Клас еквівалентності це група елементів множини, заснована на певному понятті еквівалентності, визначеному відношенням еквівалентності. Відношення еквівалентності - це відношення, яке задовольняє три властивості: рефлексивність, симетричність і транзитивність. Класи еквівалентності розбивають множину S на непересічні підмножини. Кожна підмножина складається з елементів, пов’язаних між собою заданим відношенням еквівалентності.
У цій статті ми досить детально обговоримо концепцію класу еквівалентності, включаючи його визначення, приклад, властивості, а також розв’язані приклади.
Зміст
- Що таке класи еквівалентності?
- Приклади класу еквівалентності
- Властивості класів еквівалентності
- Класи еквівалентності та розбиття
Що таке класи еквівалентності?
Клас еквівалентності — це ім’я, яке ми даємо підмножині S, яка включає всі елементи, еквівалентні один одному. Еквівалент залежить від певного відношення, яке називається відношенням еквівалентності. Якщо між будь-якими двома елементами існує відношення еквівалентності, вони називаються еквівалентними.
Визначення класу еквівалентності
Враховуючи відношення еквівалентності на множині S, клас еквівалентності щодо елемента a в S є набором усіх елементів у S, які пов’язані з a, тобто,
[a] АБО x пов’язане з a
Наприклад, розглянемо набір цілих чисел ℤ і відношення еквівалентності, визначене конгруенцією за модулем n. Два цілі числа a і b вважаються еквівалентними (позначаються як (a ≡ b mod(n), якщо вони мають однаковий залишок при діленні на n. У цьому випадку клас еквівалентності цілого числа a — це набір усіх цілих чисел, які мають такий самий залишок, як a при діленні на n.
Що таке відношення еквівалентності?
Будь-яке відношення R вважається еквівалентним тоді і тільки тоді, коли воно задовольняє такі три умови:
- Рефлексивність: Для будь-якого елемента a, a пов’язане із самим собою.
- Симетрія: Якщо a пов’язане з b, то b пов’язане з a.
- Транзитивність: Якщо a пов’язане з b, а b пов’язане з c, то a пов’язане з c.
Докладніше про Відношення еквівалентності .
Деякі приклади відношення еквівалентності:
Рівність на множині: Нехай X — будь-яка множина, і визначте відношення R на X таке, що a R b тоді і тільки тоді, коли a = b для a, b ϵ X.
перейменувати папку linux
- Рефлексивність: Для кожного a ϵ X, a = a (тривіально вірно).
- Симетрія: Якщо a = b, то b = a (тривіально вірно).
- Транзитивність: Якщо a = b і b = c, то a = c (тривіально вірно).
Конгруенція за модулем n: Нехай n — натуральне число, і визначте відношення R для цілих чисел ℤ таке, що a R b тоді і тільки тоді, коли a – b ділиться на n.
- Рефлексивність: Для кожного a ϵ ℤ, a – a = 0 ділиться на n.
- Симетрія: Якщо a – b ділиться на n, то -(a – b) = b – a також ділиться на n.
- Транзитивність: Якщо a – b ділиться на n, а b – c ділиться на n, то a – c також ділиться на n.
Приклади класу еквівалентності
Добре відомим прикладом відношення еквівалентності є відношення рівно (=). Іншими словами, два елементи даної множини еквівалентні один одному, якщо вони належать до одного класу еквівалентності. Відношення еквівалентності можна пояснити за допомогою таких прикладів:
Відношення еквівалентності для цілих чисел
Відношення еквівалентності: Конгруенція за модулем 5 (a ≡ b [mod(5)] )
- Клас еквівалентності 0: [0] = {. . ., -10, -5, 0, 5, 10, . . .}
- Клас еквівалентності 1: [1] = {. . ., -9, -4, 1, 6, 11, . . .}
- Клас еквівалентності 2: [2] = {. . ., -8, -3, 2, 7, 12, . . .}
- Клас еквівалентності 3: [3] = {. . ., -7, -2, 3, 8, 13, . . .}
- Клас еквівалентності 4: [4] = {. . ., -6, -1, 4, 9, 14, . . .}
Відношення еквівалентності дійсних чисел
Відношення еквівалентності: Абсолютна різниця (a ~ b, якщо |a – b| <1)
- Клас еквівалентності 0: [0] = (-0,5, 0,5)
- Клас еквівалентності 1: [1] = (0,5, 1,5)
- Клас еквівалентності 2: [2] = (1,5, 2,5)
- Клас еквівалентності 3: [3] = (2,5, 3,5)
Детальніше,
- Реальні числа
- Цілі числа
- Раціональні числа
Властивості класів еквівалентності
Властивості класів еквівалентності:
- Кожен елемент належить рівно одному класу еквівалентності.
- Класи еквівалентності є непересічними, тобто перетин будь-яких двох класів еквівалентності є нульовим набором.
- Об'єднання всіх класів еквівалентності є вихідною множиною.
- Два елементи еквівалентні тоді і тільки тоді, коли їхні класи еквівалентності рівні.
Детальніше,
- Об'єднання множин
- Перетин множин
- Непересічні множини
Класи еквівалентності та розбиття
Групи елементів у множині, пов’язані відношенням еквівалентності, тоді як сукупність цих класів еквівалентності, що охоплює всю множину без перекривань, називається розділенням.
Різниця між класами еквівалентності та розбиттям
Ключова відмінність між класами еквівалентності та розділенням наведена в наступній таблиці:
| Особливість | Класи еквівалентності | Перегородки |
|---|---|---|
| Визначення | Набори елементів, які вважаються еквівалентними за відношенням. | Набір непорожніх, попарно непересічних підмножин, таких, що їх об’єднання є цілою множиною. |
| Позначення | Якщо А є класом еквівалентності, його часто позначають як [ a ] або [a] Р , де a є представницьким елементом і Р є відношенням еквівалентності. | Розділ множини X позначається як { Б 1, Б 2,…, Б п }, де Б i є непересічними підмножинами в розділі. |
| стосунки | Класи еквівалентності утворюють розбиття основного набору. | Розбиття може або не може виникати з відношення еквівалентності. |
| Кардинальність | Класи еквівалентності можуть мати різні потужності. | Усі підмножини в розділі мають однакову потужність. |
| приклад | Розглянемо набір цілих чисел і відношення еквівалентності, що має однаковий залишок при діленні на 5. Класи еквівалентності: {…,−5,0,5,…}, {…,−5,0,5,…}, {…,−4,1,6,…} і {…,−4,1 ,6,…} тощо. | Розглянемо набір цілих чисел, розділених на парні та непарні числа: {…,−4,−2,0,2,4,…} та {…,−3,−1,1,3,5,…}. |
| Перетин класів | Класи еквівалентності бувають непересічними або ідентичними. | Розбиття складається з непересічних підмножин. |
Вирішені приклади з класу еквівалентності
Приклад 1. Доведіть, що відношення R є типом еквівалентності в множині P= { 3, 4, 5,6 }, заданій відношенням R = (p, q):.
рішення:
Дано: R = (p, q):. Де p, q належить P.
Рефлексивна властивість
З наведеного співвідношення |p – p| = | 0 |=0.
- І 0 завжди парний.
- Отже, |p – p| є навіть.
- Отже, (p, p) відноситься до R
Отже, R є рефлексивним.
Симетрична властивість
Із заданого співвідношення |p – q| = |q – p|.
- Ми знаємо, що |p – q| = |-(q – p)|= |q – p|
- Звідси |p – q| є навіть.
- Далі |q – p| також є парним.
- Відповідно, якщо (p, q) ∈ R, то (q, p) також належить R.
Тому R є симетричним.
Перехідна властивість
- Якщо |p – q| парне, то (p-q) парне.
- Аналогічно, якщо |q-r| парне, то (q-r) також парне.
- Сума парних чисел надто парна.
- Отже, ми можемо звернутися до нього як p – q+ q-r є парним.
- Далі p – r далі парне.
Відповідно,
- |p – q| і |q-r| парна, то |p – r| є навіть.
- Отже, якщо (p, q) ∈ R і (q, r) ∈ R, то (p, r) також відноситься до R.
Тому R є транзитивним.
Приклад 2: розглянемо A = {2, 3, 4, 5} і R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), ( 3, 3), (4, 2), (4, 4)}.
рядок підрядок java
рішення:
Дано: A = {2, 3, 4, 5} і
Відношення R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3), (4, 2), (4, 4) )}.
Щоб R було відношенням еквівалентності, R має задовольняти трьом властивостям, тобто рефлексивному, симетричному та транзитивному.
Рефлексивний : Відношення R є рефлексивним, оскільки (5, 5), (2, 2), (3, 3) і (4, 4) ∈ R.
Симетричний : Відношення R є симетричним, якщо (a, b) ∈ R, (b, a) також стосується R, тобто (3, 5) ∈ R ⟹ (5, 3) ∈ R.
Перехідний : Відношення R є транзитивним, оскільки коли (a, b) і (b, c) стосуються R, (a, c) також стосується R, тобто (3, 5) ∈ R і (5, 3) ∈ R ⟹ ( 3, 3) ∈ R.
Відповідно, R є рефлексивним, симетричним і транзитивним.
Отже, R є відношенням еквівалентності.
Практичні завдання з класу еквівалентності
Проблема 1: aRb, якщо a+b парне. Визначте, чи є це відношення еквівалентності та його властивості.
Проблема 2: xSy, якщо x і y мають однаковий місяць народження. Проаналізуйте, чи це відношення еквівалентності.
Проблема 3: Розглянемо A = {2, 3, 4, 5} і R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3) ), (4, 2), (4, 4)}. Підтвердьте, що R є типом відношення еквівалентності.
Проблема 4: Доведіть, що відношення R є типом еквівалентності в множині P= { 3, 4, 5,6 }, заданій відношенням R = є парним.
Клас еквівалентності: поширені запитання
1. Що таке клас еквівалентності?
Клас еквівалентності — це підмножина всередині множини, утворена групуванням усіх елементів, еквівалентних один одному за заданим відношенням еквівалентності. Він представляє всіх членів, які вважаються рівними за цим відношенням.
2. Що таке символ класу еквівалентності?
Символ класу еквівалентності зазвичай записується як [a], де a є репрезентативним елементом класу. Ця нотація позначає набір усіх елементів, еквівалентних a за певним відношенням еквівалентності.
3. Як знайти клас еквівалентності множини?
Щоб знайти клас еквівалентності набору, виконайте такі дії:
Крок 1: Визначте відношення еквівалентності.
Крок 2: Виберіть елемент із набору.
крок 3: Визначте еквівалентні елементи для вибраних елементів.
крок 4: Сформуйте клас еквівалентності, що містить усі елементи, еквівалентні вибраному елементу.
4. Яка різниця між класом еквівалентності та розділом?
Класи еквівалентності — це підмножини, утворені відношенням еквівалентності, тоді як розділи — це неперекриваючі підмножини, що охоплюють увесь набір. Кожен клас еквівалентності є підмножиною в розділі, але не кожен розділ виникає з відношення еквівалентності.
5. Що таке відношення еквівалентності?
Відношення, яке є рефлексивним, симетричним і транзитивним, що розділяє множину на непересічні підмножини.