Додавання та віднімання дробів може виглядати лякаюче на перший погляд. Ви не тільки працюєте з дробами, які, як відомо, заплутані, але раптом вам також доведеться зіткнутися з перетворенням чисельників і знаменників.

Але додавання і віднімання дробів — корисна навичка. Ознайомившись зі словниковим запасом і основами, ви з легкістю зможете додавати та віднімати дроби. У цьому посібнику ви дізнаєтеся про все, що вам потрібно знати про додавання та віднімання дробів , включаючи кілька прикладів завдань для перевірки ваших навичок.

Ключовий словниковий запас для додавання та віднімання дробів

Перш ніж ми зможемо приступити до математики для додавання та віднімання дробів, вам потрібно знати термінологію. Ми будемо використовувати ці терміни всюди , тож оновіть їх, щоб завжди знати, про яку частину дробу ми маємо на увазі.

дріб : число, яке не є цілим; частина цілого. Для наших цілей дріб стосуватиметься числа, записаного через a чисельник і а знаменник , наприклад $1/5$ або $147/4$.

Чисельник : верхнє число у дробі, що відображає кількість частин цілого, наприклад 1 у $1/5$.

Знаменник : нижнє число у дробі, що представляє загальну кількість частин, наприклад 5 у $1/5$.

Спільний знаменник : коли два дроби мають однаковий знаменник, наприклад $1/3$ і $2/3$.

Найменший спільний знаменник : найменший знаменник, який можуть поділити два дроби. Наприклад, найменший спільний знаменник $1/2$ і $1/5$ дорівнює 10, тому що найменше число, до якого входять і 2, і 5, дорівнює 10.

З пирогів виходять чудові фракції.

Як додавати та віднімати дроби?

Тепер, коли у вас є словниковий запас, настав час застосувати його в дії. Ви не можете просто додавати або віднімати дроби, як ціле число $1/4 - наприклад, 1/2$ не дорівнює $0/2$.

Натомість вам потрібно буде знайти спільний знаменник, перш ніж додавати чи віднімати . Існує багато способів знайти спільний знаменник, деякі з яких легші або ефективніші, ніж інші.

Один із найпростіших способів знайти спільний знаменник, хоча й не обов’язково найкращий, — це просто помножити два знаменники.

Наприклад, можливим найменшим спільним знаменником для $1/2$ і $1/12$ буде 24, яке ви знайдете, помноживши знаменник 2 на знаменник 12. Ви можете розв’язати задачу за допомогою спільного знаменника 24, використовуючи наведені нижче кроки, але якщо ви це зробите, ви зіткнетеся з проблемою — ваш дріб потрібно буде скоротити.

Щоб усунути потребу зменшувати після додавання або віднімання, натомість спробуйте знайти найменший спільний знаменник. Іноді це буде те саме, що помножити два знаменники, але часто це не так.

Однак знайти найменший спільний знаменник неважко — вам просто потрібно знати вашу таблицю множення . Наприклад, давайте спробуємо знайти найменший спільний знаменник, а не просто спільний знаменник, для тих самих дробів, які ми використовували вище:

$$1/2: та : 1/12$$.

Для цього перелічіть кілька кратних кожному знаменнику

кратне 2 : 2, 4, 6, 8, 10, 12 , 14, 16, 18, 20, 22, 24

кратне 12 : 12 , 24, 36, 48, 60

Потім перегляньте обидва списки кратних і знайдіть найменше спільне число. У цьому випадку і 2, і 12 мають спільні кратні 12. Якби ми продовжили, ми б отримали інші спільні кратні, наприклад 24, але 12 — найменше, тобто найменше спільне кратне .

Ви можете зробити це з будь-якою парою чисел, хоча більші числа можуть бути складнішими. Для додавання чи віднімання ви завжди можете повернутися до простого множення одного знаменника на інший, якщо вам важко знайти найменший спільний знаменник , але майте на увазі, що вам, ймовірно, доведеться зменшити.

Дроби - це найсмачніша частина математики.

Як додати дроби — Спосіб 1

Тепер, коли ви знаєте, як знайти спільний знаменник, ви готові почати додавати та віднімати.

Повернемося до прикладу $1/2$ і $1/12$ — у цьому випадку розглянемо цю проблему:

$$1/2 + 1/12$$

Пам’ятайте, що ви не можете додати прямо поперек; $1/2 + 1/12$ не дорівнює $2/14$.

№1: Знайдіть спільний знаменник

Спочатку ми знайдемо найменший спільний знаменник, оскільки це, як правило, найкращий спосіб зробити це.

Ми вже виконали роботу вище, але як нагадування, ви захочете виписати ряд кратних кожному числу, доки не знайдете збіг . У цьому випадку і 2, і 12 кратні 12.

№ 2: помножте, щоб отримати кожен чисельник на той самий знаменник

Завжди пам’ятайте, що все, що ви робите зі знаменником, також повинно бути зроблено з чисельником. Отже, давайте подивимося на ці два дроби, які нам потрібні, щоб перейти до знаменника 12.

$1/12$ — це легко — воно вже перевищує знаменник 12, тому нам не потрібно нічого з ним робити.

$1/2$ потрібно буде трохи попрацювати. Яке число, помножене на 2, дорівнюватиме 12?

Якщо перефразувати це питання як проблему, яку ми можемо вирішити, $2*?=12$. Або, ще простіше, ми можемо інвертувати операцію щоб отримати $12/2=?$, яку ми можемо легко вирішити.

Отже, тепер ми знаємо, що щоб перейти від знаменника 2 до знаменника 12, нам потрібно помножити на 6. Знову пам’ятайте, що все, що ви робите зі знаменником, потрібно також робити і з чисельником, тому помножте верхню частину та знизу на 6, щоб отримати $6/12$.

№3: Додайте чисельники, але залиште знаменники

Тепер, коли у вас однакові знаменники, ви можете додати чисельники прямо поперек.

У цьому випадку це означатиме, що $6/12 + 1/12 = 7/12 $. Запитайте себе, чи можна скоротити дріб, зменшивши чисельник і знаменник на одне й те саме число. У цьому випадку ви не можете, тому ваша відповідь проста $7/12$.

Як додати дроби — Спосіб 2

Крім того, ми могли б просто помножити два знаменники, щоб знайти інший спільний знаменник. Це інший спосіб вирішення проблеми, але в кінцевому результаті ви отримаєте ту саму відповідь.

№1: помножте знаменники разом

Тут немає хитрощів — просто помножте 2 на 12, щоб отримати 24. Це буде вашим спільним знаменником.

№ 2: помножте, щоб отримати кожен чисельник на той самий знаменник

Так само, як ми робили, коли знаходили найменший спільний знаменник, нам потрібно буде помножити верхнє та нижнє число кожного дробу. У цьому випадку скористайтеся зворотними операціями, щоб дізнатися, яке число потрібно помножити.

Якщо $1/2$ має бути $?/24$, ви можете зробити $24÷2$, щоб визначити, на яке число вам потрібно помножити — 12. Помножте верх і низ на 12, щоб отримати $12/24$.

Повторіть процес із $1/12$. Якщо $1/12$ має бути $?/24$, розв’яжіть $24÷12$, щоб отримати 2. Тепер помножте чисельник і знаменник $1/12$ на 2, щоб отримати $2/24$.

#3: Додайте чисельники разом

Тепер ви можете просто додати прямо поперек. $12/24 + 2/24 = 14/24 $$.

#4: Зменшити

Ось де з’являється додатковий крок. $14/24$ не є дріб у найнижчому вигляді, тому нам потрібно його скоротити. Щоб зменшити, нам потрібно розділити чисельник і знаменник на одне й те саме число.

Для цього нам потрібно знайти найбільший спільний дільник. Подібно до знаходження найменшого спільного кратного, це означає перерахування чисел, доки ми не знайдемо два множники, спільні для чисельника та знаменника, за винятком 1, ось так:

14 : 2 , 7

24 : 2 , 3, 4, 6, 8, 12

Яке у них спільне число? 2. Це означає, що 2 — наш найбільший спільний дільник, а отже, число, на яке ми будемо ділити чисельник і знаменник.

$14÷2=7$ і $24÷2=12$, що дає нам відповідь $7/12$.

Відповідь така ж, як і тоді, коли ми розв’язували за допомогою найменшого спільного кратного, і її неможливо зменшити далі, тож це наша остаточна відповідь!

Якщо ви коли-небудь помітили, що безуспішно записуєте багато факторів, є кілька швидких способів визначити потенційні фактори.

• Якщо число парне, його можна поділити на 2.
  
  
• Якщо ви можете додати цифри числа, яке ділиться на 3, це число ділиться на 3, наприклад 96 ($9+6=15$ і $1+5=6$, яке ділиться на 3).
  
  
• Якщо число закінчується на 5 або 0, воно ділиться на 5.
  
  
Якщо ви не впевнені, коли припинити пошук множників, відніміть менше число від більшого.Це число буде найбільшим можливо спільний фактор, але не самий найбільший спільний фактор.

Наприклад, візьмемо 50 і 32. Звичайно, ми могли б просто розділити обидва на 2 і продовжувати скорочувати звідти, але якщо ви робите $50-32$, ви отримуєте 18, що говорить нам припинити шукати найбільший спільний дільник, коли ми досягнемо 18 .

На практиці це виглядає так:

п'ятдесят : 2 , 5, 10

32 : 2 , 4, 8, 16

Замість того, щоб продовжувати, ми знаємо, що потрібно зупинитися, коли наступний фактор буде 18 або вище, що не дасть нам витрачати більше часу на з’ясування факторів, які нам не потрібні. Ми можемо набагато швидше побачити, що найбільший спільний дільник дорівнює 2, і рухатися далі з проблемою!

$1/1 - 1/? = ням$

Як віднімати дроби

Коли ви освоїте додавання дробів, віднімання дробів стане простою справою! Процес точно такий самий, хоча ви, природно, відніматимете замість додавання.

№1: Знайдіть спільний знаменник

Давайте розглянемо наступний приклад:

$$2/3-3/10$$

Нам потрібно знайти найменше спільне кратне для знаменників, яке буде виглядати так:

3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30

10 : 10, 20, 30

Перше спільне число — 30, тому ми поставимо обидва чисельники над знаменником 30.

№2: помножте, щоб отримати обидва чисельники до одного знаменника

Спочатку нам потрібно визначити, на скільки нам потрібно помножити чисельник і знаменник кожного дробу, щоб отримати знаменник 30. Для $2/3$, яке число, помножене на 3, дорівнює 30? У формі рівняння:

$$30÷3=?$$

Наша відповідь – 10, тому ми помножимо чисельник і знаменник на 10, щоб отримати 20/30 доларів.

Далі ми повторимо процес для другої фракції. Яке число потрібно помножити на 10, щоб отримати 30? Ну, $30÷10=3$, тому ми помножимо верх і низ на 3, щоб отримати $9/30$.

Це становить нашу проблему $20/30-9/30$, що означає, що ми готові продовжувати!

#3: Відніміть чисельники

Так само, як ми робили з додаванням, ми віднімемо один чисельник від іншого, але залишимо знаменники.

$20/30-9/30=11/30$$.

Оскільки ми знайшли найменше спільне кратне, ми вже знаємо, що задачу неможливо зменшити.

Однак припустімо, що ми просто помножили 3 на 10, щоб отримати знаменник 30, тому нам потрібно перевірити, чи можна зменшити. Давайте використаємо цю маленьку хитрість, яку ми навчилися, щоб знайти найкращого можливо загальний множник. Незалежно від того, які частки 11 і 30 поділяють, вони не можуть перевищувати 30-11 доларів або 19.

одинадцять : одинадцять

30 : 2, 3, 5, 6, 10, 15

Оскільки вони не мають спільних факторів, відповідь не може бути скорочена далі.

$1/10$ піца все ще коштує 10/10$ смачно.

Приклади додавання і віднімання дробів

Давайте розглянемо ще кілька прикладів завдань!

$$8/15-4/9$$

№1: Знайдіть спільний знаменник

п'ятнадцять : 15, 30, Чотири , 60

9 : 9, 18, 27, 26, Чотири

№2: помножте, щоб отримати обидва чисельники до одного знаменника

$$45/15=o3$$

$$8÷3=24$$

$15*3=45$$

$24/45$$

$$45÷9=o5$$

$$4*5=20$$

$$9*5=45$$

$20/45$$

#3: Відніміть чисельники

$$24/45-20/45=o4/o45$$

$$6/11+3/4$$

№1: Знайдіть спільний знаменник

одинадцять : 11, 22, 33, 44

4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44

№2: помножте, щоб отримати обидва чисельники до одного знаменника

$$44÷11=o4$$

$$6*4=24$$

$$11*4=44$$

$24/44$$

$$44÷4=o11$$

$$3*11=33$$

$$4*11=44$$

$33/44$$

#3: Додайте чисельники

$$24/44+33/44=o57/o44$$ або $$o1 o13/o44$$

$$4/7-11/21$$

№1: Знайдіть спільний знаменник

7 : 7, 14, двадцять один

двадцять один : двадцять один , 42, 63

№2: помножте, щоб отримати обидва чисельники до одного знаменника

$$21÷7=o3$$

$$3*4=12$$

$$3*7=21$$

$$12/21$$

$11/2$ вже більше 21, тому нам нічого не потрібно робити.

#3: Відніміть чисельники

$$12/21-11/21=o1/21$$

$$8/9+7/13$$

№1: Знайдіть спільний знаменник

9 : 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117

13 : 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104, 117

№2: помножте, щоб отримати обидва чисельники до одного знаменника

$$117÷9=o13$$

$$8*13=104$$

$$9*13=117$$

$$104/117$$

$$117÷13=o9$$

$$7*9=63$$

$$13*9=117$$

$$63/117$$

#3: Додайте чисельники

$$104/117+63/117=o167/o117$$

Що далі?

Додавання та віднімання дробів може стати ще простішим, якщо ви почнете перетворювати десяткові дроби на дроби!

Якщо ви не впевнені, які курси математики в середній школі вам слід відвідувати, цей посібник допоможе вам складіть свій розклад, щоб бути впевненим, що ви готові до коледжу!

Тепер, коли ви експерт у додаванні та відніманні дробів, випробувайте себе, навчаючись як перетворити Цельсій у Фаренгейт !