Нехай L — непорожня множина, замкнута на дві двійкові операції, які називаються зустріч і з’єднання, позначаються ∧ та ∨. Тоді L називається решіткою, якщо виконуються такі аксіоми, де a, b, c є елементами в L:
1) Комутативний закон: -
(a) a ∧ b = b ∧ a (b) a ∨ b = b ∨ a
2) Асоціативний закон: -
(a) (a ∧ b)∧ c = a ∧(b∧ c) (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)
3) Закон поглинання: -
(a) a ∧ ( a ∨ b) = a (b) a ∨ ( a ∧ b) = a
Подвійність:
Подвійне будь-яке твердження в решітці (L,∧ ,∨) визначається як твердження, отримане шляхом заміни ∧ на ∨.
Наприклад , подвійний до a ∧ (b ∨ a) = a ∨ a є a ∨ (b ∧ a )= a ∧ a
Обмежені решітки:
Решітка L називається обмеженою, якщо вона має найбільший елемент 1 і найменший елемент 0.
приклад:
- Степеневий набір P(S) множини S за операціями перетину та об’єднання є обмеженою решіткою, оскільки ∅ є найменшим елементом P(S), а множина S є найбільшим елементом P(S).
- Набір +ve цілого числа I+у звичайному порядку ≦ не є обмеженою решіткою, оскільки вона має найменший елемент 1, але найбільший елемент не існує.
Властивості обмежених решіток:
Якщо L — обмежена решітка, то для будь-якого елемента a ∈ L мають місце такі тотожності:
- a ∨ 1 = 1
- a ∧1= a
- a ∨0=a
- a ∧0=0
Теорема: Доведіть, що кожна скінченна решітка L = {a1,a2,a3....ап} є обмеженим.
Доказ: Ми дали скінченну решітку:
L = {a1,a2,a3....ап}
Таким чином, найбільшим елементом решіток L є a1∨ a2∨ a3∨....∨aп.
Крім того, найменшим елементом решітки L є a1∧ a2∧a3∧....∧aп.
Оскільки для кожної кінцевої решітки існують найбільший і найменший елементи. Отже, L є обмеженим.
Субрешітки:
Розглянемо непорожню підмножину L1решітки L. Тоді L1називається підрешіткою L, якщо L1сама є решіткою, тобто операція L, тобто a ∨ b ∈ L1і a ∧ b ∈ L1коли a ∈ L1і b ∈ L1.
string.contains java
приклад: Розглянемо решітку всіх +pe цілих чисел I+під дією подільності. Решітка Dпусіх дільників n > 1 є підрешіткою I+.
Визначте всі підґратки D30які містять принаймні чотири елементи, D30={1,2,3,5,6,10,15,30}.
рішення: Підґратки D30які містять щонайменше чотири елементи:
1. {1, 2, 6, 30} 2. {1, 2, 3, 30}
3. {1, 5, 15, 30} 4. {1, 3, 6, 30}
5. {1, 5, 10, 30} 6. {1, 3, 15, 30}
7. {2, 6, 10, 30}
Ізоморфні решітки:
Дві решітки Л1і Л2називаються ізоморфними гратками, якщо існує бієкція з L1до Л2тобто f: L1⟶ Л2, так що f (a ∧ b) =f(a)∧ f(b) і f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b)
приклад: Визначте, чи є решітки, зображені на рис.
рішення: Решітки, зображені на рис, є ізоморфними. Розглянемо відображення f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}. Наприклад, f (b ∧ c) = f (a) = 1. Крім того, ми мають f (b) ∧ f(c) = 2 ∧ 3 = 1
Розподільна решітка:
Решітка L називається дистрибутивною, якщо для будь-яких елементів a, b і c L вона задовольняє такі розподільні властивості:
- a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
- a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
Якщо решітка L не задовольняє наведеним вище властивостям, її називають недистрибутивною.
приклад:
- Степенева множина P (S) множини S при операції перетину та об’єднання є розподільною функцією. оскільки,
a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c)
а також a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪c) для будь-яких множин a, b і c з P(S). - Решітка, показана на рис. II, є розподільною. Оскільки він задовольняє розподільні властивості для всіх упорядкованих трійок, які беруться з 1, 2, 3 і 4.
Доповнення та доповнені решітки:
Нехай L — обмежена решітка з нижньою межею o та верхньою межею I. Нехай a — елемент, якщо L. Елемент x у L називається доповненням до a, якщо a ∨ x = I і a ∧ x = 0
Решітка L називається доповненою, якщо L обмежена і кожен елемент у L має доповнення.
приклад: Визначте доповнення до a і c на рис.
рішення: Доповненням до a є d. Оскільки a ∨ d = 1 і a ∧ d = 0
Доповнення до c не існує. Оскільки не існує жодного елемента c такого, що c ∨ c'=1 і c ∧ c'= 0.
Модульна решітка:
Решітка (L, ∧,∨) називається модульною решіткою, якщо a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c, якщо a ≦ c.
Прямий добуток решіток:
Нехай (Л1∨1∧1) і (Л2∨2∧2) бути двома ґратками. Тоді (L, ∧,∨) є прямим добутком ґраток, де L = L1x L2в якій бінарна операція ∨(join) і ∧(meet) на L є такими, що для будь-якого (a1,b1) і (а2,b2) в Л.
(а1,b1)∨( а2,b2)=(а1∨1a2,b1∨2b2)
і (а1,b1) ∧ ( а2,b2)=(а1∧1a2,b1∧2b2).
приклад: Розглянемо решітку (L, ≦), як показано на рис. де L = {1, 2}. Визначити решітки (Л2, ≦), де L2=L x L.
рішення: Решітка (Л2, ≦) показано на рис.