Місцеві максимуми та мінімуми посилаються на точки функцій, які визначають найвищий і найнижчий діапазон цієї функції. Похідну функції можна використовувати для обчислення локальних максимумів і локальних мінімумів. Локальні максимуми та мінімуми можна знайти за допомогою тесту першої та другої похідної.

У цій статті ми обговоримо вступ, визначення та важливу термінологію локальних максимумів і мінімумів і їх значення. Ми також розберемося з різними методами обчислення локальних максимумів і мінімумів у математиці обчислення . Ми також розв’яжемо різні приклади та надамо практичні запитання для кращого розуміння концепції цієї статті.

Зміст

• Що таке локальні максимуми та локальні мінімуми?
• Визначення локальних максимумів і локальних мінімумів
• Терміни, пов’язані з локальними максимумами та локальними мінімумами
• Як знайти локальні максимуми та мінімуми?
• Приклади локальних максимумів і локальних мінімумів

Що таке локальні максимуми та локальні мінімуми?

Локальні максимуми та мінімуми називаються максимальними та мінімальними значеннями в певному інтервалі. Локальний максимум виникає, коли значення a функція поблизу певної точки завжди нижчі за значення функції в тій же точці. У випадку локальних мінімумів значення функції поблизу певної точки завжди перевищують значення функції в тій самій точці.

У простому розумінні точка називається локальним максимумом, коли функція досягає найвищого значення в певному інтервалі, а точка називається локальним мінімумом, коли функція досягає найнижчого значення в певному інтервалі.

Наприклад, якщо ви йдете в горбисту місцевість і стоїте на вершині пагорба, ця точка називається точкою локального максимуму, оскільки ви перебуваєте на найвищій точці у своєму оточенні. Подібним чином, якщо ви стоїте в найнижчій точці річки чи моря, ця точка називається точкою місцевого мінімуму, тому що ви перебуваєте в найнижчій точці у вашому оточенні.

Визначення локальних максимумів і локальних мінімумів

Локальні максимуми та мінімуми є початковими значеннями будь-якої функції, щоб отримати уявлення про її межі, наприклад найвищі та найнижчі вихідні значення. Місцеві мінімуми та локальні максимуми також називають локальними екстремумами.

Місцеві максимуми

Точка локального максимуму — це точка будь-якої функції, де функція досягає свого максимального значення протягом певного інтервалу. Точка (x = a) функції f (a) називається локальним максимумом, якщо значення f(a) більше або дорівнює всім значенням f(x).

string.format

Математично, f (a) ≥ f (a -h) і f (a) ≥ f (a + h), де h> 0, тоді a називається локальною точкою максимуму.

Місцеві мінімуми

Точка локального мінімуму — це точка на будь-якій функції, де функція досягає свого мінімального значення протягом певного інтервалу. Точка (x = a) функції f (a) називається локальним мінімумом, якщо значення f(a) менше або дорівнює всім значенням f(x).

Математично, f (a) ≤ f (a -h) і f (a) ≤ f (a + h), де h> 0, тоді a називається точкою локального мінімуму.

Терміни, пов’язані з локальними максимумами та локальними мінімумами

Нижче наведено важливу термінологію, пов’язану з локальними максимумами та мінімумами:

Максимальне значення

Якщо будь-яка функція дає максимальне вихідне значення для вхідного значення x. Це значення x називається максимальним значенням. Якщо він визначений у певному діапазоні. Тоді ця точка називається Місцеві максимуми .

Абсолютний максимум

Якщо будь-яка функція дає максимальне вихідне значення для вхідного значення x уздовж усього діапазону функції. Це значення x називається абсолютним максимумом.

Мінімальна вартість

Якщо будь-яка функція дає мінімальне вихідне значення для вхідного значення x. Це значення x називається мінімальним значенням. Якщо він визначений у певному діапазоні. Тоді ця точка називається Місцеві мінімуми .

Абсолютний мінімум

Якщо будь-яка функція дає мінімальне вихідне значення для вхідного значення x уздовж усього діапазону функції. Це значення x називається абсолютним мінімумом.

Точка інверсії

Якщо значення x у діапазоні даної функції не показує найвищий і найнижчий результат, це називається точкою інверсії.

Вивчайте більше, Абсолютні максимуми і мінімуми

Як знайти локальні максимуми та мінімуми?

Локальні максимуми та мінімуми визначаються лише для певного діапазону, вони не є максимумом і мінімумом для всієї функції та не застосовуються до всього діапазону функції.

Існує наступний підхід до розрахунку локальних максимумів і мінімумів. Це:

• На першому кроці ми беремо похідну функції.

• На другому кроці ми встановлюємо похідну рівною нулю та обчислюємо критичні точки для c.

• На третьому кроці ми використовуємо Перша похідна і Тест другої похідної для визначення локальних максимумів і локальних мінімумів.

Що таке перший похідний тест?

По-перше, ми беремо першу похідну функції, яка дає нахил функції. Коли ми наближаємося до точки максимуму, нахил функції збільшується, потім стає нульовим у точці максимуму, а потім зменшується, коли ми віддаляємося від неї.

Так само в точці мінімуму, коли ми наближаємося до точки мінімуму, нахил кривої зменшується, потім стає нульовим у точці мінімуму, а потім збільшується, коли ми віддаляємось від цієї точки.

Візьмемо функцію f(x), яка є неперервною в критичній точці c, у відкритому інтервалі I, і f'(c) = 0 означає нахил у критичній точці c = 0.

Щоб перевірити природу f'(x) навколо критичної точки c, ми маємо наступні умови для визначення значення локального максимуму та мінімуму з тесту першої похідної. Ці умови:

• Якщо f ′(x) змінює знак з позитивного на негативний, коли x збільшується через c, то f(c) показує найвище значення цієї функції в заданому діапазоні. Отже, точка c є точкою локального максимуму, якщо перша похідна f ‘(x)> 0 у будь-якій точці досить близько ліворуч від c і f ‘(x) <0 у будь-якій точці достатньо близько праві від c.

• Якщо f ′(x) змінює знак з негативного на позитивний, коли x збільшується через c, тоді f(c) показує найнижче значення цієї функції в заданому діапазоні. Отже, точка c є точкою локального мінімуму, якщо перша похідна f ‘(x) дорівнює 0 у будь-якій точці досить близько праворуч від c.

• Якщо f'(x) суттєво не змінює знак із зростанням x через c, то точка c не показує найвище (локальний максимум) і найменше (локальний мінімум) значення функції. У такому випадку точка c є називається точка перегину.

Докладніше про Перший похідний тест .

Що таке тест другої похідної?

Тест другої похідної використовується для визначення значення абсолютного максимуму та абсолютного мінімуму будь-якої функції в межах певного інтервалу. Візьмемо функцію f(x), яка є неперервною в критичній точці c, у відкритому інтервалі I, і f'(c) = 0 означає нахил у критичній точці c = 0. Тут ми беремо другу похідну f (x) функції f(x), яка дає нахил функції.

Щоб перевірити природу f'(x), ми маємо наступні умови для визначення значення локального максимуму та мінімуму з тесту другої похідної. Ці умови:

• Точка c є точкою локального максимуму, якщо перша похідна f'(c) = 0, а друга похідна f(c) <0. Точка при x= c буде локальним максимумом, а f(c) буде локальним максимальним значенням f(x).

• Точка c є точкою локального мінімуму, якщо перша похідна f'(c) = 0, а f(c) друга похідна> 0. Точка при x= c буде локальним мінімумом, а f(c) буде Місцеве мінімальне значення f(x).

• Тест не вдається, якщо перша похідна f'(c) = 0, а друга похідна f(c) = 0, тоді точка c не показує найвище (локальний максимум) і найменше (локальний мінімум) значення функції , У такому випадку точка c називається точкою перегину, а точка x = c називається точкою Точка перегину.

Також перевірте

• Застосування похідних
• Відносні максимуми та мінімуми
• Формула диференціації та інтеграції

Приклади локальних максимумів і локальних мінімумів

Приклад 1: Аналізуйте локальні максимуми та локальні мінімуми функції f(x) = 2x ³ – 3 рази ² – 12x + 5 за допомогою першої похідної.

рішення:

Дана функція f(x) = 2x³– 3 рази²– 12x + 5

Перша похідна функції є f'(x) = 6x²– 6x – 12, він використовуватиме для визначення критичних точок.

Щоб знайти критичну точку, f'(x) = 0;

6x²– 6x – 12 = 0

6(x²– x – 2) = 0

6(x + 1)(x – 2) = 0

Отже, критичні точки x = -1 і x = 2.

Проаналізуйте першу похідну безпосередньої точки до критичної точки x = -1. Очки {-2, 0}.

f'(-2) = 6(4 + 2 – 2) = 6(4) = +24 і f'(0) = 6(0 + 0 – 2) = 6(-2) = -12

Знак похідної додатний ліворуч від x = -1 і від’ємний праворуч. Отже, це вказує на те, що x = -1 є локальним максимумом.

Давайте тепер проаналізуємо першу похідну безпосередньої точки до критичної точки x = 2. Точки є {1,3}.

f'(1) = 6(1 -1 -2) = 6(-2) = -12 і f'(3) = 6(9 + -3 – 2) = 6(4) = +24

команда розтягування autocad

Знак похідної від'ємний ліворуч від x = 2 і додатний праворуч. Отже, це вказує, що x = 2 є локальним мінімумом.

Таким чином, локальний максимум дорівнює -1, а локальний мінімум дорівнює 2.

Приклад 2: Аналізуйте локальні максимуми та локальні мінімуми функції f(x) = -x ³ +6x ² -12x +10 за допомогою тесту другої похідної.

рішення:

Дана функція f(x) = -x³+6x²-12x +10

Перша похідна функції f'(x) = -x³+6x²-12x +10, він використовуватиме для визначення критичних точок.

Щоб знайти критичну точку, f'(x) = 0;

f'(x) = -3x²+ 12x -12 = 0

3(-x²+ 4x – 3) = 0

x²– 4x + 3 = 0

(x – 1)(x – 3) = 0

Отже, критичними точками є x = 1 і x = 3

кислотні властивості в dbms

Тепер візьміть другу похідну функції,

f(x) = 6x – 12

Оцініть f(x) у критичній точці x=1

f(1) = 6(1) – 12 = 6 – 12 = -6

f(1) <0, і, отже, x = 1 відповідає локальним максимумам.

Оцініть f(x) у критичній точці x = 3

f(3) = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6

f(3)> 0, і, отже, x = 3 відповідає локальним мінімумам.

Тепер ми обчислимо значення функції в критичних точках:

f(1) = -(1)³+6(1)²-12(1) +10 = 3, тому локальний максимум знаходиться на (1, 3)

f(3) = -(3)³+6(3)²-12(3) +10 = 1, тому локальний максимум знаходиться на (3, 1)

Практичні запитання щодо локальних мінімумів і максимумів

Q1. Знайдіть локальні максимуми та локальні мінімуми функції f(x) = 2×3 – 3x²-12x +5 за допомогою тесту другої похідної.

Q2. Знайдіть і проаналізуйте локальні максимуми та локальні мінімуми функції f(x) = – x²+4x -5 за допомогою тесту другої похідної.

Q3. Знайдіть локальні максимуми та локальні мінімуми функції f(x) = x²-4x +5 за допомогою першої похідної.

Q4. Знайдіть і проаналізуйте локальні максимуми та локальні мінімуми функції f(x) = 3x²-12x +5 за допомогою першої похідної.

Q5. Знайдіть і проаналізуйте локальні максимуми та локальні мінімуми функції f(x) = x³– 6x²+9x + 15 за допомогою першої похідної.

Q6. Знайдіть і проаналізуйте локальні максимуми та локальні мінімуми функції f(x) = 2x³-9x²+12x +5 за допомогою тесту другої похідної.

Локальні максимуми та локальні мінімуми – поширені запитання

Що таке локальні максимуми?

Точка називається локальним максимумом, коли функція досягає найвищого значення в певному інтервалі.

Як знайти локальний максимум?

Диференціюючи функцію та знаходячи критичне значення, при якому нахил дорівнює нулю, ми можемо знайти локальний максимум.

Що таке місцеві мінімуми?

Точка називається локальним мінімумом, коли функція досягає найнижчого значення в певному інтервалі.

Які методи можна використовувати для обчислення локальних максимумів і локальних мінімумів?

Тест першої похідної та тест другої похідної.

Яка різниця між тестом першої похідної та тестом другої похідної?

Перевірка першої похідної є наближеним методом обчислення значення максимумів і локальних мінімумів lLcal, а перевірка другої похідної є систематичним і точним методом обчислення значення локальних максимумів і локальних мінімумів.

Що означає точка інверсії?

Якщо значення точки в діапазоні заданої функції не показує найвищий і найнижчий результат, ця точка називається точкою інверсії.

Яке використання локальних максимумів і локальних мінімумів?

Щоб знайти екстремальне значення функції в певному діапазоні.