logo

TechCodeview

Алгоритм Беллмана–Форда

Уявіть, що у вас є карта з різними містами, з’єднаними дорогами, кожна дорога має певну відстань. The Алгоритм Беллмана–Форда це як путівник, який допомагає знайти найкоротший шлях від одного міста до всіх інших міст, навіть якщо деякі дороги мають від’ємну довжину. Це як a GPS для комп’ютерів, корисний для визначення найшвидшого шляху переходу з однієї точки в іншу в мережі. У цій статті ми докладніше розглянемо, як працює цей алгоритм і чому він такий зручний у вирішенні щоденних проблем.

Алгоритм Беллмана-Форда

Зміст



Алгоритм Беллмана-Форда

Беллман-Форд це єдине джерело алгоритм найкоротшого шляху, який визначає найкоротший шлях між заданою вихідною вершиною та кожною іншою вершиною в графі. Цей алгоритм можна використовувати на обох зважений і незважений графіки.

рівність об’єктів Java

А Беллман-Форд алгоритм також гарантовано знаходить найкоротший шлях у графі, подібно до Алгоритм Дейкстри . Хоча Bellman-Ford повільніше, ніж Алгоритм Дейкстри , він здатний обробляти графіки з негативні ваги країв , що робить його більш універсальним. Найкоротший шлях неможливо знайти, якщо існує a негативний цикл на графіку. Якщо ми продовжуємо обходити негативний цикл нескінченну кількість разів, то вартість шляху продовжуватиме зменшуватися (навіть якщо довжина шляху збільшується). В результаті, Беллман-Форд також здатний виявляти негативні цикли , що є важливою особливістю.

Ідея алгоритму Беллмана Форда:

Основний принцип алгоритму Беллмана-Форда полягає в тому, що він починає з одного джерела та обчислює відстань до кожного вузла. Відстань спочатку невідома і вважається нескінченною, але з часом алгоритм зменшує ці шляхи, визначаючи кілька коротших шляхів. Тому кажуть, що Беллман-Форд базується на Принцип релаксації .

Принцип релаксації країв для Беллмана-Форда:

  • Це стверджує, що для графа, що має Н вершини, всі ребра повинні бути розслаблені N-1 разів, щоб обчислити найкоротший шлях з одного джерела.
  • Щоб визначити, чи існує негативний цикл чи ні, розслабте все ребро ще раз, і якщо найкоротша відстань для будь-якого вузла зменшується, тоді можна сказати, що існує негативний цикл. Коротше кажучи, якщо ми розслабимо краю Н разів, і є будь-яка зміна найкоротшої відстані будь-якого вузла між N-1ст і Nth розслаблення, ніж негативний цикл існує, інакше не існує.

Чому Relaxing Edges N-1 разів дає нам найкоротший шлях з одного джерела?

У гіршому випадку найкоротший шлях між двома вершинами може мати щонайбільше N-1 краю, де Н є числом вершин. Це тому, що простий шлях у графі з Н вершини можуть мати щонайбільше N-1 ребра, оскільки неможливо сформувати замкнутий цикл без повторного перегляду вершини.

Завдяки розслабленню країв N-1 разів алгоритм Беллмана-Форда гарантує, що оцінки відстані для всіх вершин були оновлені до їх оптимальних значень, припускаючи, що граф не містить жодних негативних вагових циклів, доступних із вихідної вершини. Якщо граф містить цикл із негативною вагою, досяжний із вихідної вершини, алгоритм може виявити його після N-1 ітерацій, оскільки негативний цикл порушує найкоротші шляхи.

Підсумовуючи, розслаблюючі краї N-1 разів в алгоритмі Беллмана-Форда гарантує, що алгоритм дослідив усі можливі шляхи довжиною до N-1 , що є максимально можливою довжиною найкоротшого шляху в графі з Н вершини. Це дозволяє алгоритму правильно обчислювати найкоротші шляхи від вихідної вершини до всіх інших вершин, враховуючи відсутність циклів з від’ємною вагою.

Чому зменшення відстані в N-му послабленні вказує на існування негативного циклу?

Як обговорювалося раніше, досягнення єдиного вихідного найкоротшого шляху до всіх інших вузлів займає N-1 релаксації. Якщо N-та релаксація ще більше зменшує найкоротшу відстань для будь-якого вузла, це означає, що певне ребро з від’ємною вагою було пройдено ще раз. Важливо відзначити, що під час N-1 релаксації, ми припустили, що кожна вершина проходить лише один раз. Однак зменшення відстані під час N-го розслаблення вказує на повторне відвідування вершини.

пропустити список

Робота алгоритму Беллмана-Форда для виявлення негативного циклу на графіку:

Припустімо, що у нас є графік, наведений нижче, і ми хочемо визначити, чи існує від’ємний цикл, використовуючи Беллмана-Форда.

Початковий графік

Крок 1: Ініціалізуйте масив відстаней Dist[], щоб зберегти найкоротшу відстань для кожної вершини від вихідної вершини. Спочатку відстань джерела буде 0, а відстань інших вершин буде НЕСКІНЧЕННОСТЮ.

Ініціалізація масиву відстані

Крок 2: Почніть розслабляти краї під час 1-го розслаблення:

  • Поточна відстань B> (відстань A) + (вага A до B), тобто нескінченність> 0 + 5
    • Отже, Dist[B] = 5

1-е розслаблення

Масив java відсортований
крок 3: Під час другої релаксації:
  • Поточна відстань D> (відстань B) + (вага B до D), тобто нескінченність> 5 + 2
    • Dist[D] = 7
  • Поточна відстань C> (відстань B) + (вага B до C), тобто нескінченність> 5 + 1
    • Dist[C] = 6

2-е розслаблення

крок 4: Під час третьої релаксації:

  • Поточна відстань F> (Відстань D ) + (Вага D до F), тобто нескінченність> 7 + 2
    • Dist[F] = 9
  • Поточна відстань E> (Відстань C ) + (Вага C до E), тобто нескінченність> 6 + 1
    • Dist[E] = 7

3-я релаксація

крок 5: Під час 4-ї релаксації:

  • Поточна відстань D> (Відстань E) + (Вага E до D), тобто 7> 7 + (-1)
    • Dist[D] = 6
  • Поточна відстань E> (Відстань F ) + (Вага F до E), тобто 7> 9 + (-3)
    • Dist[E] = 6

4-е розслаблення

Крок 6: Під час 5-ї релаксації:

  • Поточна відстань F> (Відстань D) + (Вага D до F), тобто 9> 6 + 2
    • Dist[F] = 8
  • Поточна відстань D> (Відстань E ) + (Вага E до D), тобто 6> 6 + (-1)
    • Dist[D] = 5
  • Оскільки граф h 6 вершин, тому під час 5-ї релаксації слід було обчислити найкоротшу відстань для всіх вершин.

5-е розслаблення

Крок 7: Тепер остаточна релаксація, тобто 6-та релаксація, повинна вказувати на наявність негативного циклу, якщо є будь-які зміни в масиві відстаней 5-ї релаксації.

Під час 6-го розслаблення можна побачити такі зміни:

  • Поточна відстань E> (Відстань F) + (Вага F до E), тобто 6> 8 + (-3)
    • Dist[E]=5
  • Поточна відстань F> (Відстань D ) + (Вага D до F), тобто 8> 5 + 2
    • Dist[F]=7

Оскільки ми спостерігаємо зміни в масиві відстаней, то ми можемо зробити висновок про наявність негативного циклу на графіку.

6-е розслаблення

нескінченний цикл

Результат: На графіку існує негативний цикл (D->F->E).

Алгоритм пошуку від’ємного циклу в орієнтованому зваженому графі за допомогою Беллмана-Форда:

  • Ініціалізація масиву відстаней dist[] для кожної вершини ‘ в як dist[v] = НЕСкінченність .
  • Припустимо будь-яку вершину (скажімо «0») як джерело та призначимо dist = 0 .
  • Розслабтеся всі edges(u,v,weight) N-1 разів відповідно до наведених нижче умов:
    • dist[v] = minimum(dist[v], distance[u] + weight)
  • Тепер розслабте всі краї ще раз, тобто Nth час і на основі двох наведених нижче випадків ми можемо виявити негативний цикл:
    • Випадок 1 (існує негативний цикл): Для будь-якого edge(u, v, weight), якщо dist[u] + weight
    • Випадок 2 (без негативного циклу): випадок 1 не вдається для всіх ребер.

Обробка роз'єднаних графів в алгоритмі:

Наведені вище алгоритм і програма можуть не працювати, якщо заданий графік відключено. Це працює, коли всі вершини доступні з вихідної вершини 0 .
Для обробки роз'єднаних графів ми можемо повторити наведений вище алгоритм для вершин, що мають відстань = НЕСКІНЧЕННІСТЬ, або просто для вершин, які не відвідуються.

Нижче наведено реалізацію вищезазначеного підходу:

C++ 
// A C++ program for Bellman-Ford's single source // shortest path algorithm. #include  using namespace std; // a structure to represent a weighted edge in graph struct Edge {  int src, dest, weight; }; // a structure to represent a connected, directed and // weighted graph struct Graph {  // V->Кількість вершин, E-> Кількість ребер int V, E;  // граф представляється як масив ребер.  struct Edge* край; }; // Створює граф із V вершинами та E ребрами struct Graph* createGraph(int V, int E) { struct Graph* graph = new Graph;  графік->V = V;  графік->E = E;  graph->edge = new Edge[E];  графік повернення; } // Допоміжна функція, яка використовується для друку рішення void printArr(int dist[], int n) { printf('Відстань вершини від джерела
');  для (int i = 0; i< n; ++i)  printf('%d 		 %d
', i, dist[i]); } // The main function that finds shortest distances from src // to all other vertices using Bellman-Ford algorithm. The // function also detects negative weight cycle void BellmanFord(struct Graph* graph, int src) {  int V = graph->V;  int E = graph->E;  int dist[V];  // Крок 1: Ініціалізуйте відстані від src до всіх інших // вершин як НЕСКІНЧЕННІ для (int i = 0; i< V; i++)  dist[i] = INT_MAX;  dist[src] = 0;  // Step 2: Relax all edges |V| - 1 times. A simple  // shortest path from src to any other vertex can have  // at-most |V| - 1 edges  for (int i = 1; i <= V - 1; i++) {  for (int j = 0; j < E; j++) {  int u = graph->edge[j].src;  int v = graph->edge[j].dest;  int weight = graph->edge[j].weight;  if (dist[u] != INT_MAX && dist[u] + weight< dist[v])  dist[v] = dist[u] + weight;  }  }  // Step 3: check for negative-weight cycles. The above  // step guarantees shortest distances if graph doesn't  // contain negative weight cycle. If we get a shorter  // path, then there is a cycle.  for (int i = 0; i < E; i++) {  int u = graph->edge[i].src;  int v = graph->edge[i].dest;  int weight = graph->edge[i].weight;  if (dist[u] != INT_MAX && dist[u] + weight< dist[v]) {  printf('Graph contains negative weight cycle');  return; // If negative cycle is detected, simply  // return  }  }  printArr(dist, V);  return; } // Driver's code int main() {  /* Let us create the graph given in above example */  int V = 5; // Number of vertices in graph  int E = 8; // Number of edges in graph  struct Graph* graph = createGraph(V, E);  // add edge 0-1 (or A-B in above figure)  graph->edge[0].src = 0;  graph->edge[0].dest = 1;  graph->edge[0].weight = -1;  // додати ребро 0-2 (або A-C на малюнку вище) graph->edge[1].src = 0;  graph->edge[1].dest = 2;  graph->edge[1].weight = 4;  // додати ребро 1-2 (або B-C на малюнку вище) graph->edge[2].src = 1;  graph->edge[2].dest = 2;  graph->edge[2].weight = 3;  // додати ребро 1-3 (або B-D на малюнку вище) graph->edge[3].src = 1;  graph->edge[3].dest = 3;  graph->edge[3].weight = 2;  // додати ребро 1-4 (або B-E на малюнку вище) graph->edge[4].src = 1;  graph->edge[4].dest = 4;  graph->edge[4].weight = 2;  // додати ребро 3-2 (або D-C на малюнку вище) graph->edge[5].src = 3;  graph->edge[5].dest = 2;  graph->edge[5].weight = 5;  // додати ребро 3-1 (або D-B на малюнку вище) graph->edge[6].src = 3;  graph->edge[6].dest = 1;  graph->edge[6].weight = 1;  // додати ребро 4-3 (або E-D на малюнку вище) graph->edge[7].src = 4;  graph->edge[7].dest = 3;  graph->edge[7].weight = -3;    // Виклик функції BellmanFord(graph, 0);  повернути 0; }>
Java 
// A Java program for Bellman-Ford's single source shortest // path algorithm. import java.io.*; import java.lang.*; import java.util.*; // A class to represent a connected, directed and weighted // graph class Graph {    // A class to represent a weighted edge in graph  class Edge {  int src, dest, weight;  Edge() { src = dest = weight = 0; }  };  int V, E;  Edge edge[];  // Creates a graph with V vertices and E edges  Graph(int v, int e)  {  V = v;  E = e;  edge = new Edge[e];  for (int i = 0; i < e; ++i)  edge[i] = new Edge();  }  // The main function that finds shortest distances from  // src to all other vertices using Bellman-Ford  // algorithm. The function also detects negative weight  // cycle  void BellmanFord(Graph graph, int src)  {  int V = graph.V, E = graph.E;  int dist[] = new int[V];  // Step 1: Initialize distances from src to all  // other vertices as INFINITE  for (int i = 0; i < V; ++i)  dist[i] = Integer.MAX_VALUE;  dist[src] = 0;  // Step 2: Relax all edges |V| - 1 times. A simple  // shortest path from src to any other vertex can  // have at-most |V| - 1 edges  for (int i = 1; i < V; ++i) {  for (int j = 0; j < E; ++j) {  int u = graph.edge[j].src;  int v = graph.edge[j].dest;  int weight = graph.edge[j].weight;  if (dist[u] != Integer.MAX_VALUE  && dist[u] + weight < dist[v])  dist[v] = dist[u] + weight;  }  }  // Step 3: check for negative-weight cycles. The  // above step guarantees shortest distances if graph  // doesn't contain negative weight cycle. If we get  // a shorter path, then there is a cycle.  for (int j = 0; j < E; ++j) {  int u = graph.edge[j].src;  int v = graph.edge[j].dest;  int weight = graph.edge[j].weight;  if (dist[u] != Integer.MAX_VALUE  && dist[u] + weight < dist[v]) {  System.out.println(  'Graph contains negative weight cycle');  return;  }  }  printArr(dist, V);  }  // A utility function used to print the solution  void printArr(int dist[], int V)  {  System.out.println('Vertex Distance from Source');  for (int i = 0; i < V; ++i)  System.out.println(i + '		' + dist[i]);  }  // Driver's code  public static void main(String[] args)  {  int V = 5; // Number of vertices in graph  int E = 8; // Number of edges in graph  Graph graph = new Graph(V, E);  // add edge 0-1 (or A-B in above figure)  graph.edge[0].src = 0;  graph.edge[0].dest = 1;  graph.edge[0].weight = -1;  // add edge 0-2 (or A-C in above figure)  graph.edge[1].src = 0;  graph.edge[1].dest = 2;  graph.edge[1].weight = 4;  // add edge 1-2 (or B-C in above figure)  graph.edge[2].src = 1;  graph.edge[2].dest = 2;  graph.edge[2].weight = 3;  // add edge 1-3 (or B-D in above figure)  graph.edge[3].src = 1;  graph.edge[3].dest = 3;  graph.edge[3].weight = 2;  // add edge 1-4 (or B-E in above figure)  graph.edge[4].src = 1;  graph.edge[4].dest = 4;  graph.edge[4].weight = 2;  // add edge 3-2 (or D-C in above figure)  graph.edge[5].src = 3;  graph.edge[5].dest = 2;  graph.edge[5].weight = 5;  // add edge 3-1 (or D-B in above figure)  graph.edge[6].src = 3;  graph.edge[6].dest = 1;  graph.edge[6].weight = 1;  // add edge 4-3 (or E-D in above figure)  graph.edge[7].src = 4;  graph.edge[7].dest = 3;  graph.edge[7].weight = -3;    // Function call  graph.BellmanFord(graph, 0);  } } // Contributed by Aakash Hasija>
Python3 
# Python3 program for Bellman-Ford's single source # shortest path algorithm. # Class to represent a graph class Graph: def __init__(self, vertices): self.V = vertices # No. of vertices self.graph = [] # function to add an edge to graph def addEdge(self, u, v, w): self.graph.append([u, v, w]) # utility function used to print the solution def printArr(self, dist): print('Vertex Distance from Source') for i in range(self.V): print('{0}		{1}'.format(i, dist[i])) # The main function that finds shortest distances from src to # all other vertices using Bellman-Ford algorithm. The function # also detects negative weight cycle def BellmanFord(self, src): # Step 1: Initialize distances from src to all other vertices # as INFINITE dist = [float('Inf')] * self.V dist[src] = 0 # Step 2: Relax all edges |V| - 1 times. A simple shortest # path from src to any other vertex can have at-most |V| - 1 # edges for _ in range(self.V - 1): # Update dist value and parent index of the adjacent vertices of # the picked vertex. Consider only those vertices which are still in # queue for u, v, w in self.graph: if dist[u] != float('Inf') and dist[u] + w < dist[v]: dist[v] = dist[u] + w # Step 3: check for negative-weight cycles. The above step # guarantees shortest distances if graph doesn't contain # negative weight cycle. If we get a shorter path, then there # is a cycle. for u, v, w in self.graph: if dist[u] != float('Inf') and dist[u] + w < dist[v]: print('Graph contains negative weight cycle') return # print all distance self.printArr(dist) # Driver's code if __name__ == '__main__': g = Graph(5) g.addEdge(0, 1, -1) g.addEdge(0, 2, 4) g.addEdge(1, 2, 3) g.addEdge(1, 3, 2) g.addEdge(1, 4, 2) g.addEdge(3, 2, 5) g.addEdge(3, 1, 1) g.addEdge(4, 3, -3) # function call g.BellmanFord(0) # Initially, Contributed by Neelam Yadav # Later On, Edited by Himanshu Garg>
C# 
// C# program for Bellman-Ford's single source shortest // path algorithm. using System; // A class to represent a connected, directed and weighted // graph class Graph {  // A class to represent a weighted edge in graph  class Edge {  public int src, dest, weight;  public Edge() { src = dest = weight = 0; }  };  int V, E;  Edge[] edge;  // Creates a graph with V vertices and E edges  Graph(int v, int e)  {  V = v;  E = e;  edge = new Edge[e];  for (int i = 0; i < e; ++i)  edge[i] = new Edge();  }  // The main function that finds shortest distances from  // src to all other vertices using Bellman-Ford  // algorithm. The function also detects negative weight  // cycle  void BellmanFord(Graph graph, int src)  {  int V = graph.V, E = graph.E;  int[] dist = new int[V];  // Step 1: Initialize distances from src to all  // other vertices as INFINITE  for (int i = 0; i < V; ++i)  dist[i] = int.MaxValue;  dist[src] = 0;  // Step 2: Relax all edges |V| - 1 times. A simple  // shortest path from src to any other vertex can  // have at-most |V| - 1 edges  for (int i = 1; i < V; ++i) {  for (int j = 0; j < E; ++j) {  int u = graph.edge[j].src;  int v = graph.edge[j].dest;  int weight = graph.edge[j].weight;  if (dist[u] != int.MaxValue  && dist[u] + weight < dist[v])  dist[v] = dist[u] + weight;  }  }  // Step 3: check for negative-weight cycles. The  // above step guarantees shortest distances if graph  // doesn't contain negative weight cycle. If we get  // a shorter path, then there is a cycle.  for (int j = 0; j < E; ++j) {  int u = graph.edge[j].src;  int v = graph.edge[j].dest;  int weight = graph.edge[j].weight;  if (dist[u] != int.MaxValue  && dist[u] + weight < dist[v]) {  Console.WriteLine(  'Graph contains negative weight cycle');  return;  }  }  printArr(dist, V);  }  // A utility function used to print the solution  void printArr(int[] dist, int V)  {  Console.WriteLine('Vertex Distance from Source');  for (int i = 0; i < V; ++i)  Console.WriteLine(i + '		' + dist[i]);  }  // Driver's code  public static void Main()  {  int V = 5; // Number of vertices in graph  int E = 8; // Number of edges in graph  Graph graph = new Graph(V, E);  // add edge 0-1 (or A-B in above figure)  graph.edge[0].src = 0;  graph.edge[0].dest = 1;  graph.edge[0].weight = -1;  // add edge 0-2 (or A-C in above figure)  graph.edge[1].src = 0;  graph.edge[1].dest = 2;  graph.edge[1].weight = 4;  // add edge 1-2 (or B-C in above figure)  graph.edge[2].src = 1;  graph.edge[2].dest = 2;  graph.edge[2].weight = 3;  // add edge 1-3 (or B-D in above figure)  graph.edge[3].src = 1;  graph.edge[3].dest = 3;  graph.edge[3].weight = 2;  // add edge 1-4 (or B-E in above figure)  graph.edge[4].src = 1;  graph.edge[4].dest = 4;  graph.edge[4].weight = 2;  // add edge 3-2 (or D-C in above figure)  graph.edge[5].src = 3;  graph.edge[5].dest = 2;  graph.edge[5].weight = 5;  // add edge 3-1 (or D-B in above figure)  graph.edge[6].src = 3;  graph.edge[6].dest = 1;  graph.edge[6].weight = 1;  // add edge 4-3 (or E-D in above figure)  graph.edge[7].src = 4;  graph.edge[7].dest = 3;  graph.edge[7].weight = -3;    // Function call  graph.BellmanFord(graph, 0);  }  // This code is contributed by Ryuga }>
Javascript 
// a structure to represent a connected, directed and // weighted graph class Edge {  constructor(src, dest, weight) {  this.src = src;  this.dest = dest;  this.weight = weight;  } } class Graph {  constructor(V, E) {  this.V = V;  this.E = E;  this.edge = [];  } } function createGraph(V, E) {  const graph = new Graph(V, E);  for (let i = 0; i < E; i++) {  graph.edge[i] = new Edge();  }  return graph; } function printArr(dist, V) {  console.log('Vertex Distance from Source');  for (let i = 0; i < V; i++) {  console.log(`${i} 		 ${dist[i]}`);  } } function BellmanFord(graph, src) {  const V = graph.V;  const E = graph.E;  const dist = [];  for (let i = 0; i < V; i++) {  dist[i] = Number.MAX_SAFE_INTEGER;  }  dist[src] = 0;  for (let i = 1; i <= V - 1; i++) {  for (let j = 0; j < E; j++) {  const u = graph.edge[j].src;  const v = graph.edge[j].dest;  const weight = graph.edge[j].weight;  if (dist[u] !== Number.MAX_SAFE_INTEGER && dist[u] + weight < dist[v]) {  dist[v] = dist[u] + weight;  }  }  }  for (let i = 0; i < E; i++) {  const u = graph.edge[i].src;  const v = graph.edge[i].dest;  const weight = graph.edge[i].weight;  if (dist[u] !== Number.MAX_SAFE_INTEGER && dist[u] + weight < dist[v]) {  console.log('Graph contains negative weight cycle');  return;  }  }  printArr(dist, V); } // Driver program to test methods of graph class   // Create a graph given in the above diagram const V = 5; const E = 8; const graph = createGraph(V, E); graph.edge[0] = new Edge(0, 1, -1); graph.edge[1] = new Edge(0, 2, 4); graph.edge[2] = new Edge(1, 2, 3); graph.edge[3] = new Edge(1, 3, 2); graph.edge[4] = new Edge(1, 4, 2); graph.edge[5] = new Edge(3, 2, 5); graph.edge[6] = new Edge(3, 1, 1); graph.edge[7] = new Edge(4, 3, -3); BellmanFord(graph, 0);>
Вихід 
Vertex Distance from Source 0 0 1 -1 2 2 3 -2 4 1>

Аналіз складності алгоритму Беллмана-Форда :

  • Часова складність, коли графік підключений:
    • Найкращий випадок: O(E), коли масив відстаней після 1-ї та 2-ї релаксації однакові, ми можемо просто зупинити подальшу обробку
    • Середній випадок: O(V*E)
    • Найгірший випадок: O(V*E)
  • Часова складність, коли графік роз’єднаний :
    • Всі випадки: O(E*(V^2))
  • Допоміжний простір: O(V), де V – кількість вершин у графі.

Застосування алгоритму Беллмана Форда:

  • Маршрутизація мережі: Bellman-Ford використовується в комп’ютерних мережах для пошуку найкоротших шляхів у таблицях маршрутизації, допомагаючи пакетам даних ефективно переміщатися між мережами.
  • GPS-навігація: пристрої GPS використовують Bellman-Ford для розрахунку найкоротших або найшвидших маршрутів між місцями, допомагаючи навігаційним програмам і пристроям.
  • Транспорт і логістика: Алгоритм Беллмана-Форда можна застосувати для визначення оптимальних шляхів для транспортних засобів у транспорті та логістиці, мінімізуючи споживання палива та час у дорозі.
  • Розробка гри: Bellman-Ford можна використовувати для моделювання руху та навігації у віртуальних світах у розробці ігор, де різні шляхи можуть мати різну вартість або перешкоди.
  • Робототехніка та автономні транспортні засоби: Алгоритм допомагає планувати шлях для роботів або автономних транспортних засобів, враховуючи перешкоди, рельєф місцевості та споживання енергії.

Недолік алгоритму Беллмана Форда:

  • Алгоритм Беллмана-Форда зазнає невдачі, якщо графік містить будь-який негативний реберний цикл.

Пов’язані статті про алгоритми найкоротшого шляху з одного джерела: