Що таке Heap?

Купа — це повне бінарне дерево, а бінарне дерево — це дерево, у якому вузол може мати щонайбільше двох дочірніх елементів. Перш ніж дізнатися більше про купу. Що таке повне бінарне дерево?

Повне бінарне дерево — це a бінарне дерево, в якому всі рівні, крім останнього рівня, тобто листовий вузол, повинні бути повністю заповнені, а всі вузли мають бути вирівняні за лівим краєм.

Розберемося на прикладі.

На наведеному вище малюнку ми можемо спостерігати, що всі внутрішні вузли повністю заповнені, за винятком листкового вузла; отже, можна сказати, що наведене вище дерево є повним бінарним деревом.

Наведений вище малюнок показує, що всі внутрішні вузли повністю заповнені, крім листкового вузла, але листові вузли додаються в правій частині; тому наведене вище дерево не є повним бінарним деревом.

Примітка. Дерево купи — це спеціальна збалансована структура даних бінарного дерева, де кореневий вузол порівнюється зі своїми дочірніми вузлами та впорядковується відповідно.

Як ми можемо розташувати вузли в дереві?

Існує два типи купи:

• Мінімальна купа
• Максимальна купа

Мінімальна купа: Значення батьківського вузла має бути менше або дорівнювати будь-якому з його дочірніх вузлів.

Або

java дорівнює

Іншими словами, мінімальну купу можна визначити так, що для кожного вузла i значення вузла i більше або дорівнює його батьківському значенню, за винятком кореневого вузла. Математично це можна визначити так:

A[Батьки (i)]<= a[i]< strong>

Давайте розберемося з min-heap на прикладі.

На наведеному вище малюнку 11 є кореневим вузлом, а значення кореневого вузла менше, ніж значення всіх інших вузлів (лівого дочірнього або правого дочірнього).

mylivecricket

Максимальна купа: Значення батьківського вузла більше або дорівнює його дочірнім вузлам.

Або

Іншими словами, максимальна купа може бути визначена для кожного вузла i; значення вузла i менше або дорівнює його батьківському значенню, за винятком кореневого вузла. Математично це можна визначити так:

A[Parent(i)] >= A[i]

Наведене вище дерево є деревом максимальної купи, оскільки воно задовольняє властивість максимальної купи. Тепер давайте подивимося на представлення масиву максимальної купи.

Складність часу в Max Heap

Загальна кількість порівнянь, необхідних у максимальній купі, залежить від висоти дерева. Висота повного бінарного дерева завжди дорівнює logn; отже, часова складність також буде O(logn).

Алгоритм роботи вставки в максимальну купу.

 // algorithm to insert an element in the max heap. insertHeap(A, n, value) { n=n+1; // n is incremented to insert the new element A[n]=value; // assign new value at the nth position i = n; // assign the value of n to i // loop will be executed until i becomes 1. while(i&gt;1) { parent= floor value of i/2; // Calculating the floor value of i/2 // Condition to check whether the value of parent is less than the given node or not if(A[parent] <a[i]) { swap(a[parent], a[i]); i="parent;" } else return; < pre> <p> <strong>Let&apos;s understand the max heap through an example</strong> .</p> <p>In the above figure, 55 is the parent node and it is greater than both of its child, and 11 is the parent of 9 and 8, so 11 is also greater than from both of its child. Therefore, we can say that the above tree is a max heap tree.</p> <p> <strong>Insertion in the Heap tree</strong> </p> <p> <strong>44, 33, 77, 11, 55, 88, 66</strong> </p> <p>Suppose we want to create the max heap tree. To create the max heap tree, we need to consider the following two cases:</p> <ul> <li>First, we have to insert the element in such a way that the property of the complete binary tree must be maintained.</li> <li>Secondly, the value of the parent node should be greater than the either of its child.</li> </ul> <p> <strong>Step 1:</strong> First we add the 44 element in the tree as shown below:</p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/89/heap-data-structure-5.webp" alt="Heap Data Structure"> <p> <strong>Step 2:</strong> The next element is 33. As we know that insertion in the binary tree always starts from the left side so 44 will be added at the left of 33 as shown below:</p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/89/heap-data-structure-6.webp" alt="Heap Data Structure"> <p> <strong>Step 3:</strong> The next element is 77 and it will be added to the right of the 44 as shown below:</p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/89/heap-data-structure-7.webp" alt="Heap Data Structure"> <p>As we can observe in the above tree that it does not satisfy the max heap property, i.e., parent node 44 is less than the child 77. So, we will swap these two values as shown below:</p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/89/heap-data-structure-8.webp" alt="Heap Data Structure"> <p> <strong>Step 4:</strong> The next element is 11. The node 11 is added to the left of 33 as shown below:</p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/89/heap-data-structure-9.webp" alt="Heap Data Structure"> <p> <strong>Step 5:</strong> The next element is 55. To make it a complete binary tree, we will add the node 55 to the right of 33 as shown below:</p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/89/heap-data-structure-10.webp" alt="Heap Data Structure"> <p>As we can observe in the above figure that it does not satisfy the property of the max heap because 33<55, so we will swap these two values as shown below:< p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/89/heap-data-structure-11.webp" alt="Heap Data Structure"> <p> <strong>Step 6:</strong> The next element is 88. The left subtree is completed so we will add 88 to the left of 44 as shown below:</p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/89/heap-data-structure-12.webp" alt="Heap Data Structure"> <p>As we can observe in the above figure that it does not satisfy the property of the max heap because 44<88, so we will swap these two values as shown below:< p> <p>Again, it is violating the max heap property because 88&gt;77 so we will swap these two values as shown below:</p> <p> <strong>Step 7:</strong> The next element is 66. To make a complete binary tree, we will add the 66 element to the right side of 77 as shown below:</p> <p>In the above figure, we can observe that the tree satisfies the property of max heap; therefore, it is a heap tree.</p> <p> <strong>Deletion in Heap Tree</strong> </p> <p>In Deletion in the heap tree, the root node is always deleted and it is replaced with the last element.</p> <p> <strong>Let&apos;s understand the deletion through an example.</strong> </p> <p> <strong>Step 1</strong> : In the above tree, the first 30 node is deleted from the tree and it is replaced with the 15 element as shown below:</p> <p>Now we will heapify the tree. We will check whether the 15 is greater than either of its child or not. 15 is less than 20 so we will swap these two values as shown below:</p> <p>Again, we will compare 15 with its child. Since 15 is greater than 10 so no swapping will occur.</p> <p> <strong>Algorithm to heapify the tree</strong> </p> <pre> MaxHeapify(A, n, i) { int largest =i; int l= 2i; int r= 2i+1; while(lA[largest]) { largest=l; } while(rA[largest]) { largest=r; } if(largest!=i) { swap(A[largest], A[i]); heapify(A, n, largest); }} </pre> <hr></88,></p></55,></p></a[i])>