Імплікація може бути представлена у формі «якщо...то». Символ ⇒ використовується, щоб показати зміст. Припустимо, що є два висловлювання, P і Q. У цьому випадку висловлювання «якщо P, то Q» також можна записати як P ⇒ Q або P → Q, і воно читатиметься як «P означає Q». У цій імплікації твердження P є гіпотезою, яка також відома як передумова та антецедент, а твердження Q є висновком, який також відомий як наслідок.
Імплікація також відіграє важливу роль у логічній аргументації. Якщо наслідки тверджень відомі як істинні, тоді щоразу, коли виконується передумова, висновок також має бути істинним. З цієї причини імплікація також відома як умовний оператор.
Деякі приклади наслідків описані нижче:
метод java
- «Якщо в ГОА буде сонячна погода, ми підемо на пляж».
- «Якщо в клубі є система знижок, то ми підемо в цей клуб».
- «Якщо на пляж сонячно, то ми будемо засмаглими».
Логічний наслідок можна виразити різними способами, які описуються наступним чином:
- Якщо p, то q
- Якщо p, q
- q коли p
- Q тільки якщо P
- q, якщо ~p
- q кожного разу, коли p
- p є достатньою умовою для q
- q дотримуйтеся стор
- p означає q
- Необхідною умовою для p є q
- q якщо p
- q необхідно для p
- p є необхідною умовою для q
Тепер ми опишемо приклади всіх вищеописаних наслідків за допомогою передумови P і висновку Q. Для цього припустимо, що P = Сонячно і Q = Я піду на пляж.
P ⇒ Q
- ЯКЩО буде сонячно, то я піду на пляж
- ЯКЩО буде сонячно, я піду на пляж
- Я піду на пляж, КОЛИ буде сонячно
- Я піду на пляж, ТІЛЬКИ ЯКЩО буде сонячно
- Я піду на пляж, ЯКЩО не буде сонячно
- Я піду на пляж ЗАВЖДИ, КОЛИ буде сонячно
- Сонячно ЦЕ ДОСТАТНЯ УМОВА, ЩОБ Я піду на пляж
- Я піду на пляж СЛІДКУЙ, сонячно
- Сонячно ОЗНАЧАЄ, що я піду на пляж
- ОБОВ'ЯЗКОВА УМОВА, ЩОБ було сонячно, я піду на пляж
- Я піду на пляж, ЯКЩО буде сонячно
- Я піду на пляж ПОТРІБНО, бо сонячно
- Сонячно - ЦЕ ОБОВ'ЯЗКОВА УМОВА, ЩОБ Я піду на пляж
Якщо є умовне твердження «якщо p, то q», тоді це твердження P ⇒ Q буде хибним, якщо передумови p істинні, а висновок q хибний. У всіх інших випадках це означає, що коли p хибне або Q істинне, твердження P ⇒ Q буде істинним. Ми можемо представити це твердження за допомогою таблиці істинності, в якій хибність буде представлена F, а істина буде представлена T. Таблиця істинності твердження «якщо P, то Q» описується наступним чином:
| П | Q | P ⇒ q |
| Т | Т | Т |
| Т | Ф | Ф |
| Ф | Т | Т |
| Ф | Ф | Т |
Не обов’язково, щоб посилки та висновок були пов’язані одне з одним. На основі формулювання P і Q залежить інтерпретація таблиці істинності.
Наприклад:
- Якщо Джек пластиковий, то Океан зелений.
- Твердження: Джек виготовлений із пластику
- Твердження: Океан зелений
Наведені вище два твердження не мають жодного сенсу, тому що Джек — людина, і він ніколи не може бути зроблений із пластику, а інше твердження «Океан зелений» ніколи не відбудеться, оскільки океан завжди блакитний, а колір Океану неможливо змінити. Як ми бачимо, обидва твердження не пов’язані одне з одним. З іншого боку, таблиця істинності для твердження P ⇒ Q дійсна. Отже, питання не в тому, чи правильна таблиця істинності чи ні, це питання уяви та інтерпретації.
Отже, у P ⇒ Q нам не потрібен будь-який тип зв’язку між передумовою та наслідком. Від справжнього значення P і Q залежить лише їх значення.
Ці твердження також будуть хибними, навіть якщо ми розглядаємо обидва твердження для нашого світу
False ⇒ False
Отже, коли ми дивимося на наведену вище таблицю істинності, ми бачимо, що коли P хибне, а Q хибне, тоді P ⇒ Q істинне.
Отже, якщо Джек пластиковий, то Океан буде зеленим.
Однак передумова p і висновок q будуть пов’язані, і обидва твердження мають сенс.
Неоднозначність
У неявному операторі може бути неоднозначність. Отже, коли ми використовуємо оператор імплікації (⇒), у цей час ми повинні використовувати круглі дужки.
Наприклад: У цьому прикладі ми маємо неоднозначне твердження P ⇒ Q ⇒ R. Тепер у нас є два неоднозначні твердження ((P ⇒ Q) ⇒ R) або (P ⇒ (Q ⇒ R)), і ми повинні показати, чи ці твердження схожі чи ні.
рішення: Доведемо це за допомогою таблиці істинності, яка описується наступним чином:
| П | Q | Р | (P ⇒ Q) | (Q ⇒ R) | P ⇒ (Q ⇒ R) | (P ⇒ Q) ⇒ R |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Ф | Ф | Ф | Т | Т | Т | Ф |
| Ф | Ф | Т | Т | Т | Т | Т |
| Ф | Т | Ф | Т | Ф | Т | Ф |
| Ф | Т | Т | Т | Т | Т | Т |
| Т | Ф | Ф | Ф | Т | Т | Т |
| Т | Ф | Т | Ф | Т | Т | Т |
| Т | Т | Ф | Т | Ф | Ф | Ф |
| Т | Т | Т | Т | Т | Т | Т |
У наведеній вище таблиці істинності ми бачимо, що таблиця істинності P ⇒ (Q ⇒ R) і (P ⇒ Q) ⇒ R не подібні. Отже, вони обидва генеруватимуть різні результати або результати.
Докладніше про наслідки
Ще кілька прикладів наслідків описано нижче:
- Якщо буде сонячно, то я піду до школи.
- Якщо я влаштуюся на хорошу роботу, я буду заробляти гроші.
- Якщо я отримаю хороші оцінки, то мої батьки будуть щасливі.
У всіх наведених вище прикладах ми заплуталися, тому що не знаємо, коли наслідки вважатимуться істинними, а коли – хибними. Щоб вирішити цю проблему та зрозуміти поняття імплікації, ми використаємо гіпотетичний приклад. У цьому прикладі ми припустимо, що Меррі буде грати в бадмінтон зі своїм хлопцем Джеком, а його хлопець Джек хоче трішки мотивувати Меррі, тому він спокушає її твердженням:
'If you win then I will buy a ring for you'
Цією заявою Джек має на увазі, що якщо виграє шлюб, то, очевидно, він купить каблучку. Завдяки цій заяві Джек бере на себе зобов’язання лише тоді, коли перемагає Маррі. Він ні в якому разі нічого не скоював, коли Марія звільнилася. Отже, наприкінці матчу може бути лише чотири варіанти, які описані наступним чином:
- Заміж виграє - купи каблучку.
- Одруження виграє - не купуй каблучки.
- Заміж програє - купи каблучку.
- Одружись програв - не купуй каблучки.
Однак Джек не зробив жодної заяви щодо правила (B). Він також не згадав правила під номерами (C) і (D) у своїй заяві, тож якщо Меррі програє, Джек вирішує купити їй каблучку чи ні. По суті, твердження (A), (C) і (D) можуть виникнути як результат твердження, яке Джек каже Мері, але (B) не буде результатом. Якщо трапиться результат (B), лише тоді Джек буде спійманий на брехні. У всіх інших трьох випадках, тобто (A), (C) і (D), він буде говорити правду.
Тепер ми використаємо простіший вираз, щоб ми могли символічно визначити висловлювання Джека так:
P: you win Q: I will buy a ring for you
У цій імплікації ми використовуємо логічний символ ⇒, який можна прочитати як «припускає». Ми сформуємо оператор Jack's Compound за допомогою розміщення цієї стрілки від P до Q таким чином:
P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you.
На закінчення ми помітили, що імплікація буде хибною лише тоді, коли P істинне, а q хибне. Згідно з цією заявою, Маррі виграє гру, але, на жаль, Джек не купує каблучку. У всіх інших випадках/результатах твердження буде вірним. Відповідно, таблиця істинності для імплікації описується наступним чином:
| П | Q | P ⇒ Q |
|---|---|---|
| Т | Т | Т |
| Т | Ф | Ф |
| Ф | Т | Т |
| Ф | Ф | Т |
Список відповідних логічних рівнянь для імплікації описано таким чином:
T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T
Приклади наслідків:
Існують різні приклади наслідків, і деякі з них описані нижче:
приклад 1: Припустимо, є чотири твердження: P, Q, R і S де
П: Джек у школі
З: Джек викладає
Р: Джек спить
С: Джек хворий
Тепер ми опишемо деякі символічні твердження, які пов’язані з цими простими твердженнями.
- P → R
- S → ~P
- ~Q → (S ∧ R)
- (P ∨ R) → ~Q
- (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P)
Тут ми повинні показати репрезентацію тлумачення цих символічних тверджень у словах.
рішення:
| P → R | Якщо Джек у школі, то Джек викладає. |
| S → ~P | Якщо Джек хворий, значить, він не в школі. |
| ~Q → (S ∧ R) | Якщо Джек не вчить, значить, він хворий і спить. |
| (P ∨ R) → ~Q | Якщо Джек у школі або спить, значить, він не викладає. |
| (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P) | Якщо Джек не спить і не хворіє, значить він вчить чи ні в школі. |
приклад 2: У цьому прикладі ми маємо імплікацію P → Q. Тут ми також маємо ще три складені твердження, які природно пов’язані з цією імплікацією, яка є контрпозитивною, інверсною та зворотною імплікації. Зв'язок між усіма цими чотирма твердженнями описаний за допомогою таблиці, яка описується наступним чином:
| Підтекст | P → Q |
| Конверс | Q → P |
| Зворотний | ~P → ~Q |
| Контрапозитивний | ~Q → ~P |
Зараз ми розглянемо приклад імплікації, який містить твердження: «Якщо ти добре вчишся, ти отримуєш хороші оцінки». Це твердження має форму P → Q, де
П: ти добре вчишся
З: Ви отримуєте хороші оцінки
Тепер ми використаємо твердження P і Q і покажемо чотири асоційованих твердження таким чином:
Наслідки: Якщо ти добре вчишся, ти отримуєш гарні оцінки.
Конверс: Якщо ви отримуєте хороші оцінки, ви добре вчитеся.
Зворотний: Якщо ви погано вчитеся, ви не отримаєте хороших оцінок.
Контрапозитивний: Якщо ви не отримуєте хороших оцінок, ви погано вчитеся.
Значення істинності всіх наведених вище асоційованих тверджень описано за допомогою таблиці істинності, яка описана наступним чином
| П | Q | ~P | ~Q | P → Q | Q → P | ~P → ~Q | ~Q → ~P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Т | Т | Ф | Ф | Т | Т | Т | Т |
| Т | Ф | Ф | Т | Ф | Т | Т | Ф |
| Ф | Т | Т | Ф | Т | Ф | Ф | Т |
| Ф | Ф | Т | Т | Т | Т | Т | Т |
У наведеній вище таблиці ми бачимо, що імплікація (P → Q) і її контрапозитив (~Q → ~P) мають однакові значення у своїх стовпцях. Це означає, що вони обидва еквівалентні. Отже, ми можемо сказати, що:
P → Q = ~Q → ~P
Подібним чином ми бачимо, що зворотний і зворотний мають однакові значення у своїх стовпцях. Але це не матиме жодного значення, оскільки зворотне є протилежним до зворотного. Подібним чином, вихідний наслідок може бути отриманий від контрапозитиву контрапозитиву. (Це означає, що якщо ми заперечуємо P і Q, а потім змінюємо напрямок стрілки, а після цього знову повторюємо процес, це означає заперечуємо ~P і ~Q і знову змінюємо напрямок стрілки, у цьому випадку ми отримаємо назад, де ми почали).