У цій статті ми вивчатимемо аналіз перетворення Фур’є або перетворення Фур’є в аналізі схем. Перетворення Фур’є – це, в основному, математична операція, яка розкладає сигнал на його складові частотні компоненти. Простими словами, він перетворює сигнал із часової області в частотну. Часова область представлятиме сигнал як функцію часу, тоді як частотна область представлятиме сигнал як функцію частоти.

Перетворення Фур'є

Перетворення Фур’є є дивовижним потужним інструментом для аналізу поведінки різних типів схем, оскільки воно дозволяє побачити, як схема реагує на різних частотах. Це корисно для різних видів завдань, таких як:

• Аналіз реакції схеми на довільні вхідні сигнали: Це можна легко використовувати для розробки схем, які можуть обробляти величезний діапазон вхідних сигналів, таких як аудіосигнали або відеосигнали.
• Визначення резонансних частот контуру: Резонансні частоти - це частоти, на яких схема підсилює сигнали. Ця інформація може бути використана для розробки схем, які повинні працювати на певних частотах, наприклад як фільтри або осцилятори.
• Розробка фільтрів для видалення небажаних частотних компонентів із сигналу: Фільтри здебільшого можна використовувати для видалення шуму чи перешкод із сигналу або для виділення певних частотних компонентів із певного сигналу.
• Розуміння стабільності схеми: Стабільний контур - це той, який просто не буде коливатися або розходитися. Перетворення Фур'є можна використовувати для аналізу стабільності схеми, просто дивлячись на частотну характеристику схеми.

Перетворення Фур'є також використовується в багатьох інших областях, включаючи обробку сигналів, обробку зображень і квантову механіку.

У цій статті ми обговоримо такі теми, пов’язані з перетворенням Фур’є в аналізі схем:

• Види перетворень Фур'є
• Властивості перетворення Фур'є
• Застосування перетворення Фур'є в аналізі схем

Ми також обговоримо приклади та ілюстрації, щоб допомогти правильно зрозуміти концепції.

Розуміння причини еволюції

Перетворення Фур'є вперше було розроблено відомим французьким математиком Жаном Батистом Жозефом Фур'є на початку 19 століття. Він був глибоко зацікавлений у розв'язанні рівняння теплопровідності, яке є диференціальним рівнянням у частинних похідних. Фур’є зрозумів, що він може розв’язати рівняння, просто розклавши початковий розподіл температури на його складові синусоїдну та косинусну хвилі.

З тих пір перетворення Фур'є застосовувалося до широкого кола проблем у фізиці та техніці, які включають аналіз схем. В аналізі схеми перетворення Фур’є можна використовувати для аналізу реакції схеми на довільні вхідні сигнали.

Ефекти перетворення Фур'є

Перетворення Фур'є має велику кількість важливих впливів на аналіз схеми. По-перше, це дозволяє аналізувати реакцію схеми на довільні вхідні сигнали. По-друге, це дозволяє нам ідентифікувати резонансні частоти контуру. Після цього, по-третє, це дозволяє нам розробляти фільтри, які використовуються для видалення небажаних частотних компонентів із сигналу.

Формула перетворення Фур'є

Перетворення Фур'є сигналу x(t) позначається X(f) і визначається таким чином:

X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt>

Тут f — частота в герцах.

Позначення, які використовуються у формулі перетворення Фур’є:

• x(t) – це сигнал у часовій області.
• X(f) – сигнал у частотній області.
• j — уявна одиниця.
• e −j2πft — комплексна експоненціальна функція.

Типи перетворення Фур'є

В основному існує два типи перетворень Фур’є:

• Безперервне перетворення Фур'є (CFT)
• Дискретне перетворення Фур'є (ДПФ) .

Безперервне перетворення Фур'є (CFT)

CFT визначається для сигналів безперервного часу, які в основному є сигналами, які можуть приймати будь-яке значення в будь-який час.

Безперервне перетворення Фур'є (CFT) сигналу x(t) можна визначити таким чином:

X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt>

де f — частота в герцах.

Позначення, які використовуються у формулі CFT:

• x(t) – сигнал у часовій області.
• X(f) – сигнал у частотній області.
• j — уявна одиниця.
• e −j2πft — комплексна експоненціальна функція.

Виведення CFT

CFT можна легко вивести з ряду Фур’є періодичного сигналу. Ряд Фур’є періодичного сигналу x(t) з періодом T визначається як:

x(t) = sum_{n=-infty}^{infty} c_n e^{j2pi nfrac{t}{T}}>

тут Cn – коефіцієнти Фур’є сигналу.

CFT можна отримати, просто взявши межу ряду Фур’є, коли період T наближається до нескінченності. У цій межі коефіцієнти Фур’є стають неперервними функціями частоти, а ряд Фур’є стає CFT.

Дискретне перетворення Фур'є (ДПФ)

ДПФ визначається для сигналів з дискретним часом, тобто сигналів, які можуть приймати певні значення лише в певний час.

Дискретне перетворення Фур’є (ДПФ) дискретного сигналу x[n] можна визначити таким чином:

X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}>

Тут k — ​​індекс частоти, а N — довжина конкретного сигналу.

Позначення, які використовуються у формулі DFT:

аміша патель

• x[n] – сигнал дискретного часу.
• X[k] — сигнал у частотній області.
• j — уявна одиниця.
• e −j2πkn/N
• є комплексною показниковою функцією.

Виведення ДПФ

Простими словами, CFT в основному визначено для безперервні сигнали , тоді як DFT визначено для сигнали з дискретним часом . ДПФ здебільшого використовується як тип перетворення Фур’є в аналізі схем, оскільки більшість електронних схем працюють із сигналами з дискретним часом.

DFT сигналу з дискретним часом x[n] позначається X[k] і визначається таким чином:

X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}>

Тут k — ​​індекс частоти, а N — довжина сигналу.

DFT можна отримати з CFT шляхом простого вибірки CFT на дискретних частотах:

X[k] = X(f = k/N)>

Приклади перетворення Фур'є з діаграмою

Розглянемо такий приклад схеми:

Проста RC схема

Тут входом до схеми є прямокутна хвиля, а виходом є відфільтрована прямокутна хвиля. Де перетворення Фур’є вхідного прямокутного сигналу є серією імпульсів на гармонічних частотах. Перетворення Фур’є вихідної прямокутної хвилі — це серія ослаблених імпульсів на гармонічних частотах.

Ось наступна діаграма, яка показує перетворення Фур’є вхідного та вихідного сигналів:

Перетворення Фур'є Введення Виведення

Властивості

Перетворення Фур’є має низку важливих властивостей, зокрема:

• Перетворення Фур'є реального сигналу є сполучено симетричним.
• Перетворення Фур'є лінійної комбінації сигналів є лінійною комбінацією перетворень Фур'є окремих сигналів.
• Перетворення Фур'є сигналу зі зміщенням у часі є сигналом зі зсувом по частоті.
• Перетворення Фур'є сигналу зі зсувом по частоті є сигналом зі зсувом у часі.

характеристики

Перетворення Фур'є сигналу має такі характеристики:

• Величина перетворення Фур'є сигналу представлятиме амплітуду частотних компонентів сигналу.
• Фаза перетворення Фур'є сигналу представлятиме фазу частотних компонентів сигналу.

Додатки

Перетворення Фур’є має величезну кількість застосувань в аналізі схем, зокрема:

• Аналіз заданої реакції схеми на довільні вхідні сигнали.
• Ідентифікація резонансних частот контуру.
• Розробка фільтрів для видалення небажаних частотних компонентів із сигналу.

Переваги та недоліки

Деякі з переваг і недоліків перетворення Фур'є:

if else цикл у java

Переваги:

• Перетворення Фур'є є найпотужнішим інструментом для аналізу частотної характеристики схем.
• Його можна використовувати для створення фільтрів для видалення небажаних частотних компонентів із сигналу.

Недоліки:

• Перетворення Фур’є може бути набагато складнішим для розуміння та використання.
• Обчислення перетворення Фур’є може бути обчислювально дорожчим.

Різниця між перетворенням Лапласа та перетворенням Фур’є

В основному перетворення Фур’є здебільшого схоже на перетворення Лапласа, але є кілька ключових відмінностей. Оскільки перетворення Фур’є визначено для сигналів безперервного часу, означає, що перетворення Лапласа визначено як для сигналів безперервного, так і для дискретного часу. Крім того, перетворення Фур’є погано підходить для аналізу перехідних сигналів, тоді як перетворення Лапласа є корисним у ньому.

Пряме та зворотне перетворення Фур’є

Пряме перетворення Фур'є може перетворювати сигнал із часової області в частотну. Зворотне перетворення Фур'є має перетворювати сигнал із частотної області в часову область.

Зворотне перетворення Фур'є визначається наступним чином:

x(t) = int_{-infty}^{infty} X(f) e^{j2pi ft} df>

Пряме перетворення синуса та перетворення косинуса Фур’є

Пряме синусне перетворення та пряме косинусне перетворення є двома варіантами перетворення Фур’є. Пряме синусне перетворення визначається таким чином:

S(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) sin(2pi ft) dt>

Пряме косинусне перетворення визначається таким чином:

C(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) cos(2pi ft) dt>

Пряме синусне перетворення та пряме косинусне перетворення дуже корисні для аналізу сигналів з парною та непарною симетрією відповідно.

Висновок

Загалом перетворення Фур’є є найважливішим інструментом для аналізу схеми. Це дає нам дозвіл зрозуміти, як схеми реагують на різні частоти, що більш важливо для проектування та аналізу електронних схем. Перетворення Фур’є має різні види застосувань в аналізі схем, включаючи аналіз реакції схеми на довільні вхідні сигнали, визначення резонансних частот даної схеми, розробку фільтрів для видалення небажаних частотних компонентів із сигналу та розуміння стабільності ланцюг.

Перетворення Фур'є також використовується в багатьох інших областях, включаючи обробку сигналів, обробку зображень і квантову механіку. Це дуже універсальний і потужний інструмент із широким спектром застосування.

Ось кілька додаткових уважних думок щодо важливості перетворення Фур’є в аналізі схем:

java додати до масиву

• Перетворення Фур'є просто дозволяє нам аналізувати лінійні та нелінійні схеми.
• Перетворення Фур'є можна використовувати для аналізу різних типів схем у часовій або частотній області.
• Перетворення Фур'є можна використовувати для аналізу схем із кількома входами та виходами.
• Перетворення Фур'є можна використовувати для аналізу схем із контурами зворотного зв'язку.

Перетворення Фур’є є потужним інструментом, який можна використовувати для аналізу широкого діапазону проблем зі схемами. Це важливий інструмент для будь-якого схемотехніка.

Питання що часто задаються

1. Чим перетворення Фур’є відрізняється від перетворення Лапласа?

Лаплас використовується як для CFT, так і для DFT, але не для перетворення Фур’є

2. Чому перетворення Фур’є є важливим для аналізу схеми?

Перетворення Фур’є є більш важливим для аналізу схем лише тому, що воно дозволяє аналізувати частотну характеристику схем. АЧХ

3. Які застосування перетворення Фур’є в аналізі схем?

Перетворення Фур’є можна використовувати для різноманітних завдань аналізу схем, наприклад:

Аналіз реакції схеми на довільні вхідні сигнали.

Ідентифікація резонансних частот контуру.

Розробка фільтрів для видалення небажаних частотних компонентів із сигналу.

Розуміння стабільності схеми.