задовольняє всі обмеження та досягає найвищої або найнижчої мети.
- Нездійсненне рішення: Рішення, яке порушує одне або кілька обмежень і не може бути реалізоване чи виконане.
Цільова функція в лінійному програмуванні
У лінійному програмуванні цільова функція — це лінійна функція, що містить дві змінні рішення. Це лінійна функція, яку потрібно максимізувати або мінімізувати залежно від обмежень. Якщо a і b є константами, а x і y є змінними рішення, де x> 0 і y> 0, тоді функція Objective є
Z = сокира + by
Отже, щоб отримати оптимальне значення функції оптимізації, спочатку нам потрібно розв’язати обмеження за допомогою будь-якого з методів і знайти змінні рішення. Потім ми поміщаємо значення змінних Decision у функцію Objective, щоб створити оптимальне значення.
Формулювання цільової функції
Лінійне програмування полягає в пошуку оптимальних значень змінних рішень і розміщенні цих значень у цільовій функції, щоб отримати максимальне або мінімальне значення. Існує багато методів, таких як симплексний метод і графічний метод для вирішення лінійного програмування. Проте перевагу зазвичай надають графічному методу через його простоту. Кроки для отримання оптимальних значень цільової функції такі:
- Згенеруйте рівняння зв’язку та цільову функцію із задачі.
- Побудуйте рівняння обмежень на графіку.
- Тепер визначте можливу область, де обмеження задовольняються.
- Згенеруйте значення змінних рішення, розташованих у кутах можливої області.
- Помістіть усі згенеровані значення в цільову функцію та згенеруйте оптимальне значення.
Загальні типи цільових функцій
Є два види цільових функцій.
актор говінда
- Цільова функція максимізації
- Цільова функція мінімізації
Розглянемо ці два типи докладніше:
Цільова функція максимізації
У цьому типі ми зазвичай прагнемо максимізувати цільову функцію. Вершини, знайдені після побудови графіка обмежень, мають тенденцію генерувати максимальне значення цільової функції. Проілюструємо це за допомогою прикладу
Приклад: чоловік витрачає щонайбільше 8 годин часу на виготовлення гаманців і шкільних ранців. Він витрачає 2 години на виготовлення гаманців і 4 години на шкільні ранці. Він хоче виготовити щонайбільше 5 гаманців і шкільних ранців і хоче продати їх і отримати прибуток у розмірі 20 рупій на гаманці та 100 рупій на шкільному портфелі. Знайдіть цільову функцію.
рішення:
Нехай х — кількість роті, а у — кількість хліба.
Чоловік може витратити максимум 8 годин, витративши 2 години на виготовлення гаманця і 4 години на виготовлення шкільного портфеля. Отже, перше рівняння обмеження таке
2x + 4y ⩽ 8
⇒ x + 2y ⩽ 4
Максимальна кількість, яку він може зробити - 5
x+y ⩽ 5
Позначимо цільову функцію Z
Тому Z = 20x + 100y
Цільова функція мінімізації
У цьому типі ми зазвичай прагнемо мінімізувати цільову функцію. Вершини, знайдені після побудови графіка обмежень, мають тенденцію генерувати мінімальне значення цільової функції. Проілюструємо це за допомогою прикладу
Приклад: Дано, що сума двох змінних дорівнює принаймні 20. Дано, що одна змінна більше ніж дорівнює 9. Виведіть цільову функцію, якщо вартість однієї змінної становить 2 одиниці, а вартість іншої змінної — 9 одиниць.
рішення:
Нехай x і y — дві змінні. Задана сума двох змінних має бути не менше 20.
x+y ⩾ 20
і x ⩾ 9
Наведені вище дві нерівності є обмеженнями для наступної цільової функції.
Нехай цільова функція позначена Z. Тому Z є
Z = 2x + 9y
Математичне представлення цільової функції
Як ми обговорювали цільову функцію в контексті лінійного програмування, цільова функція також може бути нелінійною.
- Лінійні цільові функції: у цьому типі цільових функцій і обмеження, і цільові функції мають лінійний характер. Показники змінних дорівнюють 1.
- Нелінійні цільові функції: у цьому типі цільових функцій і обмеження, і цільові функції мають лінійний характер. Показники змінних дорівнюють 1 або перевищують 1.
Застосування цільових функцій
Цільові функції важливі в сценаріях реального життя. Наприклад, цими функціями користуються бізнесмени. Бізнесмени використовують це для максимізації прибутку. Цільові функції також корисні для транспортних задач. Налаштувавши функцію, можна проаналізувати, скільки палива споживається, і як користувач може відповідно знизити ціни на нього. Цільові функції також корисні в проблемах відстані.
Розв'язані задачі на цільову функцію
Проблема 1: Людина хоче мати ремені та гаманці. Він має загальні заощадження 6000 рупій і хоче витратити всі свої заощадження на покупку ременів і гаманців, щоб потім продати їх. Вартість гаманця становить 20 рупій, а вартість пояса – 10 рупій. Він хоче зберігати їх у шафі, і максимальна місткість шафи становить 50 одиниць. Він очікує прибутку 2 рупії на поясі та 3 рупії на гаманці. Знайдіть обмеження та результуючу цільову функцію.
рішення:
Нехай x — це кількість гаманців, які потрібно придбати, а y — кількість ременів, які потрібно придбати. Слід зазначити, що коли в задачі згадується максимум, ми повинні використовувати «⩽» для пошуку обмежень
Максимальна інвестиція становить 6000 рупій. Перше рівняння обмеження таке
20x+10y⩽6000
Максимальна місткість шафи - 50
x+y⩽50
Тут функція прибутку в основному є цільовою функцією. Позначимо це P. Тому функція прибутку є
P = 3x + 2y
Завдання 2: Визначте рівняння зв’язку та цільову функцію із заданого набору
- 2x + 3y ⩾ 50
- x + y ⩽ 50
- 5x + 4y ⩽ 40
- Z = 7x + 8y
Де x і y більші за 0.
двійковий пошук
рішення:
Обмеженнями можуть бути нерівність або формат нерівності. Але цільова функція завжди має символ рівності
Тому рівняння обмежень є
2x + 3y ⩾ 50
x + y ⩽ 50
5x + 4y ⩽ 40
Цільове рівняння: Z = 7x + 8y
Проблема 3: Жінка витрачає щонайбільше 7 годин часу на приготування роті та хліба. Вона витрачає 2 години на роті та 4 години на хліб. Вона прагне виготовити щонайбільше 20 хлібів і роті та хоче продати їх і отримати прибуток у 2 рупії на роті та 1 рупію на хлібі. Знайдіть цільову функцію.
рішення:
Нехай х — кількість роті, а у — кількість хліба.
Жінка може витратити максимум 7 годин, витративши 2 години на приготування роті та 4 години на приготування хліба. Отже, перше рівняння обмеження таке
2x + 4y ⩽ 7
Максимальна кількість хліба та роті, які вона може приготувати, становить 20
x + y ⩽ 20
Позначимо цільову функцію Z
Тому Z = 2x + y.
Проблема 4: Компанія хоче виробляти продукт А та продукт Б. Для продукту А потрібно 4 одиниці какао-порошку та 1 одиницю сухого молока. Для продукту Б потрібно 3 одиниці какао-порошку та 2 одиниці сухого молока. Доступно 87 одиниць какао-порошку та 45 одиниць сухого молока. Прибуток від кожного продукту становить 3 і 5 доларів відповідно. Знайдіть цільову функцію.
рішення:
Нехай x позначає кількість товару A, а y позначає кількість товарів типу B.
Максимальна кількість какао-порошку - 87 одиниць. Отже, перше рівняння обмеження таке
4x + 3y ⩽ 87
Максимальна доступна кількість сухого молока становить 45 одиниць. Отже, друге рівняння обмеження таке
x + 2y ⩽ 45
Тут наша мета — максимізувати прибуток. Отже, наша функція прибутку є функцією цілі. Позначимо його Z
виконати оболонку сценаріюZ = 3x + 5y
Проблема 5: Необхідно створити два типи харчових пакетів А і В, які містять вітаміни. Є принаймні 45 одиниць харчового пакету A, які мають бути доступні, і виробництво обох харчових пакетів має бути принаймні 30. Згенеруйте цільову функцію, яка має бути згенерована, де харчовий пакет A містить 6 одиниць вітамінів, а харчовий пакет B має 8 одиниць. .
рішення:
Нехай x — кількість харчових пакетів A, а y — кількість харчових пакетів B
Необхідно надати щонайменше 45 харчових пакетів. Отже, перше рівняння обмеження таке
x ⩾ 45
Друге рівняння обмеження таке
x + y ⩾ 30
Цільова функція така:
Z = 6x + 8y
Поширені запитання про цільову функцію
Q1: Що таке цільова функція в задачі лінійного програмування?
відповідь:
Цільова функція — це функція з дійсним значенням, яку потрібно максимізувати або мінімізувати залежно від обмежень. Він містить дві змінні рішення.
Q2: Яка мета цільової функції?
відповідь:
Метою цільової функції є максимізація або мінімізація результуючого значення. Це рівняння, яке виражається через змінні рішення та відіграє вирішальну роль у лінійному програмуванні.
Q3: Як ми розуміємо, що функція має бути максимізовано чи мінімізовано?
відповідь:
Щоб перевірити, чи потрібно максимізувати функцію чи ні, ми повинні бути знайомі з такими термінами, як «щонайбільше», «принаймні». Якщо термін «принаймні» ставиться під сумнів, то цільова функція повинна бути мінімізована. Для терміну «не більше» функція має бути максимізована.
Q4: Назвіть загальні типи цільових функцій.
відповідь:
Існує два типи цільових функцій:
- Цільова функція максимізації
- Цільова функція мінімізації
Q5: Які програми цільової функції?
відповідь:
Існують різні застосування функції Objective. Вони корисні в сценаріях реального життя. Вони в основному використовуються для оцінки прибутку чи збитку в кожному конкретному випадку. Цільові функції корисні в транспортних задачах, проблемах часових обмежень тощо.