Дано порожній набір спочатку та ряд запитів на ньому, можливо, з наступних типів:
- Вставити "X" робиться за допомогою оновлення (1 0 10^6 x 1). Зауважте, що корінь дерева проходить індекс запуску пропускається як 0 і кінцевий індекс як 10^6, так що всі діапазони, які мають x, оновлюються.
- Видалити "x" робиться за допомогою оновлення (1 0 10^6 x -1). Зауважте, що корінь дерева проходить індекс запуску пропускається як 0 і кінцевий індекс як 10^6, так що всі діапазони, які мають x, оновлюються.
Приклад:
Input : Insert 1 Insert 4 Insert 7 Median Output : The first three queries should insert 1 4 and 7 into an empty set. The fourth query should return 4 (median of 1 4 7).
Для мети експозиції ми припускаємо наступне, але ці припущення не є обмеженнями методу, обговореним тут:
1. У будь -якому випадку всі елементи відрізняються, що жодне з них не відбувається більше одного разу.
2. "Середня" запит здійснюється лише тоді, коли в наборі є непарна кількість елементів.
3. Елементи в діапазоні встановлених від 1 до +10^6.
Метод 1 (наївний)
У наївній реалізації ми можемо зробити перші два запити в O (1), але останній запит у O (max_elem), де max_elem є максимальним елементом усіх часів (включаючи видалені елементи).
Припустимо масив рахувати [] (розміру 10^6 + 1) для підтримки кількості кожного елемента в підмножині. Далі наведено прості та само пояснювальні алгоритми для 3 запитів:
Вставте x Query:
count[x]++; if (x > max_elem) max_elem = x; n++;
Видалити x запит:
if (count[x] > 0) count[x]--; n--;
Середній запит:
sum = 0; i = 0; while( sum <= n / 2 ) { i++; sum += count[i]; } median = i; return median; Ілюстрація кількості масиву [], що представляє набір {1 4 7 8 9} Середній елемент - "7":
"Середній" запит має намір знайти (N + 1)/2 -й "1" в масиві в цьому випадку 3 -й "1"; Тепер ми робимо те саме, використовуючи сегментне дерево.
Метод 2 (використання Сегментне дерево )
Ми робимо a сегментне дерево Для зберігання суми інтервалів, де інтервал [A B] являє собою кількість елементів, присутніх у наборі, який зараз знаходиться в діапазоні [A B]. Наприклад, якщо ми розглянемо наведений вище приклад запиту (3 7) повертає 2 запит (4 4) повертає 1 запит (5 5) повертається 0.
Вставки та видалення запитів прості, і обидва можуть бути реалізовані за допомогою оновлення функції (int x int diff) (додає "diff" при індексі "x")
Алгоритм
// adds ‘diff’ at index ‘x’ update(node a b x diff) // If leaf node If a == b and a == x segmentTree[node] += diff // If non-leaf node and x lies in its range If x is in [a b] // Update children recursively update(2*node a (a + b)/2 x diff) update(2*node + 1 (a + b)/2 + 1 b x diff) // Update node segmentTree[node] = segmentTree[2 * node] + segmentTree[2 * node + 1]
Наведена вище рекурсивна функція працює O (log (max_elem)) (У цьому випадку max_elem - 10^6) і використовується як для введення, так і для видалення з наступними дзвінками:
Тепер функція для пошуку індексу з KTH "1", де "K" в цьому випадку завжди буде (N + 1) / 2 Це буде багато працювати, як двійковий пошук, ви можете вважати це рекурсивною функцією бінарного пошуку на дереві сегмента.
Візьмемо приклад, щоб зрозуміти, що наш набір наразі має елементи {1 4 7 8 9} і, отже, представлений наступним деревом сегмента.
Якщо ми перебуваємо на вузлі, що не є лодкою, ми впевнені, що в ньому є обидва діти, ми бачимо, чи є ліва дитина більше або рівна кількість як «k», якщо так, ми впевнені, що наш індекс лежить у лівій субдреї, інакше, якщо ліва підстрея має менше кількості 1, ніж k, то ми впевнені, що наш індекс лежить у правій субдрію. Ми робимо це рекурсивно, щоб досягти нашого індексу, і звідти повертаємо його.
Алгоритм
1.findKth(node a b k) 2. If a != b 3. If segmentTree[ 2 * node ] >= k 4. return findKth(2*node a (a + b)/2 k) 5. else 6. return findKth(2*node + 1 (a + b)/2 + 1 b k - segmentTree[ 2 * node ]) 7. else 8. return a
Наведена вище рекурсивна функція працює O (log (max_elem)) .
// A C++ program to implement insert delete and // median queries using segment tree #include
// A Java program to implement insert delete and // median queries using segment tree import java.io.*; class GFG{ public static int maxn = 3000005; public static int max_elem = 1000000; // A global array to store segment tree. // Note: Since it is global all elements are 0. public static int[] segmentTree = new int[maxn]; // Update 'node' and its children in segment tree. // Here 'node' is index in segmentTree[] 'a' and // 'b' are starting and ending indexes of range stored // in current node. // 'diff' is the value to be added to value 'x'. public static void update(int node int a int b int x int diff) { // If current node is a leaf node if (a == b && a == x ) { // Add 'diff' and return segmentTree[node] += diff; return ; } // If current node is non-leaf and 'x' // is in its range if (x >= a && x <= b) { // Update both sub-trees left and right update(node * 2 a (a + b) / 2 x diff); update(node * 2 + 1 (a + b) / 2 + 1 b x diff); // Finally update current node segmentTree[node] = segmentTree[node * 2] + segmentTree[node * 2 + 1]; } } // Returns k'th node in segment tree public static int findKth(int node int a int b int k) { // Non-leaf node will definitely have both // children; left and right if (a != b) { // If kth element lies in the left subtree if (segmentTree[node * 2] >= k) { return findKth(node * 2 a (a + b) / 2 k); } // If kth one lies in the right subtree return findKth(node * 2 + 1 (a + b) / 2 + 1 b k - segmentTree[node * 2]); } // If at a leaf node return the index it stores // information about return (segmentTree[node] != 0) ? a : -1; } // Insert x in the set public static void insert(int x) { update(1 0 max_elem x 1); } // Delete x from the set public static void delete(int x) { update(1 0 max_elem x -1); } // Returns median element of the set // with odd cardinality only public static int median() { int k = (segmentTree[1] + 1) / 2; return findKth(1 0 max_elem k); } // Driver code public static void main(String[] args) { insert(1); insert(4); insert(7); System.out.println('Median for the set {147} = ' + median()); insert(8); insert(9); System.out.println('Median for the set {14789} = ' + median()); delete(1); delete(8); System.out.println('Median for the set {479} = ' + median()); } } // This code is contributed by avanitrachhadiya2155
# A Python3 program to implement insert delete and # median queries using segment tree maxn = 3000005 max_elem = 1000000 # A global array to store segment tree. # Note: Since it is global all elements are 0. segmentTree = [0 for i in range(maxn)] # Update 'node' and its children in segment tree. # Here 'node' is index in segmentTree[] 'a' and # 'b' are starting and ending indexes of range stored # in current node. # 'diff' is the value to be added to value 'x'. def update(node a b x diff): global segmentTree # If current node is a leaf node if (a == b and a == x ): # add 'diff' and return segmentTree[node] += diff return # If current node is non-leaf and 'x' is in its # range if (x >= a and x <= b): # update both sub-trees left and right update(node * 2 a (a + b)//2 x diff) update(node * 2 + 1 (a + b)//2 + 1 b x diff) # Finally update current node segmentTree[node] = segmentTree[node * 2] + segmentTree[node * 2 + 1] # Returns k'th node in segment tree def findKth(node a b k): global segmentTree # non-leaf node will definitely have both # children left and right if (a != b): # If kth element lies in the left subtree if (segmentTree[node * 2] >= k): return findKth(node * 2 a (a + b)//2 k) # If kth one lies in the right subtree return findKth(node * 2 + 1 (a + b)//2 + 1 b k - segmentTree[node * 2]) # if at a leaf node return the index it stores # information about return a if (segmentTree[node]) else -1 # insert x in the set def insert(x): update(1 0 max_elem x 1) # delete x from the set def delete(x): update(1 0 max_elem x -1) # returns median element of the set with odd # cardinality only def median(): k = (segmentTree[1] + 1) // 2 return findKth(1 0 max_elem k) # Driver code if __name__ == '__main__': insert(1) insert(4) insert(7) print('Median for the set {147} ='median()) insert(8) insert(9) print('Median for the set {14789} ='median()) delete(1) delete(8) print('Median for the set {479} ='median()) # This code is contributed by mohit kumar 29
// A C# program to implement insert delete // and median queries using segment tree using System; class GFG{ public static int maxn = 3000005; public static int max_elem = 1000000; // A global array to store segment tree. // Note: Since it is global all elements are 0. public static int[] segmentTree = new int[maxn]; // Update 'node' and its children in segment tree. // Here 'node' is index in segmentTree[] 'a' and // 'b' are starting and ending indexes of range stored // in current node. // 'diff' is the value to be added to value 'x'. public static void update(int node int a int b int x int diff) { // If current node is a leaf node if (a == b && a == x) { // Add 'diff' and return segmentTree[node] += diff; return ; } // If current node is non-leaf and 'x' // is in its range if (x >= a && x <= b) { // Update both sub-trees left and right update(node * 2 a (a + b) / 2 x diff); update(node * 2 + 1 (a + b) / 2 + 1 b x diff); // Finally update current node segmentTree[node] = segmentTree[node * 2] + segmentTree[node * 2 + 1]; } } // Returns k'th node in segment tree public static int findKth(int node int a int b int k) { // Non-leaf node will definitely have both // children; left and right if (a != b) { // If kth element lies in the left subtree if (segmentTree[node * 2] >= k) { return findKth(node * 2 a (a + b) / 2 k); } // If kth one lies in the right subtree return findKth(node * 2 + 1 (a + b) / 2 + 1 b k - segmentTree[node * 2]); } // If at a leaf node return the index it // stores information about if (segmentTree[node] != 0) { return a; } else { return -1; } } // Insert x in the set public static void insert(int x) { update(1 0 max_elem x 1); } // Delete x from the set public static void delete(int x) { update(1 0 max_elem x -1); } // Returns median element of the set // with odd cardinality only public static int median() { int k = (segmentTree[1] + 1) / 2; return findKth(1 0 max_elem k); } // Driver code static public void Main() { insert(1); insert(4); insert(7); Console.WriteLine('Median for the set {147} = ' + median()); insert(8); insert(9); Console.WriteLine('Median for the set {14789} = ' + median()); delete(1); delete(8); Console.WriteLine('Median for the set {479} = ' + median()); } } // This code is contributed by rag2127
<script> // A Javascript program to implement insert delete and // median queries using segment tree let maxn = 3000005; let max_elem = 1000000; // A global array to store segment tree. // Note: Since it is global all elements are 0. let segmentTree = new Array(maxn); for(let i=0;i<maxn;i++) { segmentTree[i]=0; } // Update 'node' and its children in segment tree. // Here 'node' is index in segmentTree[] 'a' and // 'b' are starting and ending indexes of range stored // in current node. // 'diff' is the value to be added to value 'x'. function update(nodeabxdiff) { // If current node is a leaf node if (a == b && a == x ) { // Add 'diff' and return segmentTree[node] += diff; return ; } // If current node is non-leaf and 'x' // is in its range if (x >= a && x <= b) { // Update both sub-trees left and right update(node * 2 a Math.floor((a + b) / 2) x diff); update(node * 2 + 1 Math.floor((a + b) / 2) + 1 b x diff); // Finally update current node segmentTree[node] = segmentTree[node * 2] + segmentTree[node * 2 + 1]; } } // Returns k'th node in segment tree function findKth(nodeabk) { // Non-leaf node will definitely have both // children; left and right if (a != b) { // If kth element lies in the left subtree if (segmentTree[node * 2] >= k) { return findKth(node * 2 a Math.floor((a + b) / 2) k); } // If kth one lies in the right subtree return findKth(node * 2 + 1 Math.floor((a + b) / 2) + 1 b k - segmentTree[node * 2]); } // If at a leaf node return the index it stores // information about return (segmentTree[node] != 0) ? a : -1; } // Insert x in the set function insert(x) { update(1 0 max_elem x 1); } // Delete x from the set function delet(x) { update(1 0 max_elem x -1); } // Returns median element of the set // with odd cardinality only function median() { let k = (segmentTree[1] + 1) / 2; return findKth(1 0 max_elem k); } // Driver code insert(1); insert(4); insert(7); document.write('Median for the set {147} = ' + median()+'
'); insert(8); insert(9); document.write('Median for the set {14789} = ' + median()+'
'); delet(1); delet(8); document.write('Median for the set {479} = ' + median()+'
'); // This code is contributed by unknown2108 </script>
Вихід:
Median for the set {147} = 4 Median for the set {14789} = 7 Median for the set {479} = 7
Висновок:
Усі три запити пробігають O (log (max_elem)) У цьому випадку max_elem = 10^6, тому log (max_elem) приблизно дорівнює 20.
Використовує дерево сегмента O (max_elem) космос.
Якби вилучений запит не був там, проблема також могла бути зроблена з відомим алгоритмом ось .