Пропозиційна логіка (PL) — це найпростіша форма логіки, де всі твердження складаються з пропозицій. Пропозиція - це декларативне твердження, яке є істинним або хибним. Це техніка представлення знань у логіко-математичній формі.

приклад:

 a) It is Sunday. b) The Sun rises from West (False proposition) c) 3+3= 7(False proposition) d) 5 is a prime number. 

Нижче наведено деякі основні факти про пропозиційну логіку:

що таке номер алфавіту

• Пропозиційну логіку також називають булевою логікою, оскільки вона працює з 0 і 1.
• У пропозиційній логіці ми використовуємо символічні змінні для представлення логіки, і ми можемо використовувати будь-який символ для представлення пропозиції, наприклад A, B, C, P, Q, R тощо.
• Пропозиції можуть бути істинними або хибними, але не можуть бути обома.
• Пропозиційна логіка складається з об’єкта, відносин або функції та логічні сполучники .
• Ці сполучники також називаються логічними операторами.
• Речення та сполучники є основними елементами пропозиційної логіки.
• Сполучники можна назвати логічним оператором, який з’єднує два речення.
• Формула пропозиції, яка завжди істинна, називається тавтологія , і його також називають дійсним реченням.
• Називається формула пропозиції, яка завжди хибна Протиріччя .
• Називається формула пропозиції, яка має як істинні, так і хибні значення
• Твердження, які є питаннями, наказами чи думками, не є пропозиціями, такими як « Де Рохіні ', ' Як справи ', ' Як вас звати ', не є пропозиціями.

Синтаксис пропозиційної логіки:

Синтаксис пропозиційної логіки визначає допустимі речення для представлення знань. Існує два типи пропозицій:

Атомні пропозиції Складені речення

Атомна пропозиція:Атомарні пропозиції - це прості пропозиції. Він складається з одного символу пропозиції. Це речення, які повинні бути істинними або хибними.

приклад:

 a) 2+2 is 4, it is an atomic proposition as it is a true fact. b) 'The Sun is cold' is also a proposition as it is a false fact. 

Складена пропозиція:Складні речення будуються шляхом комбінування простіших або атомарних речень з використанням дужок і логічних сполучників.

приклад:

 a) 'It is raining today, and street is wet.' b) 'Ankit is a doctor, and his clinic is in Mumbai.' 

Логічні сполучники:

Логічні сполучники використовуються для зв’язку двох простіших пропозицій або для логічного представлення речення. Ми можемо створювати складні речення за допомогою логічних сполучників. Існує в основному п’ять сполучників, які подано таким чином:

епоха міа халіфа

Заперечення:Таке речення, як ¬ P, називається запереченням P. Літерал може бути як позитивним, так і негативним літералом.Сполучення:Речення, яке має ∧ сполучні, такі як, P ∧ Q називається сполучником.
приклад: Рохан розумний і працьовитий. Це можна записати як,
P = Рохан розумний ,
З = Рохан працьовитий. → P∧ Q .диз'юнкція:Речення, яке має ∨ сполучник, наприклад P ∨ Q . називається диз'юнкцією, де P і Q є пропозиціями.
Приклад: «Рітика – лікар або інженер» ,
Тут P= Рітика – Доктор. З= Рітіка – це Доктор, тому ми можемо написати це як P ∨ Q .Наслідки:Таке речення, як P → Q, називається імплікацією. Наслідки також відомі як правила «якщо-тоді». Його можна представити як
Якщо йде дощ, потім на вулиці мокро.
Нехай P= Йде дощ, а Q= Вулиця мокра, тому це представлено як P → Qдвоумовний:Таке речення як P⇔ Q — двоумовне речення, наприклад, якщо я дихаю, то я живий
P= Я дихаю, Q= Я живий, це можна представити як P ⇔ Q.

Нижче наведено зведену таблицю для сполучників пропозиційної логіки:

Таблиця істинності:

У пропозиційній логіці нам потрібно знати істинні значення пропозицій у всіх можливих сценаріях. Ми можемо комбінувати всі можливі комбінації за допомогою логічних сполучників, і подання цих комбінацій у табличному форматі називається Таблиця істинності . Нижче наведено таблицю істинності для всіх логічних сполучників:

Таблиця істинності з трьома положеннями:

Ми можемо створити пропозицію, що складається з трьох пропозицій P, Q і R. Ця таблиця істинності складається з 8n кортежів, оскільки ми взяли три символи пропозицій.

Пріоритет сполучників:

Подібно до арифметичних операторів, існує порядок пріоритету для пропозиційних сполучників або логічних операторів. Цього порядку слід дотримуватися під час оцінки пропозиційної проблеми. Нижче наведено список порядку пріоритету для операторів:

Примітка. Для кращого розуміння використовуйте круглі дужки, щоб переконатися в правильному тлумаченні. Наприклад, ¬R∨ Q, його можна інтерпретувати як (¬R) ∨ Q.

Логічна еквівалентність:

Логічна еквівалентність є однією з ознак пропозиційної логіки. Два пропозиції називаються логічно еквівалентними тоді і тільки тоді, коли стовпці в таблиці істинності ідентичні один одному.

Давайте візьмемо два пропозиції A і B, тому для логічної еквівалентності ми можемо записати це як A⇔B. У таблиці істинності нижче ми бачимо, що стовпці для ¬A∨ B і A→B ідентичні, отже, A є еквівалентом B

Властивості операторів:

комутативність:
• P∧ Q= Q ∧ P, або
• P ∨ Q = Q ∨ P.
Асоціативність:
• (P ∧ Q) ∧ R= P ∧ (Q ∧ R),
• (P ∨ Q) ∨ R= P ∨ (Q ∨ R)
Елемент ідентифікації:
• P ∧ True = P,
• P ∨ True= Правда.
Розподільний:
• P∧ (Q ∨ R) = (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R).
• P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).
Закон Д.Е. Моргана:
• 2 > 4 8 2 > 4 8 2 > 4 5 =
• ¬ ( P ∨ Q ) = ( ¬ P ) ∧ ( ¬ Q ).
Усунення подвійного заперечення:
• ¬ (¬P) = P.

Обмеження пропозиційної логіки:

• Ми не можемо представити такі відносини, як ALL, some або none, за допомогою пропозиційної логіки. приклад:
  Всі дівчата розумні.
Деякі яблука солодкі.
• Пропозиційна логіка має обмежену виразну силу.
• У пропозиційній логіці ми не можемо описати твердження в термінах їхніх властивостей або логічних зв’язків.