Хорда кола - це лінія, яка з'єднує будь-які дві точки на окружності кола. Коло може мати різні хорди, і найбільша хорда кола є діаметром кола. Ми можемо легко обчислити довжину хорди за допомогою формули довжини хорди. Як випливає з назви, це формула для обчислення довжини хорди в колі в геометрії.

У цій статті ми дізнаємося про визначення хорди, теореми про хорди та коло, пояснимо її властивості та формули для обчислення довжини хорди різними методами. У статті також є кілька розв’язаних прикладів задач для кращого розуміння.

10 відсотків від 60

Зміст

• Визначення кола
• Акорд кола Визначення
• Що таке формула довжини хорди?
• Теореми про хорду кола
• Властивості хорд кола
• Вирішені проблеми
• поширені запитання

Визначення кола

Коло — це ідеальна кругла форма, що складається з усіх точок площини, розташованих на заданій відстані від даної точки. Вони складаються із замкнутої кривої лінії навколо центральної точки. Точки, присутні на прямій, знаходяться на однаковій відстані від центральної точки. Відстань до центра кола називається радіусом.

Акорд кола Визначення

Відрізок, який з’єднує будь-які дві точки на окружності кола, називається хордою кола. Оскільки діаметр також з’єднує дві точки на окружності кола, він також є хордою кола. Насправді діаметр - це найдовша хорда кола. Іншими словами, хорда - це відрізок, обидва кінці якого лежать на окружності кола. Наступна ілюстрація може допомогти нам зрозуміти більше.

Що таке формула довжини хорди?

Існує два основні методи або формули для обчислення довжини хорди. довжину хорди можна визначити за допомогою перпендикулярної відстані від центру кола, а також тригонометричним методом. Таким чином можна знайти довжину хорди

• Використання теореми Піфагора
• Використання закону косинусів

Розберемося з цими методами докладніше:

Спосіб 1: Використання теореми Піфагора

На наступній діаграмі для хорди, як ми знаємо, перпендикуляр, проведений із центру кола до хорди, ділить її на дві половини.

У трикутниках ОАМ, використовуючи Теорема Піфагора ,

r²= х²+ d²

⇒ x²= r²– д²

⇒ x = √(r²– д²)

Оскільки x дорівнює половині довжини хорди,

Таким чином, довжина хорди для будь-якого кола з перпендикулярною відстанню від центру відома як

Довжина хорди кола = 2 × [√(r ² – д ² )]

Де,

• r — радіус кола, а
• d це перпендикулярна відстань між центром кола і хордою.

Спосіб 2: Використання закону косинусів

Як ми знаємо, для трикутника ABC зі сторонами a, b і c є Закон косинуса держави,

в ² = а ² + б ² – 2ab cos C

Використовуючи цей закон на наведеній нижче схемі хорди, яка стягує кут θ у центрі кола, ми можемо знайти довжину хорди.

У трикутнику OAB, використовуючи закон косинуса,

⇒ x²= r²+ р²– 2×r×r×cos θ

⇒ x²= 2р²– 2р²cos θ

⇒ x²= 2р²(1- cos θ)

⇒ x = sqrt{2r^2(1- cos heta)}

Rightarrow x =rsqrt{2(sin^2 heta/2 + cos^2 heta/2 – cos^2 heta/2 + sin^2 heta/2)}

Rightarrow x =rsqrt{4sin^2 heta/2 }

Rightarrow x =2rsin heta/2

Таким чином, довжина хорди визначається як:

Довжина хорди = 2r × sin [θ/2]

Де,

• i є кутом між хордою в центрі, і
• r є радіусом кола.

Інша споріднена формула для довжини хорди

Якщо два кола мають спільну хорду, то довжину цієї спільної хорди можна обчислити за формулою

Довжина спільної хорди двох кіл = 2R ₁ × Р ₂ / Д

Де,

• Р ₁ і Р ₂ відноситься до радіуса кіл
• Д це відстань між двома центрами кола

Теореми про хорду кола

Хорда кола стягує кут у центрі кола, що допомагає нам доводити різні поняття в колі. Існують різні теореми, засновані на хорді кола,

• Теорема 1: Теорема про рівні хорди про рівні кути
• Теорема 2: Теорема про рівні кути та хорди (конверсія теореми 1)
• Теорема 3: Теорема про рівні хорди, рівновіддалені від центру

Тепер давайте обговоримо те саме в статті нижче.

Теорема 1: Теорема про рівні хорди та рівні кути

Заяви: Рівні хорди стягують рівні кути в центрі кола, тобто кути, які стягує хорда, рівні, якщо хорда рівна.

Доказ:

З фігури,

У ∆AOB і ∆DOC

• AB = CD …eq(i) (Дано)
• OA = OD …eq(ii) (радіус кола)
• OB = OC …eq(iii) (радіус кола)

Таким чином, за умови конгруентності SSS трикутник ∆AOB і ∆COD конгруентні.

Таким чином,

∠AOB = ∠DOC (за CPCT)

Таким чином, теорема перевірена.

Теорема 2: Теорема про рівні кути та рівні хорди (зворотна теорема 1)

Заява: Хорди, що стягують рівні кути в центрі кола, однакові за довжиною. Це протилежність першої теореми.

З фігури,

У ∆AOB і ∆DOC

• ∠AOB = ∠DOC …eq(i) (Дано)
• OA = OD …eq(ii) (радіус кола)
• OB = OC …eq(iii) (радіус кола)

Таким чином, за умови конгруентності SAS трикутник ∆AOB і ∆COD конгруентні.

Таким чином,

AB = CD (за CPCT)

Таким чином, теорема перевірена.

Теорема 3: Рівні хорди, рівновіддалені від центру Теорема

Заява: Рівні хорди рівновіддалені від центру, тобто відстань між центром кола і рівною хордою завжди однакова.

З фігури,

У ∆AOL і ∆COM

• ∠ALO = ∠CMO …eq(i) (90 градусів)
• OA = OC …eq(ii) (радіус кола)
• OL = OM …eq(iii) (Дано)

Отже, за умовою конгруентності RHS трикутник ∆AOB і ∆COD конгруентні.

Таким чином,

AL = CM (за CPCT)…(iv)

Тепер ми знаємо, що перпендикуляр, проведений із центру, ділить хорди навпіл.

З рівняння (iv)

2AL=2CM

AB = CD

Таким чином, теорема перевірена.

Властивості хорд кола

Існують різні властивості хорд у колі, деякі з них такі:

• Хорда, яка проходить через центр кола, називається діаметром і є найдовшою хордою в колі.
• Перпендикуляр до хорди, проведений із центру кола, ділить хорду навпіл.
• Хорди, рівновіддалені від центра кола, однакові за довжиною.
• Існує лише одне коло, яке проходить через три колінеарні точки.
• Рівні за довжиною хорди стягують рівні кути в центрі кола.
• Перпендикуляр хорди проходить через центр кола.
• Якщо радіус перпендикулярний до хорди, то він ділить хорду і дугу, яку вона перетинає, навпіл. Це відомо як теорема про перпендикулярну бісектрису.
• Коли стягнені кути хордою рівні, то і довжини хорд рівні.
• Якщо дві хорди в колі перетинаються, то добуток відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків другої хорди. Це відомо як теорема про пересічні хорди.
• Кут між хордою в центрі вдвічі більший за кут між хордою в окружності.

Детальніше,

• Рівняння кола
• Площа кола
• Окружність кола

Розв'язування задач на хорду кола

Задача 1: Коло - це кут 70 градусів, радіус якого дорівнює 5 см. Обчисліть довжину хорди кола.

рішення:

Дано

• Радіус = 5 см
• Кут = 70°

тепер,

довжина хорди = 2R × Sin [кут/2]

= 2 × 5 × гріх [70/2]

= 10 × sin35°

коди кольорів java

= 10 × 0,5736

= 5,73 см

Задача 2: По колу , радіус дорівнює 7 см, а перпендикулярна відстань від центра кола до його хорд дорівнює 6 см. Обчисліть довжину хорди.

рішення:

Дано

• Радіус = 7 см
• Відстань = 6 см

тепер,

Довжина хорди = 2 √r²– д²

= 2 √7²– 6²

= 2 √ 49-36

= 2 √13 см

Задача 3: Коло - це кут 60 градусів, радіус якого дорівнює 12 см. Обчисліть довжину хорди кола.

рішення:

Дано

• Радіус = 12 см
• Кут = 60°

тепер,

довжина хорди = 2R × Sin [кут/2]

⇒ 2 × 12 × гріх [60/2]

⇒ 24 × sin30°

⇒ 24 × 0,5

⇒ 12 см

Задача 4: Радіус кола дорівнює 16 см, а перпендикулярна відстань від центру кола до його хорд дорівнює 5 см. Обчисліть довжину хорди.

рішення:

Дано

• Радіус = 16 см
• Відстань = 5 см

тепер,

Довжина хорди = 2 √r²– д²

⇒ 2 √(16)²- (5)²

⇒ 2 √ 256- 25

⇒ 2 √231

⇒ 2 × 15,1

⇒ 30,2 см

Задача 6: Обчислити довжину спільної хорди між колами радіусів 6 см і 5 см відповідно. Відстань між двома центрами дорівнює 8 см.

рішення:

Дано

Відстань між двома центрами = 8 см

Радіус двох кіл дорівнює R₁і Р₂довжиною 6 см і 5 см відповідно

тепер,

Довжина спільної хорди двох кіл = (2R₁× Р₂) / Відстань між двома центрами кіл

⇒ 2 × 5 × 6/8

⇒ 60/8

⇒ 7,5 см

Поширені запитання про хорду кола

Визначте акорд.

Відрізок, що з’єднує дві точки на окружності кола, називається хордою.

Що таке формула довжини хорди?

Формула довжини хорди обчислює довжину хорди в колі.

Чи може довжина хорди бути більшою за діаметр кола?

Ні, довжина хорди не може бути більшою за діаметр, оскільки діаметр є найдовшою хордою кола.

Як впливає на довжину хорди, якщо вона розташована ближче до центру кола?

Коли хорда наближається до центру кола, її довжина наближається до максимальної довжини, тобто діаметра.

Як впливає на довжину хорди, якщо вона розташована ближче до краю кола?

Коли хорда наближається до краю кола, її довжина наближається до 0. Таким чином, довжина хорди та її відстань від краю знаходяться в оберненій залежності.

Який зв’язок між довжиною хорди та центральним кутом кола?

Співвідношення між довжиною e хорди та центральним кутом кола виглядає наступним чином:

Довжина хорди = 2r × sin [θ/2]

Де,

• i є кутом між хордою в центрі, і
• r є радіусом кола.

Чи можна використовувати формулу довжини хорди для будь-якого кола?

Так, формулу довжини хорди можна використовувати для будь-якого кола, якщо відомі радіус і центральний кут.

Чи є діаметр хордою кола?

Так, діаметр - це хорда кола. Це найдовша з можливих хорд кола. Він дорівнює подвоєному радіусу кола.

D = 2р

Де,

• Д є діаметром кола
• r є радіусом кола