Рівняння прямої на площині задається як y = mx + C де x і y — координати площини, m — кут нахилу прямої, а C — точка перетину. Проте побудова лінії не обмежується лише площиною.

Ми знаємо, що лінія - це шлях між двома точками. Ці дві точки можуть бути розташовані де завгодно, незалежно від того, можуть вони перебувати в одній площині чи в просторі. У випадку площини розташування лінії характеризується двома координатами, розташованими у впорядкованій парі, заданій як (x, y), тоді як у випадку простору розташування точки характеризується трьома координатами, вираженими як (x , y, z).

У цій статті ми дізнаємося про різні форми рівнянь ліній у тривимірному просторі.

Зміст

• Що таке рівняння прямої?
• Рівняння лінії в 3D
• Декартова форма рівняння прямої в 3D
• Векторна форма рівняння лінії в 3D
• Формули тривимірних ліній
• Вирішені приклади рівняння лінії в 3D

Що таке рівняння прямої?

Рівняння прямої — це алгебраїчний спосіб вираження прямої через координати точок, які вона з’єднує. Рівняння прямої завжди буде а лінійне рівняння .

Якщо ми спробуємо побудувати точки, отримані з лінійного рівняння, це буде а пряма лінія . Стандартне рівняння лінії задається так:

ax + by + c = 0

де,

• a і b є коефіцієнтами x і y
• c – постійний термін

Інші форми рівняння прямої згадані нижче:

Зараз ми вивчимо рівняння прямої в 3D.

Рівняння лінії в 3D

Рівняння прямої в 3D потребує двох точок, розташованих у просторі. Розташування кожної точки задається за допомогою трьох координат, виражених як (x, y, z).

диспетчер завдань linux

Тривимірне рівняння лінії подано у двох форматах: декартова форма і векторній формі . У цій статті ми вивчимо рівняння лінії в 3D як у декартовій, так і в векторній формі, а також навчимося виводити рівняння. Нижче наведено різні випадки рівняння прямої:

• Декартова форма прямої
  • Пряма, що проходить через дві точки
  • Пряма, що проходить через дану точку і паралельна даному вектору
• Векторна форма лінії
  • Пряма, що проходить через дві точки
  • Пряма, що проходить через дану точку і паралельна даному вектору

Декартова форма рівняння прямої в 3D

Декартову форму лінії задають за допомогою координат двох точок, розташованих у просторі, з яких проходить пряма. Тут ми обговоримо два випадки, коли пряма проходить через дві точки і коли пряма проходить через точки і паралельна вектору.

Випадок 1: тривимірне рівняння прямої в декартовій формі, що проходить через дві точки

Припустимо, що у нас є дві точки A і B, координати яких задані як A(x₁, і₁, С₁) і B(x₂, і₂, С₂).

Тоді тривимірне рівняння прямої лінії в декартовій формі подано як

old{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

де x, y і z — прямокутні координати.

Виведення рівняння прямої, що проходить через дві точки

Ми можемо вивести декартову форму тривимірного рівняння прямої, використовуючи такі кроки:

• Крок 1: Знайдіть DR (відношення напрямків), взявши різницю відповідних координат положення двох даних точок. л = (x₂– х₁), м = (і₂- і₁), п = (z₂- З₁); тут л, м, н є ДР.
• Крок 2: Виберіть одну з двох поданих точок, скажімо, ми вибираємо (х₁, і₁, С₁).
• крок 3: Напишіть шукане рівняння прямої, яка проходить через точки (х₁, і₁, С₁) і (x₂, і₂, С₂).
• крок 4: Тривимірне рівняння прямої лінії в декартовій формі подано як L: (x – x₁)/l = (у – у₁)/m = (z – z₁)/n = (x – x₁)/(x₂– х₁) = (y – y₁)/(і₂- і₁) = (z – z₁)/(З₂- З₁)

Де (X і Z) — координати положення будь-якої змінної точки, що лежить на прямій.

приклад: Якщо пряма лінія проходить через дві фіксовані точки в 3-вимірному просторі, координати позиції яких P (2, 3, 5) і Q (4, 6, 12), то її декартове рівняння з використанням двоточкової форми задається так:

рішення:

l = (4 – 2), m = (6 – 3), n = (12 – 5)

l = 2, m = 3, n = 7

Вибір точки P (2, 3, 5)

Шукане рівняння прямої

L: (x – 2) / 2 = (y – 3) / 3 = (z – 5) / 7

Випадок 2: тривимірне рівняння прямої в декартовій системі, що проходить через точку та паралельна даному вектору

Припустимо, що пряма проходить через точку P(x₁, і₁, С₁) і паралельний вектору, заданому якvec n = ahat i + bhat j + chat k .

Тоді рівняння прямої задається як

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

де x, y, z — прямокутні координати, a, b, c — напрямні косинуси.

Виведення тривимірного рівняння прямої в декартовій системі, що проходить через точку і паралельна даному вектору

Припустимо, що у нас є точка P, вектор позиції якої задано якvec pвід походження. Нехай пряма, яка проходить через P, паралельна іншому векторуvec n. Візьмемо точку R на лінії, яка проходить через P, тоді вектор позиції R задається якvec r .

Оскільки PR паралельноvec n⇒overline {PR} = lambda vec n

Тепер, якщо ми рухаємося по прямій PR, то координата будь-якої точки, що лежить на прямій, матиме координату у вигляді (x₁+ λa), (і₁+ λb), (z₁+ λc), де λ – параметр, значення якого коливається від -∞ до +∞ залежно від напрямку від P, куди ми рухаємося.

Отже, координати нової точки будуть

х = х₁+ λa ⇒ λ = x – x₁/a

y = y₁+ λb ⇒ λ = y – y₁/б

z = z₁+ λc ⇒ λ = z – z₁/c

Порівнюючи наведені вище три рівняння, ми маємо рівняння прямої as

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

приклад: Знайдіть рівняння прямої, яка проходить через точку (2, 1, 3) і паралельна вектору 3i – 2j + k

рішення:

Рівняння прямої, яка проходить через точку і паралельна вектору, задається у вигляді

(x – x₁)/a = (y – y₁)/b = (z – z₁)/c

З питання, яке ми маємо, х₁= 2 і₁= 1, z₁= 3 і a = 3, b = -2 і c = k. Отже, шукане рівняння прямої буде

⇒ (x – 2)/3 = (y – 1 )/-2 = (z – 3)/1

Векторна форма рівняння лінії в 3D

Векторна форма рівняння лінії в 3D надається за допомогою векторного рівняння, яке включає вектор положення точок. У цьому заголовку ми отримаємо тривимірне рівняння лінії у векторній формі для двох випадків.

Випадок 1: тривимірне рівняння прямої, що проходить через дві точки у векторній формі

Припустимо, що у нас є дві точки A і B, вектор позиції яких задано якvec aіvec b.

Тоді векторне рівняння лінії L задається як

vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

де(vec b – vec a)— відстань між двома точками, а λ — параметр, який лежить на лінії.

Виведення тривимірного рівняння прямої, що проходить через дві точки у векторній формі

Припустимо, що ми маємо дві точки A і B, позиційний вектор яких задано якvec aіvec b. Тепер ми знаємо, що лінія - це відстань між будь-якими двома точками. Отже, нам потрібно відняти два вектори положення, щоб отримати відстань.

⇒vec d = vec b – vec a

Тепер ми знаємо, що будь-яка точка на цій лінії буде задана як сума вектора положенняvec a space or space vec b з добутком параметра λ і вектора положення відстані між двома точками, тобтоvec d

Отже, рівняння прямої у векторній формі будеvec l = vec a + lambda (vec b – vec a)абоvec l = vec b + lambda (vec a – vec b)

Приклад: знайдіть векторне рівняння прямої в 3D, яка проходить через дві точки, вектори положення яких задані як 2i + j – k і 3i + 4j + k

рішення:

Враховуючи, що два вектори положення задані як 2i + j – k і 3i + 4j + k

Відстань d = (3i + 4j + k) – (2i + j -k) = i + 3j + 2k

Ми знаємо, що рівняння прямої задано якvec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Отже, рівняння прямої будеvec l= 2i + j – k + λ(i + 3j + 2k)

Випадок 2: векторна форма тривимірного рівняння прямої, що проходить через точку і паралельна вектору

Скажімо, у нас є точка P, вектор позиції якої задано якvec p. Нехай ця пряма паралельна іншій прямій, позиційний вектор якої задано якvec d .

Тоді векторне рівняння лінії «l» задається як

vec l = vec p + lambda vec d

де λ – параметр, що лежить на прямій.

Виведення векторної форми тривимірного рівняння прямої, що проходить через точку і паралельна вектору

Розглянемо точку P, вектор положення якої задано якvec p. Тепер припустимо, що ця пряма паралельна векторуvec dтоді рівняння прямої будеvec l = lambda vec d. Тепер, оскільки лінія також проходить через точку P, тоді, коли ми віддаляємося від точки P в будь-якому напрямку на прямій, вектор позиції точки матиме формуvec p + lambda vec d . Отже, рівняння прямої будеvec l = vec p + lambda vec dде λ – параметр, що лежить на прямій.

Приклад: Знайдіть векторну форму рівняння прямої, що проходить через точку (-1, 3, 2) і паралельна вектору 5i + 7j – 3k.

рішення:

Ми знаємо, що векторна форма рівняння прямої, яка проходить через точку і паралельна вектору, має виглядvec l = vec p + lambda vec d

Враховуючи, що точка дорівнює (-1, 3, 2), отже, вектор позиції точки буде -i + 3j + 2k, а даний вектор дорівнює 5i + 7j – 3k.

Отже, шукане рівняння прямої будеvec l = (-i + 3j + 2k) + λ(5i + 7j – 3k).

Формули тривимірних ліній

Схожі читання

• Рівняння прямої
• Дотична і нормаль
• Нахил лінії

Вирішені приклади рівняння лінії в 3D

Практикуйте рівняння лінії в 3D за допомогою цих розв’язаних практичних завдань.

Приклад 1: Якщо пряма лінія проходить через дві фіксовані точки в 3-вимірному просторі, вектори позиції яких дорівнюють (2 i + 3 j + 5 k) і (4 i + 6 j + 12 k), тоді її векторне рівняння з використанням двох точок форма надається

рішення:

{vec {p}}= (4 i + 6 j + 12 k ) - (2 i + 3 j + 5 k )

{vec {p}}= (2 i + 3 j + 7 k ) ; тут{vec {p}}— вектор, паралельний прямій

Вибір вектора положення (2 i + 3 j + 5 k )

Шукане рівняння прямої

L:{vec {r}}= (2 i + 3 j + 5 k ) + t . (2 i + 3 j + 7 k )

Приклад 2. Якщо пряма лінія проходить через дві фіксовані точки в тривимірному просторі, координати положення яких дорівнюють (3, 4, -7) і (1, -1, 6), то її векторне рівняння з використанням двоточкового форма надається

рішення:

Вектори позицій заданих точок будуть (3 i + 4 j – 7 k) та (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (3 i + 4 j – 7 k) – (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (2 i + 5 j – 13 k) ; тут{vec {p}}— вектор, паралельний прямій

Вибір вектора положення (i – j + 6 k)

Шукане рівняння прямої

L:{vec {r}}= (i – j + 6 k) + t . (2 i + 5 j – 13 k)

приклад 3: Якщо пряма лінія проходить через дві фіксовані точки в 3-вимірному просторі, вектори позиції яких дорівнюють (5 i + 3 j + 7 k) і (2 i + j – 3 k), тоді її векторне рівняння з використанням двоточкової форми надається

рішення:

{vec {p}}= (5 i + 3 j + 7 k) – (2 i + j – 3 k)

{vec {p}}= (3 i + 2 j + 10 k) ; тут{vec {p}}— вектор, паралельний прямій

Вибір вектора позиції (2 i + j – 3 k)

Шукане рівняння прямої

Л:{vec {r}}= (2 i + j – 3 k) + t . (3 i + 2 j + 10k)

Приклад 4. Якщо пряма лінія проходить через дві фіксовані точки в 3-вимірному просторі, координати позиції яких A (2, -1, 3) і B (4, 2, 1), тоді її декартове рівняння використовує двоточкову форма надається

рішення:

l = (4 – 2), m = (2 – (-1)), n = (1 – 3)

l = 2, m = 3, n = -2

Вибір точки A (2, -1, 3)

Шукане рівняння прямої

L : (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (z – 3) / -2 або

L: (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (3 – z) / 2

Приклад 5: Якщо пряма лінія проходить через дві фіксовані точки в 3-вимірному просторі, координати позиції яких X (2, 3, 4) і Y (5, 3, 10), то її декартове рівняння з використанням двоточкової форми задається так:

рішення:

l = (5 – 2), m = (3 – 3), n = (10 – 4)

l = 3, m = 0, n = 6

Вибір точки Х (2, 3, 4)

Шукане рівняння прямої

L : (x – 2) / 3 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 6 або

L: (x – 2) / 1 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 2

словник сортування python

Рівняння лінії в 3D – поширені запитання

Що таке рівняння лінії в 3D?

Рівняння лінії в 3D подається як (x – x₁)/(x₂– х₁) = (y – y₁)/(і₂- і₁) = (z – z₁)/(З₂- З₁)

Що таке декартова форма рівняння лінії в 3D?

Декартова форма рівняння прямої в 3D наведена для двох випадків

Випадок 1: коли лінія проходить через дві точки:{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

Випадок 2: коли пряма проходить через одну точку і паралельна вектору:{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Що таке векторна форма рівняння лінії в 3D?

Векторна форма рівняння прямої в 3D наведена для двох випадків:

Випадок 1: лінія, що проходить через дві точки:vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Випадок 2: лінія проходить через точку і паралельна вектору:vec l = vec p + lambda vec d

Що таке рівняння точки нахилу лінії?

Точка нахилу. Рівняння лінії задається як y = mx + C, де m — нахил

Що таке стандартне рівняння прямої?

Стандартне рівняння прямої: ax + by + c = 0