Площа під кривою — це площа, обмежена кривою та координатними осями, вона обчислюється шляхом взяття дуже маленьких прямокутників, а потім беручи їхню суму. Якщо ми беремо нескінченно малі прямокутники, то їхня сума обчислюється, беручи межу утвореної таким чином функції.

Для даної функції f(x), визначеної в інтервалі [a, b], площа (A) під кривою f(x) від «a» до «b» визначається як A = ∫ _a ^b f(x)dx . Площа під кривою обчислюється шляхом взяття абсолютного значення функції в інтервалі [a, b], підсумованого в діапазоні.

У цій статті ми детально дізнаємося про площу під кривою, її застосування, приклади та інше.

Зміст

• Що таке площа під кривою?
• Обчислення площі під кривою
• Використання сум Реймана
• Використання визначених інтегралів
• Апроксимація площі під кривою
• Обчислення площі під кривою
• Формули площі під кривою

Що таке площа під кривою?

Площа під кривою — це площа, обмежена будь-якою кривою з віссю x і заданими граничними умовами, тобто площа, обмежена функцією y = f(x), віссю x і лінією x = a і x = b. У деяких випадках існує лише одна гранична умова або її немає, оскільки крива перетинає вісь x один або двічі відповідно.

Площу під кривою можна обчислити різними методами, такими як сума Реймана та Визначений інтеграл і ми також можемо приблизно визначити площу за допомогою основних форм, наприклад, трикутника, прямокутника, трапеції тощо.

Читайте детально: Обчислення в математиці

Обчислення площі під кривою

Щоб обчислити площу під кривою, ми можемо використовувати такі методи, як:

• Використання сум Реймана
• Використання визначених інтегралів
• Використання апроксимації

Давайте детально вивчимо ці методи наступним чином:

Використання сум Реймана

Рейман Сумс обчислюється шляхом поділу графіка заданої функції на менші прямокутники та підсумовування площ кожного прямокутника. Чим більше прямокутників ми розглядаємо шляхом поділу наданого інтервалу, тим точнішою є площа, обчислена за допомогою цього підходу; однак, чим більше підінтервалів ми розглядаємо, тим складнішими стають обчислення.

Суму Реймана можна класифікувати ще на три категорії, наприклад:

• Ліворуч Рейман Сум
• Справа Райман Сум
• Середня точка Реймана Сума

Площа за допомогою суми Реймана задається таким чином:

old{Area = sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i}

де,

• f(x _i ) є значенням функції, що інтегрується в i ^тис точка проби
• Δx = (b-a)/n – ширина кожного підінтервалу,
  • a і b є межі інтеграції і
  • п – кількість підінтервалів
• ∑ являє собою суму всіх членів від i=1 до n,

Приклад: знайдіть площу під кривою для функції f(x) = x ² між границями x = 0 і x = 2.

рішення:

Ми хочемо знайти площу під кривою цієї функції між x = 0 і x = 2. Ми будемо використовувати ліву суму Реймана з n = 4 підінтервалами для наближення площі.

Давайте обчислимо площу під кривою, використовуючи 4 підінтервали.

Таким чином, ширина підінтервалів Δx = (2-0)/4 = 0,5

Усі 4 підінтервали є,

a = 0 = x_{0 1 2 3 4}= 2 = b

х₀= 0, х₁= 0,5, х₂= 1, х₃= 1,5, х₄= 2

Тепер ми можемо обчислити функцію за цими значеннями x, щоб знайти висоту кожного прямокутника:

f(x₀) = (0)²= 0
f(x₁) = (0,5)²= 0,25
f(x₂) = (1)²= 1
f(x₃) = (1,5)²= 2,25
f(x₄) = (2)²= 4

Тепер площа під кривою може бути приблизно визначена шляхом підсумовування площ прямокутників, утворених цими висотами:

A ≈ Δx[f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + f(x₃)] = 0,5[0 + 0,25 + 1 + 2,25] = 1,25

Отже, площа під кривою f(x) = x²між x = 0 і x = 2, апроксимована за допомогою лівої суми Реймана з 4 підінтервалами, становить приблизно 1,25.

Використання визначених інтегралів

Визначений інтеграл майже такий же, як сума Реймана, але тут кількість підінтервалів наближається до нескінченності. Якщо функція задана для інтервалу [a, b], то визначений інтеграл визначається як:

int_{a}^{b} f(x) dx = lim_{n o infty}sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i

На відміну від суми Реймана, певний інтеграл дає точну площу під кривою. Визначений інтеграл обчислюється шляхом знаходження першої похідної функції та її обчислення в межах інтегрування.

Площа відносно осі X

Крива, показана на зображенні нижче, представлена ​​за допомогою y = f(x). Нам потрібно обчислити площу під кривою відносно осі х. Граничними значеннями для кривої на осі x є a і b відповідно. Площа A під цією кривою відносно осі x обчислюється між точками x = a і x = b. Розглянемо таку криву:

Формула для площі під кривою відносно осі x визначається так:

old{A = int_{a}^{b}y.dx}

old{A = int_{a}^{b}f(x)dx}

де,

• А це площа під кривою
• і або f(x) це рівняння кривої
• a, і b – це значення x або межа інтегрування, для якої нам потрібно обчислити площу

Площа відносно осі Y

Крива, показана на зображенні вище, представлена ​​за допомогою x = f(y). Нам потрібно обчислити площу під кривою відносно осі Y. Граничними значеннями для кривої на осі Y є a і b відповідно. Площа A під цією кривою відносно осі Y між точками y = a і y = b. Розглянемо таку криву:

Формула для площі під кривою відносно осі y визначається так:

old{A = int_{a}^{b}x.dy}

old{A = int_{a}^{b}f(y)dy}

де,

• А це площа під кривою
• х або f(y) це рівняння кривої
• а, б є y-перехопленнями

Вивчайте більше, Площа між двома кривими

Апроксимація площі під кривою

Приблизне визначення площі під кривою передбачає використання простих геометричних фігур, таких як прямокутники або трапеції, щоб оцінити площу під кривою. Цей метод корисний, коли функцію важко інтегрувати або коли неможливо знайти першопохідну функції. Точність наближення залежить від розміру та кількості використовуваних форм.

Обчислення площі під кривою

Ми можемо легко обчислити площу різних кривих, використовуючи поняття, розглянуті в цій статті. Тепер давайте розглянемо кілька прикладів обчислення площі під кривою для деяких поширених кривих.

Площа під кривою: парабола

Ми знаємо, що стандартна парабола ділиться на дві симетричні частини або віссю x, або віссю y. Припустимо, ми візьмемо параболу y²= 4ax, а потім його площа обчислюється від x = 0 до x = a. І якщо потрібно, ми подвоюємо її площу, щоб знайти площу параболи в обох квадрантах.

Розрахункова площа,

і²= 4 ах

y = √(4ax)

A = 2∫₀^ay.dx

A = 2∫₀^a√(4ax).dx

A = 4√(a)∫₀^a√(x).dx

A = 4√(a){2/3.a^3/2}

A = 8/3a²

Таким чином, площа під параболою від x = 0 до x = a дорівнює 8/3а ² квадратних одиниць

Площа під кривою: коло

Коло - це замкнута крива, окружність якої завжди знаходиться на однаковій відстані від її центру. Його площа обчислюється шляхом спочатку обчислення площі в першому квадранті, а потім множення її на 4 для всіх чотирьох квадрантів.

Припустимо, ми візьмемо коло x²+ і²= а²а потім його площа повинна бути обчислена від x = 0 до x = a в першому квадранті. І якщо потрібно, ми почетверюємо його площу, щоб знайти площу кола.

Розрахункова площа,

х²+ і²= а²

y = √(a²– х²).dx

A = 4∫₀^ay.dx

A = 4∫₀^a√(a²– х²).dx

A = 4[x/2√(a²– х²) + а²/2 без^-1(x/a)]^a₀

A = 4[{(a/2).0 + a²/2.без^-1} – 0]

A = 4(a²/2)(p/2)

A = πa²

Таким чином, площа під колом становить па ² квадратних одиниць

Площа під кривою: еліпс

Коло — замкнута крива. Його площа обчислюється шляхом спочатку обчислення площі в першому квадранті, а потім множення її на 4 для всіх чотирьох квадрантів.

Припустимо, ми беремо коло (x/a)²+ (р/б)²= 1, а потім його площу потрібно обчислити від x = 0 до x = a в першому квадранті. І якщо потрібно, ми почетверюємо його площу, щоб знайти площу еліпса.

Розрахункова площа,

(x/a)²+ (р/б)²= 1

y = b/a√(a²– х²).dx

A = 4∫₀^ay.dx

ядро java

A = 4b/a∫₀^a√(a²– х²).dx

A = 4b/a[x/2√(a²– х²) + а²/2 без^-1(x/a)]^a₀

A = 4b/a[{(a/2).0 + a²/2.без^-1} – 0]

A = 4b/a(a²/2)(p/2)

A = πab

Таким чином, площа під еліпсом становить πab квадратних одиниць.

Формули площі під кривою

Формула для різних типів обчислення площі під кривою наведена в таблиці нижче:

Також читайте

• Інтеграли
• Площа як певний інтеграл

Приклади прикладів площі під кривою

Приклад 1: Знайдіть площу під кривою y ² = 12x і вісь X.

рішення:

Дане рівняння кривої є y²= 12x

Це рівняння параболи з a = 3, отже, y²= 4(3)(x)

Графік для необхідної області показаний нижче:

Вісь X ділить наведену параболу на 2 рівні частини. Отже, ми можемо знайти площу в першому квадранті, а потім помножити її на 2, щоб отримати необхідну площу

Отже, ми можемо знайти потрібну площу як:

A = 2int_{a}^{b}ydx

⇒A = 2int_{0}^{3}sqrt{12x}dx

⇒A = 2sqrt{12}[frac{2x^frac{3}{2}}{3}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}[x^frac{3}{2}]_0^3

np точка

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}*sqrt{27}

⇒ A = 24 кв

Приклад 2: обчисліть площу під кривою x = y ³ – 9 між точками y = 3 і y = 4.

рішення:

Дано рівняння кривої x = y³– 9

Граничні точки: (0, 3) і (0, 4)

Оскільки рівняння кривої має вигляд x = f(y), а точки також знаходяться на осі Y, ми скористаємося формулою,

A = int_{a}^{b}x.dy

⇒A = int_{3}^{4}(y^3-9)dy

⇒A = [frac{y^4}{4}-9y]^4_3

⇒A = (64-36)-(frac{81}{4}-27)

⇒A = 28+frac{27}{4}

⇒ A = 139/4 квадратних одиниць

Приклад 3: обчисліть площу під кривою y = x ² – 7 між точками x = 5 і x = 10.

рішення:

Дано крива y = x²−7, а граничними точками є (5, 0) і (10, 0)

Таким чином, площа під кривою визначається як:

A = int_{5}^{10}(x^2-7)dx

⇒A = [frac{x^3}{3}-7x]_5^{10}

⇒ A = (100/3 – 70) – (125/3 – 35)

⇒ A = 790/3 – 23/3

⇒ A = 770/3 кв

Приклад 4: Знайти площу, обмежену параболою y ² = 4ax і пряма x = a в першому квадранті.

рішення:

Дану криву та лінію можна намалювати наступним чином:

Тепер рівнянням кривої є y²= 4 ах

Граничні точки виявляються (0, 0) і (a, 0)

Отже, площу відносно осі X можна обчислити як:

A=int_{0}^{a}ydx

⇒A=int_{0}^{a}sqrt{4ax}dx

⇒A=[sqrt{4a}frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=2×frac{2}{3}sqrt{a}[x^{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=frac{4sqrt{a}}{3}×a^frac{3}{2}

⇒A=frac{4a^2}{3} sq. units

Приклад 5: Знайдіть площу, охоплену колом x ² + і ² = 25 у першому квадранті.

рішення:

Дано, х²+ і²= 25

Криву можна намалювати так:

Потрібна область була затінена на малюнку вище. З рівняння видно, що радіус кола дорівнює 5 одиницям.

Як, х²+ і²= 25

y = sqrt{25-x^2}

Щоб знайти площу, використаємо:

A = int_{a}^{b}ydx

⇒A = int_{0}^{5}sqrt{25-x^2}dx

⇒A = [frac{x}{2}(sqrt{25-x^2}+frac{25}{2}sin^{-1}frac{x}{5})]_0^5

⇒A = [(frac{5}{2}×0 +frac{25}{2}sin^{-1}(1))-0]

⇒A = frac{25}{2}×frac{pi}{2}

⇒ A = 25 π/4 квадратних одиниць

Поширені запитання про площу під кривою

Визначення площі під кривою.

Область, обмежена кривою, віссю та граничними точками, називається площею під кривою. Використовуючи координатні осі та формулу інтегрування, площа під кривою була визначена як двовимірна площа.

Як обчислити площу під кривою?

Існує три методи визначення площі під кривою:

• Рейман Сумс включають поділ кривої на менші прямокутники та додавання їхніх площ, причому кількість підінтервалів впливає на точність результату.
• Визначені інтеграли подібні до сум Реймана, але використовують нескінченну кількість підінтервалів для отримання точного результату.
• Методи апроксимації використовуються відомі геометричні фігури для наближення площі під кривою.

Яка різниця між визначеним інтегралом і сумою Реймана?

Ключова відмінність між певним інтегралом і сумою Реймана полягає в тому, що певний інтеграл представляє точну площу під даною кривою, тоді як сума Реймана представляє приблизне значення площі, а точність суми залежить від вибраного розміру розділу.

Чи може площа під кривою бути від’ємною?

Якщо крива розташована нижче осі або лежить у від’ємних квадрантах осі координат, площа під кривою є від’ємною. У цьому випадку також площа під кривою обчислюється за допомогою традиційного підходу, а потім рішення модулюється. Навіть у випадках негативної відповіді враховується лише значення площі, а не негативний знак відповіді.

Що означає площа під кривою в статистиці?

Площа під кривою (ROC) є мірою точності кількісного діагностичного тесту.

Як ви інтерпретуєте знак площі під кривою?

Знак площі показує, що площа під кривою знаходиться вище або нижче осі абсцис. Якщо площа додатна, то площа під кривою знаходиться над віссю х, а якщо вона від’ємна, то площа під кривою знаходиться нижче осі х.

Як апроксимується площа під кривою?

Сегментуючи область на крихітні прямокутники, можна приблизно оцінити площу під кривою. І додавши площі цих прямокутників, можна отримати площу під кривою.