Це корисний інструмент, який повністю описує відповідний частковий порядок. Тому її ще називають діаграмою впорядкування. Дуже легко перетворити орієнтований графік відношення на множині A на еквівалентну діаграму Хассе. Тому, малюючи діаграму Хассе, необхідно пам'ятати наступні моменти.

1. Вершини на діаграмі Хассе позначаються точками, а не колами.
2. Оскільки частковий порядок є рефлексивним, тому кожна вершина A повинна бути пов’язана сама з собою, тому ребра від вершини до самої себе видаляються на діаграмі Хассе.
3. Оскільки частковий порядок є транзитивним, отже, коли aRb, bRc, ми маємо aRc. Видаліть усі ребра, які передбачені властивістю транзитивності на діаграмі Хассе, тобто видаліть ребро від a до c, але збережіть два інших ребра.
4. Якщо вершина 'a' з'єднана з вершиною 'b' ребром, тобто aRb, то вершина 'b' з'являється над вершиною 'a'. Тому стрілку можна опустити на краях діаграми Хассе.

Діаграма Хассе набагато простіша за орієнтований граф неповного порядку.

приклад: Розглянемо множину A = {4, 5, 6, 7}. Нехай R — відношення ≦ на A. Намалюйте орієнтований графік і діаграму Хассе для R.

рішення: Відношення ≦ на множині A задається формулою

R = {{4, 5}, {4, 6}, {4, 7}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 7}, {4, 4}, {5, 5} , {6, 6}, {7, 7}}

Орієнтований графік відношення R виглядає так, як показано на рис.

Щоб намалювати діаграму Хассе неповного порядку, застосуйте такі моменти:

1. Видалити всі ребра, які мають на увазі властивість reflexive, тобто
   (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7)
2. Видалити всі ребра, передбачені властивістю транзитивності, тобто
   (4, 7), (5, 7), (4, 6)
3. Замініть кола, що позначають вершини, крапками.
4. Опустіть стрілки.

Діаграма Хассе виглядає так, як показано на рис.

Верхня межа: Розглянемо B як підмножину частково впорядкованої множини A. Елемент x ∈ A називається верхньою межею B, якщо y ≦ x для кожного y ∈ B.

Нижня межа: Розглянемо B як підмножину частково впорядкованої множини A. Елемент z ∈ A називається нижньою межею B, якщо z ≦ x для кожного x ∈ B.

приклад: Розглянемо порядковий набір A = {a, b, c, d, e, f, g}, показаний на рис. Також нехай B = {c, d, e}. Визначте верхню та нижню межі B.

рішення: Верхньою межею B є e, f і g, тому що кожен елемент B є «≦» e, f і g.

Нижніми межами B є a і b, тому що a і b є '≦' кожним елементом B.

Найменша верхня межа (SUPREMUM):

Нехай A — підмножина частково впорядкованої множини S. Елемент M у S називається верхньою межею A, якщо M є наступним за кожним елементом A, тобто якщо для кожного x в A ми маємо x<=m< p>

Якщо верхня межа A передує кожній іншій верхній межі A, то вона називається супремумом A і позначається Sup (A)

Найбільша нижня межа (INFIMUM):

Елемент m у множині S називається нижньою межею підмножини A з S, якщо m передує кожному елементу A, тобто якщо для кожного y в A ми маємо m<=y < p>

Якщо нижня межа A слідує за будь-якою іншою нижньою межею A, то вона називається нижньою межею A і позначається Inf (A)

приклад: Визначте найменшу верхню межу та найбільшу нижню межу B = {a, b, c}, якщо вони існують, порядкового набору, діаграма Хассе якого показана на рис.

рішення: Найменшою верхньою межею є c.

Найбільшою нижньою межею є k.