Це корисний інструмент, який повністю описує відповідний частковий порядок. Тому її ще називають діаграмою впорядкування. Дуже легко перетворити орієнтований графік відношення на множині A на еквівалентну діаграму Хассе. Тому, малюючи діаграму Хассе, необхідно пам'ятати наступні моменти.
- Вершини на діаграмі Хассе позначаються точками, а не колами.
- Оскільки частковий порядок є рефлексивним, тому кожна вершина A повинна бути пов’язана сама з собою, тому ребра від вершини до самої себе видаляються на діаграмі Хассе.
- Оскільки частковий порядок є транзитивним, отже, коли aRb, bRc, ми маємо aRc. Видаліть усі ребра, які передбачені властивістю транзитивності на діаграмі Хассе, тобто видаліть ребро від a до c, але збережіть два інших ребра.
- Якщо вершина 'a' з'єднана з вершиною 'b' ребром, тобто aRb, то вершина 'b' з'являється над вершиною 'a'. Тому стрілку можна опустити на краях діаграми Хассе.
Діаграма Хассе набагато простіша за орієнтований граф неповного порядку.
приклад: Розглянемо множину A = {4, 5, 6, 7}. Нехай R — відношення ≦ на A. Намалюйте орієнтований графік і діаграму Хассе для R.
рішення: Відношення ≦ на множині A задається формулою
R = {{4, 5}, {4, 6}, {4, 7}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 7}, {4, 4}, {5, 5} , {6, 6}, {7, 7}}
Орієнтований графік відношення R виглядає так, як показано на рис.
Щоб намалювати діаграму Хассе неповного порядку, застосуйте такі моменти:
- Видалити всі ребра, які мають на увазі властивість reflexive, тобто
(4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7) - Видалити всі ребра, передбачені властивістю транзитивності, тобто
(4, 7), (5, 7), (4, 6) - Замініть кола, що позначають вершини, крапками.
- Опустіть стрілки.
Діаграма Хассе виглядає так, як показано на рис.
Верхня межа: Розглянемо B як підмножину частково впорядкованої множини A. Елемент x ∈ A називається верхньою межею B, якщо y ≦ x для кожного y ∈ B.
Нижня межа: Розглянемо B як підмножину частково впорядкованої множини A. Елемент z ∈ A називається нижньою межею B, якщо z ≦ x для кожного x ∈ B.
приклад: Розглянемо порядковий набір A = {a, b, c, d, e, f, g}, показаний на рис. Також нехай B = {c, d, e}. Визначте верхню та нижню межі B.
рішення: Верхньою межею B є e, f і g, тому що кожен елемент B є «≦» e, f і g.
Нижніми межами B є a і b, тому що a і b є '≦' кожним елементом B.
Найменша верхня межа (SUPREMUM):
Нехай A — підмножина частково впорядкованої множини S. Елемент M у S називається верхньою межею A, якщо M є наступним за кожним елементом A, тобто якщо для кожного x в A ми маємо x<=m< p>
Якщо верхня межа A передує кожній іншій верхній межі A, то вона називається супремумом A і позначається Sup (A)
Найбільша нижня межа (INFIMUM):
Елемент m у множині S називається нижньою межею підмножини A з S, якщо m передує кожному елементу A, тобто якщо для кожного y в A ми маємо m<=y < p>
Якщо нижня межа A слідує за будь-якою іншою нижньою межею A, то вона називається нижньою межею A і позначається Inf (A)
приклад: Визначте найменшу верхню межу та найбільшу нижню межу B = {a, b, c}, якщо вони існують, порядкового набору, діаграма Хассе якого показана на рис.
рішення: Найменшою верхньою межею є c.
Найбільшою нижньою межею є k.