Хочете перевірити себе на найскладніші запитання з математики SAT? Хочете знати, що робить ці питання такими складними і як найкраще їх вирішити? Якщо ви готові по-справжньому ввійти в розділ з математики SAT і націлитися на ідеальний результат, тоді це посібник для вас.

Ми зібрали те, що ми вважаємо 15 найскладніших питань для поточного ЗНО , зі стратегіями та поясненнями відповідей для кожного. Це всі складні запитання SAT Math із практичних тестів SAT College Board, що означає, що їх розуміння є одним із найкращих способів навчання для тих із вас, хто прагне досягти досконалості.

зображення: Соня Севілья /Вікімедіа

Короткий огляд SAT Math

Третій і четвертий розділи SAT завжди будуть розділами з математики . Перший математичний підрозділ (з позначкою «3») робить ні дозволяють використовувати калькулятор, а другий математичний підрозділ (позначений як «4») робить дозволяють використовувати калькулятор. Однак не надто турбуйтеся про розділ без калькулятора: якщо вам не дозволено використовувати калькулятор для відповіді на запитання, це означає, що вам не потрібен калькулятор, щоб відповісти на нього.

Кожен математичний підрозділ розташовано в порядку зростання складності (де чим довше потрібно розв’язати задачу і чим менше людей дадуть правильну відповідь, тим складніше). У кожному підрозділі питання 1 буде «легким», а питання 15 буде вважатися «складним». Однак у сітці складність зростає з легкої до складної.

Таким чином, запитання з декількома варіантами відповідей розташовуються відповідно до зростаючої складності (запитання 1 і 2 будуть найпростішими, запитання 14 і 15 будуть найважчими), але рівень складності скидається для розділу сітки (це означає, що запитання 16 і 17 знову будуть «легкий», а запитання 19 і 20 будуть дуже складними).

За дуже невеликими винятками, найскладніші математичні задачі SAT будуть згруповані в кінці сегментів з вибором відповідей або в другій половині запитань таблиці. Однак, окрім місця в тесті, ці запитання мають ще кілька спільних рис. За хвилину ми розглянемо приклади запитань і способи їх вирішення, а потім проаналізуємо їх, щоб зрозуміти, що спільного між цими типами запитань.

Але спочатку: чи варто зосереджуватися на найважчих математичних запитаннях прямо зараз?

Якщо ви тільки починаєте підготовку до навчання (або якщо ви просто пропустили цей перший, важливий крок), обов’язково зупиніться та пройдіть повний практичний тест, щоб оцінити ваш поточний рівень балів. Перегляньте наш путівник усі безкоштовні практичні тести SAT, доступні онлайн а потім сядьте, щоб скласти тест за один раз.

Абсолютно найкращий спосіб оцінити свій поточний рівень — це просто пройти практичний іспит SAT так, як ніби він справжній, чітко дотримуючись часу та працюючи лише з дозволеними перервами (ми знаємо — напевно, це не ваш улюблений спосіб провести суботу). Отримавши гарне уявлення про свій поточний рівень і процентиль рейтингу, ви можете встановити етапи та цілі для свого кінцевого результату SAT Math.

Якщо ви зараз отримуєте 200-400 або 400-600 балів на SAT Math, найкраще спершу ознайомитися з нашим посібником із покращення вашого результату з математики. постійно мати 600 або більше, перш ніж почати намагатися вирішувати найскладніші математичні задачі на тесті.

Проте, якщо ви вже набрали більше 600 балів у розділі з математики і хочете перевірити свою мужність для справжнього SAT, тоді обов’язково перейдіть до решти цього посібника. Якщо ви прагнете ідеального (або близького до) , тоді вам потрібно буде знати, як виглядають найскладніші завдання з математики SAT і як їх розв’язувати. І, на щастя, ми зробимо саме це.

УВАГА: Оскільки їх кількість обмежена офіційні практичні тести SAT , ви можете зачекати, щоб прочитати цю статтю, доки ви не спробуєте виконати всі або більшість із перших чотирьох офіційних практичних тестів (оскільки більшість питань, наведених нижче, були взяті з цих тестів). Якщо ви боїтеся зіпсувати ці тести, припиніть читати цей посібник зараз; поверніться та прочитайте їх, коли завершите їх.

А тепер перейдемо до нашого списку запитань (фу)!

зображення: Niytx /DeviantArt

15 найскладніших завдань з математики SAT

Тепер, коли ви впевнені, що вам варто спробувати відповісти на ці запитання, давайте зануримося прямо в них! Нижче ми підібрали для вас 15 найскладніших запитань з математики SAT, а також покрокові інструкції щодо того, як отримати відповідь (якщо ви збентежені).

Без калькулятора SAT Математичні запитання

питання 1

$$C=5/9(F-32)$$

Наведене вище рівняння показує, як температура $F$, виміряна в градусах Фаренгейта, пов’язана з температурою $C$, виміряною в градусах Цельсія. Виходячи з рівняння, що з наведеного нижче має бути істинним?

1. Підвищення температури на 1 градус за Фаренгейтом еквівалентно підвищенню температури на /9$ градусів Цельсія.
2. Підвищення температури на 1 градус за Цельсієм еквівалентно підвищенню температури на 1,8 градуса за Фаренгейтом.
3. Підвищення температури на /9$ градусів за Фаренгейтом еквівалентно підвищенню температури на 1 градус за Цельсієм.

А) Тільки я
Б) Тільки II
В) тільки III
Г) тільки I і II

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Думайте про рівняння як про рівняння прямої

$$y=mx+b$$

де в даному випадку

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

або

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Ви бачите, що нахил графіка становить /{9}$, що означає, що при збільшенні на 1 градус за Фаренгейтом збільшення становить /{9}$ на 1 градус за Цельсієм.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Отже, твердження I вірне. Це еквівалентно тому, що збільшення на 1 градус за Цельсієм дорівнює збільшенню на /{5}$ градусів за Фаренгейтом.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Оскільки /{5}$ = 1,8, твердження II вірне.

Єдиною відповіддю, у якій і твердження I, і твердження II є істинними, є Д , але якщо у вас є час і ви хочете бути абсолютно ретельними, ви також можете перевірити, чи вірне твердження III (підвищення /{9}$ градусів за Фаренгейтом дорівнює підвищенню температури на 1 градус за Цельсієм) :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (що є ≠ 1)$$

Збільшення на /9$ градусів за Фаренгейтом призводить до збільшення на /{81}$, а не на 1 градус за Цельсієм, тому твердження III невірне.

Остаточна відповідь Д.

Питання 2

Рівняння${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$вірно для всіх значень $x≠2/a$, де $a$ є константою.

Яке значення $a$?

А) -16
Б) -3
В) 3
Г) 16

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Є два шляхи вирішення цього питання. Найшвидший спосіб — помножити кожну частину даного рівняння на $ax-2$ (щоб ви могли позбутися дробу). Коли ви помножите кожну сторону на $ax-2$, ви отримаєте:

x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Потім ви повинні помножити $(-8x-3)$ і $(ax-2)$ за допомогою FOIL.

$x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

Потім зменшіть праву частину рівняння

$x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Оскільки коефіцієнти $x^2$-члена мають бути рівними в обох частинах рівняння, $−8a = 24$, або $a = −3$.

Інший варіант, який є довшим і виснажливішим, полягає в тому, щоб спробувати підключити всі варіанти відповідей для a і побачити, який варіант відповіді робить обидві сторони рівняння рівними. Знову ж таки, це довший варіант, і я не рекомендую його для справжнього SAT, оскільки це витратить надто багато часу.

Остаточна відповідь Б.

Питання 3

Якщо x-y = 12$, яке значення ${8^x}/{2^y}$?

A) ^{12}$
B) ^4$
В) ^2$
D) Значення неможливо визначити з наданої інформації.

випадковий порядок sql

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Один із підходів полягає в тому, щоб виразити

$${8^x}/{2^y}$$

щоб чисельник і знаменник були виражені з однаковою основою. Оскільки 2 і 8 є степенями 2, заміна ^3$ на 8 у чисельнику ${8^x}/{2^y}$ дає

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

які можна переписати

$${2^3x}/{2^y}$$

Оскільки чисельник і знаменник мають спільну основу, цей вираз можна переписати як ^(3x−y)$. У запитанні зазначено, що x − y = 12$, тому можна замінити 12 на показник степеня x − y$, що означає, що

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Остаточна відповідь А.

Питання 4

Точки A і B лежать на колі з радіусом 1, а дуга ${AB}↖⌢$ має довжину $π/3$. Яку частину довжини кола становить довжина дуги ${AB}↖⌢$?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Щоб знайти відповідь на це запитання, вам спочатку потрібно знати формулу для знаходження окружності кола.

Довжина кола $C$ дорівнює $C = 2πr$, де $r$ — радіус кола. Для даного кола з радіусом 1 довжина кола дорівнює $C = 2(π)(1)$, або $C = 2π$.

Щоб дізнатися, яку частку кола становить довжина ${AB}↖⌢$, розділіть довжину дуги на довжину кола, що дасть $π/3 ÷ 2π$. Цей розподіл можна представити як $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Дріб /6$ також можна переписати як

Хочете перевірити себе на найскладніші запитання з математики SAT? Хочете знати, що робить ці питання такими складними і як найкраще їх вирішити? Якщо ви готові по-справжньому ввійти в розділ з математики SAT і націлитися на ідеальний результат, тоді це посібник для вас.

Ми зібрали те, що ми вважаємо 15 найскладніших питань для поточного ЗНО , зі стратегіями та поясненнями відповідей для кожного. Це всі складні запитання SAT Math із практичних тестів SAT College Board, що означає, що їх розуміння є одним із найкращих способів навчання для тих із вас, хто прагне досягти досконалості.

зображення: Соня Севілья /Вікімедіа

Короткий огляд SAT Math

Третій і четвертий розділи SAT завжди будуть розділами з математики . Перший математичний підрозділ (з позначкою «3») робить ні дозволяють використовувати калькулятор, а другий математичний підрозділ (позначений як «4») робить дозволяють використовувати калькулятор. Однак не надто турбуйтеся про розділ без калькулятора: якщо вам не дозволено використовувати калькулятор для відповіді на запитання, це означає, що вам не потрібен калькулятор, щоб відповісти на нього.

Кожен математичний підрозділ розташовано в порядку зростання складності (де чим довше потрібно розв’язати задачу і чим менше людей дадуть правильну відповідь, тим складніше). У кожному підрозділі питання 1 буде «легким», а питання 15 буде вважатися «складним». Однак у сітці складність зростає з легкої до складної.

Таким чином, запитання з декількома варіантами відповідей розташовуються відповідно до зростаючої складності (запитання 1 і 2 будуть найпростішими, запитання 14 і 15 будуть найважчими), але рівень складності скидається для розділу сітки (це означає, що запитання 16 і 17 знову будуть «легкий», а запитання 19 і 20 будуть дуже складними).

За дуже невеликими винятками, найскладніші математичні задачі SAT будуть згруповані в кінці сегментів з вибором відповідей або в другій половині запитань таблиці. Однак, окрім місця в тесті, ці запитання мають ще кілька спільних рис. За хвилину ми розглянемо приклади запитань і способи їх вирішення, а потім проаналізуємо їх, щоб зрозуміти, що спільного між цими типами запитань.

Але спочатку: чи варто зосереджуватися на найважчих математичних запитаннях прямо зараз?

Якщо ви тільки починаєте підготовку до навчання (або якщо ви просто пропустили цей перший, важливий крок), обов’язково зупиніться та пройдіть повний практичний тест, щоб оцінити ваш поточний рівень балів. Перегляньте наш путівник усі безкоштовні практичні тести SAT, доступні онлайн а потім сядьте, щоб скласти тест за один раз.

Абсолютно найкращий спосіб оцінити свій поточний рівень — це просто пройти практичний іспит SAT так, як ніби він справжній, чітко дотримуючись часу та працюючи лише з дозволеними перервами (ми знаємо — напевно, це не ваш улюблений спосіб провести суботу). Отримавши гарне уявлення про свій поточний рівень і процентиль рейтингу, ви можете встановити етапи та цілі для свого кінцевого результату SAT Math.

Якщо ви зараз отримуєте 200-400 або 400-600 балів на SAT Math, найкраще спершу ознайомитися з нашим посібником із покращення вашого результату з математики. постійно мати 600 або більше, перш ніж почати намагатися вирішувати найскладніші математичні задачі на тесті.

Проте, якщо ви вже набрали більше 600 балів у розділі з математики і хочете перевірити свою мужність для справжнього SAT, тоді обов’язково перейдіть до решти цього посібника. Якщо ви прагнете ідеального (або близького до) , тоді вам потрібно буде знати, як виглядають найскладніші завдання з математики SAT і як їх розв’язувати. І, на щастя, ми зробимо саме це.

УВАГА: Оскільки їх кількість обмежена офіційні практичні тести SAT , ви можете зачекати, щоб прочитати цю статтю, доки ви не спробуєте виконати всі або більшість із перших чотирьох офіційних практичних тестів (оскільки більшість питань, наведених нижче, були взяті з цих тестів). Якщо ви боїтеся зіпсувати ці тести, припиніть читати цей посібник зараз; поверніться та прочитайте їх, коли завершите їх.

А тепер перейдемо до нашого списку запитань (фу)!

зображення: Niytx /DeviantArt

15 найскладніших завдань з математики SAT

Тепер, коли ви впевнені, що вам варто спробувати відповісти на ці запитання, давайте зануримося прямо в них! Нижче ми підібрали для вас 15 найскладніших запитань з математики SAT, а також покрокові інструкції щодо того, як отримати відповідь (якщо ви збентежені).

Без калькулятора SAT Математичні запитання

питання 1

$$C=5/9(F-32)$$

Наведене вище рівняння показує, як температура $F$, виміряна в градусах Фаренгейта, пов’язана з температурою $C$, виміряною в градусах Цельсія. Виходячи з рівняння, що з наведеного нижче має бути істинним?

1. Підвищення температури на 1 градус за Фаренгейтом еквівалентно підвищенню температури на $5/9$ градусів Цельсія.
2. Підвищення температури на 1 градус за Цельсієм еквівалентно підвищенню температури на 1,8 градуса за Фаренгейтом.
3. Підвищення температури на $5/9$ градусів за Фаренгейтом еквівалентно підвищенню температури на 1 градус за Цельсієм.

А) Тільки я
Б) Тільки II
В) тільки III
Г) тільки I і II

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Думайте про рівняння як про рівняння прямої

$$y=mx+b$$

де в даному випадку

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

або

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Ви бачите, що нахил графіка становить ${5}/{9}$, що означає, що при збільшенні на 1 градус за Фаренгейтом збільшення становить ${5}/{9}$ на 1 градус за Цельсієм.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Отже, твердження I вірне. Це еквівалентно тому, що збільшення на 1 градус за Цельсієм дорівнює збільшенню на ${9}/{5}$ градусів за Фаренгейтом.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Оскільки ${9}/{5}$ = 1,8, твердження II вірне.

Єдиною відповіддю, у якій і твердження I, і твердження II є істинними, є Д , але якщо у вас є час і ви хочете бути абсолютно ретельними, ви також можете перевірити, чи вірне твердження III (підвищення ${5}/{9}$ градусів за Фаренгейтом дорівнює підвищенню температури на 1 градус за Цельсієм) :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (що є ≠ 1)$$

Збільшення на $5/9$ градусів за Фаренгейтом призводить до збільшення на ${25}/{81}$, а не на 1 градус за Цельсієм, тому твердження III невірне.

Остаточна відповідь Д.

Питання 2

Рівняння${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$вірно для всіх значень $x≠2/a$, де $a$ є константою.

Яке значення $a$?

А) -16
Б) -3
В) 3
Г) 16

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Є два шляхи вирішення цього питання. Найшвидший спосіб — помножити кожну частину даного рівняння на $ax-2$ (щоб ви могли позбутися дробу). Коли ви помножите кожну сторону на $ax-2$, ви отримаєте:

$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Потім ви повинні помножити $(-8x-3)$ і $(ax-2)$ за допомогою FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

Потім зменшіть праву частину рівняння

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Оскільки коефіцієнти $x^2$-члена мають бути рівними в обох частинах рівняння, $−8a = 24$, або $a = −3$.

Інший варіант, який є довшим і виснажливішим, полягає в тому, щоб спробувати підключити всі варіанти відповідей для a і побачити, який варіант відповіді робить обидві сторони рівняння рівними. Знову ж таки, це довший варіант, і я не рекомендую його для справжнього SAT, оскільки це витратить надто багато часу.

Остаточна відповідь Б.

Питання 3

Якщо $3x-y = 12$, яке значення ${8^x}/{2^y}$?

A) $2^{12}$
B) $4^4$
В) $8^2$
D) Значення неможливо визначити з наданої інформації.

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Один із підходів полягає в тому, щоб виразити

$${8^x}/{2^y}$$

щоб чисельник і знаменник були виражені з однаковою основою. Оскільки 2 і 8 є степенями 2, заміна $2^3$ на 8 у чисельнику ${8^x}/{2^y}$ дає

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

які можна переписати

$${2^3x}/{2^y}$$

Оскільки чисельник і знаменник мають спільну основу, цей вираз можна переписати як $2^(3x−y)$. У запитанні зазначено, що $3x − y = 12$, тому можна замінити 12 на показник степеня $3x − y$, що означає, що

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Остаточна відповідь А.

Питання 4

Точки A і B лежать на колі з радіусом 1, а дуга ${AB}↖⌢$ має довжину $π/3$. Яку частину довжини кола становить довжина дуги ${AB}↖⌢$?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Щоб знайти відповідь на це запитання, вам спочатку потрібно знати формулу для знаходження окружності кола.

Довжина кола $C$ дорівнює $C = 2πr$, де $r$ — радіус кола. Для даного кола з радіусом 1 довжина кола дорівнює $C = 2(π)(1)$, або $C = 2π$.

Щоб дізнатися, яку частку кола становить довжина ${AB}↖⌢$, розділіть довжину дуги на довжину кола, що дасть $π/3 ÷ 2π$. Цей розподіл можна представити як $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Дріб $1/6$ також можна переписати як $0,166$ або $0,167$.

Остаточна відповідь: $1/6$, $0,166$ або $0,167$.

Питання 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Якщо наведений вище вираз переписати у формі $a+bi$, де $a$ і $b$ — дійсні числа, яке значення буде $a$? (Примітка: $i=√{-1}$)

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Щоб переписати ${8-i}/{3-2i}$ у стандартній формі $a + bi$, потрібно помножити чисельник і знаменник ${8-i}/{3-2i}$ на сполучене , $3 + 2i$. Це дорівнює

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Оскільки $i^2=-1$, цей останній дріб можна спростити до

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

що ще більше спрощує до $2 + i$. Отже, коли ${8-i}/{3-2i}$ переписується у стандартній формі a + bi, значення a дорівнює 2.

Остаточна відповідь А.

Питання 6

У трикутнику $ABC$ міра $∠B$ дорівнює 90°, $BC=16$ і $AC$=20. Трикутник $DEF$ подібний до трикутника $ABC$, де вершини $D$, $E$ і $F$ відповідають вершинам $A$, $B$ і $C$ відповідно, а кожній стороні трикутника $ DEF$ дорівнює $1/3$ довжини відповідної сторони трикутника $ABC$. Яке значення $sinF$?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Трикутник ABC — прямокутний трикутник із прямим кутом у B. Отже, $ov {AC}$ — гіпотенуза прямокутного трикутника ABC, а $ov {AB}$ і $ov {BC}$ — катети трикутника ABC. прямокутний трикутник ABC. Згідно з теоремою Піфагора,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Оскільки трикутник DEF подібний до трикутника ABC, з вершиною F, що відповідає вершині C, міра $angle ∠ {F}$ дорівнює мірі $angle ∠ {C}$. Отже, $sin F = sin C$. Від довжин сторін трикутника ABC

$$sinF ={opposite side}/{гіпотенуза}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Отже, $sinF ={3}/{5}$.

Остаточна відповідь: ${3}/{5}$ або 0,6.

Запитання з математики SAT для калькулятора

Питання 7

У неповній таблиці вище наведено підсумкову кількість ліворуких учнів і праворуких учнів за статтю для учнів восьмого класу середньої школи Keisel. Студенток-правшів у 5 разів більше, ніж студенток-ліворуких, а студентів-правшів у 9 разів більше, ніж студентів-ліворуких. якщо в школі загалом 18 ліворуких учнів і 122 праворуких учні, що з наведеного найближче до ймовірності того, що навмання обрана правша – жінка? (Примітка: припустимо, що жоден з учнів восьмого класу не є одночасно правшою і лівшею).

А) 0,410
Б) 0,357
В) 0,333
Г) 0,250

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Щоб вирішити цю проблему, ви повинні створити два рівняння, використовуючи дві змінні ($x$ і $y$) і надану інформацію. Нехай $x$ — кількість ліворуких студенток, а $y$ — кількість ліворуких студентів. Використовуючи інформацію, подану в задачі, кількість праворуких студенток становитиме $5x$, а кількість праворуких студентів становитиме $9y$. Оскільки загальна кількість ліворуких студентів дорівнює 18, а загальна кількість праворуких студентів – 122, наведена нижче система рівнянь має бути вірною:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

Розв’язавши цю систему рівнянь, ви отримаєте $x = 10$ і $y = 8$. Таким чином, 5*10, або 50, зі 122 праворуких студентів - жінки. Таким чином, ймовірність того, що навмання вибраний студент-правша – жінка, становить ${50}/{122}$, що з точністю до тисячної дорівнює 0,410.

Остаточна відповідь А.

Запитання 8 і 9

Використовуйте наступну інформацію як для запитання 7, так і для запитання 8.

Якщо покупці заходять до магазину із середньою швидкістю $r$ покупців за хвилину і кожен залишається в магазині в середньому $T$ хвилин, середня кількість покупців у магазині, $N$, в будь-який момент часу за формулою $N=rT$. Ця залежність відома як закон Літтла.

Власник Good Deals Store підрахував, що в робочий час в магазин заходять в середньому 3 покупці за хвилину і кожен з них залишається в середньому 15 хвилин. Власник магазину використовує закон Літтла, щоб підрахувати, що в магазині в будь-який час знаходиться 45 покупців.

Питання 8

Закон Літтла може бути застосований до будь-якої частини магазину, наприклад до окремого відділу або касових ліній. Власник магазину визначає, що протягом робочого часу приблизно 84 покупці на годину роблять покупку, і кожен із цих покупців проводить у черзі до каси в середньому 5 хвилин. Приблизно скільки покупців у будь-який час протягом робочого часу в середньому чекають у черзі на касі, щоб зробити покупку в Good Deals Store?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Оскільки в питанні сказано, що закон Літтла можна застосувати до будь-якої окремої частини магазину (наприклад, лише до касової черги), то середня кількість покупців, $N$, у касовій черзі в будь-який час дорівнює $N = rT $, де $r$ — це кількість покупців, які стоять до каси за хвилину, а $T$ — середня кількість хвилин, які кожен покупець проводить у касі.

Оскільки 84 покупці за годину роблять покупку, 84 покупці за годину стоять у черзі до каси. Однак це потрібно перетворити на кількість покупців за хвилину (щоб використовувати з $T = 5$). Оскільки в одній годині 60 хвилин, ставка ${84 покупців за годину}/{60 хвилин} = 1,4$ покупця за хвилину. Використовуючи подану формулу з $r = 1,4$ і $T = 5$, виходить

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

Таким чином, середня кількість покупців, $N$, у черзі на касі в будь-який час протягом робочого часу становить 7.

Остаточна відповідь 7.

Питання 9

Власник магазину Good Deals Store відкриває новий магазин по всьому місту. У новому магазині, за оцінками власника, у робочий час в середньому відвідують 90 покупців на коженгодиназайти в магазин, і кожен з них залишається в середньому 12 хвилин. Середня кількість покупців у новому магазині в будь-який час на який відсоток менша за середню кількість покупців у початковому магазині в будь-який час? (Примітка: не звертайте уваги на символ відсотка під час введення відповіді. Наприклад, якщо відповідь 42,1%, введіть 42,1)

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Відповідно до первинної наданої інформації, орієнтовна середня кількість покупців у початковому магазині в будь-який час (N) становить 45. У запитанні зазначено, що в новому магазині, за оцінками менеджера, в середньому 90 покупців на годину (60 хвилин) увійти в магазин, що еквівалентно 1,5 покупця за хвилину (r). Менеджер також підрахував, що кожен покупець залишається в магазині в середньому 12 хвилин (T). Таким чином, за законом Літтла, в середньому $N = rT = (1,5)(12) = 18$ покупців у новому магазині в будь-який час. Це

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

відсотків менше, ніж середня кількість покупців у початковому магазині в будь-який час.

Остаточна відповідь 60.

Питання 10

У $xy$-площині точка $(p,r)$ лежить на прямій з рівнянням $y=x+b$, де $b$ — константа. Точка з координатами $(2p, 5r)$ лежить на прямій з рівнянням $y=2x+b$. Якщо $p≠0$, яке значення $r/p$?

А) $2/5$

B) $3/4$

C) $4/3$

D) $5/2$

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Оскільки точка $(p,r)$ лежить на прямій з рівнянням $y=x+b$, то ця точка має задовольняти рівняння. Заміна $p$ на $x$ і $r$ на $y$ у рівнянні $y=x+b$ дає $r=p+b$, або $i b$ = $i r-i p $.

Так само, оскільки точка $(2p,5r)$ лежить на прямій з рівнянням $y=2x+b$, то ця точка має задовольняти рівняння. Якщо замінити $2p$ на $x$ і $5r$ на $y$ у рівнянні $y=2x+b$, то отримаємо:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Далі ми можемо порівняти два рівняння, що дорівнюють $b$, і спростити:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

Нарешті, щоб знайти $r/p$, нам потрібно розділити обидві частини рівняння на $p$ і на $4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

Правильна відповідь Б , $3/4$.

Якщо ви вибрали варіанти A і D, можливо, ви неправильно сформували свою відповідь із коефіцієнтів у точці $(2p, 5r)$. Якщо ви вибрали варіант C, можливо, ви переплутали $r$ і $p$.

Зверніть увагу, що хоча це в розділі калькулятора SAT, вам абсолютно не потрібен калькулятор, щоб розв’язати його!

Питання 11

Силос для зерна складається з двох правильних круглих конусів і правильного круглого циліндра з внутрішніми розмірами, представленими на малюнку вище. Що з наведеного нижче є найближчим до об’єму зернового силосу в кубічних футах?

А) 261,8
Б) 785,4
В) 916,3
Г) 1047,2

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Об’єм зернового силосу можна знайти, склавши об’єми всіх твердих речовин, з яких він складається (циліндра та двох конусів). Силос складається з циліндра (висотою 10 футів і радіусом основи 5 футів) і двох конусів (кожен має висоту 5 футів і радіус основи 5 футів). Формули, наведені на початку розділу SAT Math:

Об'єм конуса

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Об'єм циліндра

$$V=πr^2h$$

можна використовувати для визначення загального об’єму силосу. Оскільки два конуси мають однакові розміри, загальний об’єм силосу в кубічних футах визначається як

$$V_{сілос}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

що приблизно дорівнює 1047,2 кубічних футів.

Остаточна відповідь Д.

Питання 12

Якщо $x$ — це середнє (середнє арифметичне) $m$ і $9$, $y$ — це середнє значення з $2m$ і $15$, а $z$ — це середнє значення з $3m$ і $18$, то скільки середнє $x$, $y$ і $z$ через $m$?

А) $m+6$
Б) $m+7$
В) 2 мільйони доларів США + 14 доларів США
D) 3 мільйони доларів + 21 долар

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Оскільки середнє (середнє арифметичне) двох чисел дорівнює сумі двох чисел, поділеній на 2, рівняння $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$вірні. Середнє значення $x$, $y$ і $z$ визначається як ${x + y + z}/{3}$. Підстановка виразів у m для кожної змінної ($x$, $y$, $z$) дає

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Цей дріб можна спростити до $m + 7$.

Остаточна відповідь Б.

Питання 13

Функція $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ зображена на графіку $xy$-площини вище. Якщо $k$ є константою, так що рівняння $f(x)=k$ має три дійсні розв’язки, яке з наведеного нижче може бути значенням $k$?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Рівняння $f(x) = k$ дає розв’язки системи рівнянь

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

і

$$y = k$$

Реальний розв’язок системи двох рівнянь відповідає точці перетину графіків двох рівнянь у $xy$-площині.

Графік $y = k$ — це горизонтальна лінія, яка містить точку $(0, k)$ і тричі перетинає графік кубічного рівняння (оскільки воно має три дійсних розв’язки). На графіку єдина горизонтальна лінія, яка тричі перетинає кубічне рівняння, це лінія з рівнянням $y = −3$, або $f(x) = −3$. Отже, $k$ дорівнює $-3$.

Остаточна відповідь Д.

Питання 14

$$q={1/2}nv^2$$

Динамічний тиск $q$, створюваний рідиною, що рухається зі швидкістю $v$, можна знайти за допомогою наведеної вище формули, де $n$ — постійна густина рідини. Авіаційний інженер використовує формулу для визначення динамічного тиску рідини, що рухається зі швидкістю $v$, і тієї самої рідини, що рухається зі швидкістю 1,5$v$. Яке відношення динамічного тиску більш швидкої рідини до динамічного тиску повільнішої?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Щоб розв’язати цю задачу, потрібно скласти рівняння зі змінними. Нехай $q_1$ — динамічний тиск повільнішої рідини, що рухається зі швидкістю $v_1$, а $q_2$ — динамічний тиск більш швидкої рідини, що рухається зі швидкістю $v_2$. Потім

$$v_2 =1,5v_1$$

Враховуючи рівняння $q = {1}/{2}nv^2$, заміна динамічного тиску та швидкості швидшої рідини дає $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Оскільки $v_2 =1,5v_1$, вираз $1,5v_1$ можна замінити на $v_2$ у цьому рівнянні, отримуючи $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. Зводячи $1,5$ до квадрата, ви можете переписати попереднє рівняння як

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Отже, відношення динамічного тиску швидшої рідини дорівнює

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

Остаточна відповідь 2,25 або 9/4.

Питання 15

Для полінома $p(x)$ значення $p(3)$ дорівнює $-2$. Що з наведеного нижче має бути вірним щодо $p(x)$?

A) $x-5$ є множником $p(x)$.
B) $x-2$ є множником $p(x)$.
C) $x+2$ є множником $p(x)$.
D) Залишок від ділення $p(x)$ на $x-3$ дорівнює $-2$.

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Якщо поліном $p(x)$ поділити на поліном виду $x+k$ (що враховує всі можливі варіанти відповідей у ​​цьому питанні), результат можна записати як

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

де $q(x)$ — поліном, а $r$ — залишок. Оскільки $x + k$ є поліномом ступеня 1 (це означає, що він включає лише $x^1$ і не містить старших показників), залишок є дійсним числом.

Тому $p(x)$ можна переписати як $p(x) = (x + k)q(x) + r$, де $r$ — дійсне число.

У запитанні зазначено, що $p(3) = -2$, отже це має бути правдою

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Тепер ми можемо підключити всі можливі відповіді. Якщо відповідь A, B або C, $r$ буде $0$, а якщо відповідь D, $r$ буде $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Це може бути правдою, але тільки якщо $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Це може бути правдою, але тільки якщо $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

Це може бути правдою, але лише якщо $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Це буде завжди бути правдивим незалежно від того, що таке $q(3)$.

З варіантів відповіді єдиний, що повинен правдою щодо $p(x)$ є D, що залишок від ділення $p(x)$ на $x-3$ дорівнює -2.

Остаточна відповідь Д.

Ви заслуговуєте на сон після того, як відповіли на ці запитання.

Що спільного між найскладнішими математичними запитаннями SAT?

Важливо зрозуміти, що робить ці важкі запитання «важкими». Завдяки цьому ви зможете як зрозуміти, так і вирішити схожі запитання, коли побачите їх у день іспиту, а також матимете кращу стратегію для виявлення та виправлення попередніх математичних помилок SAT.

У цьому розділі ми розглянемо, що спільного у цих запитань, і наведемо приклади кожного типу. Деякі з причин, чому найскладніші математичні запитання є найскладнішими математичними запитаннями, полягає в тому, що вони:

№1: Перевірте кілька математичних концепцій одночасно

Тут ми повинні мати справу з уявними числами та дробами одночасно.

Секрет успіху: Подумайте, яку застосовну математику ви можете використати для вирішення проблеми, виконуйте крок за кроком і пробуйте кожен прийом, доки не знайдете той, який працює!

№2: Виконайте багато кроків

Пам’ятайте: чим більше кроків вам потрібно зробити, тим легше десь зіпсуватися!

Ми повинні вирішити цю задачу поетапно (виконуючи кілька середніх), щоб розблокувати решту відповідей за ефектом доміно. Це може заплутати вас, особливо якщо ви перебуваєте в стресі або бракує часу.

Секрет успіху: Дійте повільно, крок за кроком і ще раз перевірте свою роботу, щоб не зробити помилок!

№3: Тестові концепції, з якими ви обмежено знайомі

Наприклад, багато студентів менше знайомі з функціями, ніж з дробами та відсотками, тому більшість запитань про функції вважаються завданнями «високої складності».

Якщо ви не знаєте, як працювати з функціями, це буде складною проблемою.

Секрет успіху: Перегляньте математичні концепції, з якими ви не так добре знайомі, наприклад функції. Ми пропонуємо скористатися нашими чудовими безкоштовними посібниками з огляду SAT Math.

№4: сформульовані незвичайним або заплутаним способом

Буває важко точно зрозуміти, що таке деякі запитання питаючи , а тим більше з’ясувати, як їх вирішити. Це особливо вірно, коли запитання розташоване в кінці розділу, а у вас не вистачає часу.

Оскільки це запитання містить так багато інформації без діаграми, його може бути важко розгадати за обмежений час.

Секрет успіху: Не поспішайте, проаналізуйте те, що від вас просять, і намалюйте діаграму, якщо це вам допоможе.

№5: Використовуйте багато різних змінних

З такою кількістю різних змінних у грі досить легко заплутатися.

Секрет успіху: Не поспішайте, проаналізуйте те, що від вас просять, і подумайте, чи підключення чисел є хорошою стратегією для вирішення проблеми (це було б не для запитання вище, але було б для багатьох інших змінних запитань SAT).

Винос

SAT — це марафон, і чим краще ви будете до нього підготовлені, тим краще почуватиметеся в день іспиту. Знаючи, як відповідати на найскладніші запитання, які може поставити вам іспит, ви зробите справжнє тестування SAT набагато менш складним.

Якщо ви відчуваєте, що ці запитання були легкими, не варто недооцінювати вплив адреналіну та втоми на вашу здатність вирішувати проблеми. Продовжуючи навчання, завжди дотримуйтеся правильних вказівок щодо часу та намагайтеся складати повні тести, коли це можливо. Це найкращий спосіб відтворити фактичне середовище тестування, щоб ви могли підготуватися до справжньої угоди.

Якщо ви вважаєте ці запитання складними, не забудьте зміцнити свої знання з математики, ознайомившись з нашими індивідуальними посібниками з математики для SAT. Там ви побачите докладніші пояснення тем, про які йде мова, а також детальніші розбивки відповідей.

Що далі?

Відчували, що ці запитання складніші, ніж ви очікували? Подивіться на всі теми, розглянуті в математичному розділі SAT, а потім запам’ятайте, які розділи були для вас особливо складними. Далі перегляньте наші індивідуальні математичні посібники, які допоможуть вам підкріпити будь-яку з цих слабких сторін.

Не вистачає часу на розділ з математики SAT? Наш посібник допоможе вам впоратися з часом і підвищити ваші результати.

Прагнете отримати ідеальний результат? Перевірити наш посібник про те, як отримати ідеальні 800 на розділі математики SAT , написаний ідеальним бомбардиром.

Хочете перевірити себе на найскладніші запитання з математики SAT? Хочете знати, що робить ці питання такими складними і як найкраще їх вирішити? Якщо ви готові по-справжньому ввійти в розділ з математики SAT і націлитися на ідеальний результат, тоді це посібник для вас.

Ми зібрали те, що ми вважаємо 15 найскладніших питань для поточного ЗНО , зі стратегіями та поясненнями відповідей для кожного. Це всі складні запитання SAT Math із практичних тестів SAT College Board, що означає, що їх розуміння є одним із найкращих способів навчання для тих із вас, хто прагне досягти досконалості.

зображення: Соня Севілья /Вікімедіа

Короткий огляд SAT Math

Третій і четвертий розділи SAT завжди будуть розділами з математики . Перший математичний підрозділ (з позначкою «3») робить ні дозволяють використовувати калькулятор, а другий математичний підрозділ (позначений як «4») робить дозволяють використовувати калькулятор. Однак не надто турбуйтеся про розділ без калькулятора: якщо вам не дозволено використовувати калькулятор для відповіді на запитання, це означає, що вам не потрібен калькулятор, щоб відповісти на нього.

Кожен математичний підрозділ розташовано в порядку зростання складності (де чим довше потрібно розв’язати задачу і чим менше людей дадуть правильну відповідь, тим складніше). У кожному підрозділі питання 1 буде «легким», а питання 15 буде вважатися «складним». Однак у сітці складність зростає з легкої до складної.

Таким чином, запитання з декількома варіантами відповідей розташовуються відповідно до зростаючої складності (запитання 1 і 2 будуть найпростішими, запитання 14 і 15 будуть найважчими), але рівень складності скидається для розділу сітки (це означає, що запитання 16 і 17 знову будуть «легкий», а запитання 19 і 20 будуть дуже складними).

За дуже невеликими винятками, найскладніші математичні задачі SAT будуть згруповані в кінці сегментів з вибором відповідей або в другій половині запитань таблиці. Однак, окрім місця в тесті, ці запитання мають ще кілька спільних рис. За хвилину ми розглянемо приклади запитань і способи їх вирішення, а потім проаналізуємо їх, щоб зрозуміти, що спільного між цими типами запитань.

Але спочатку: чи варто зосереджуватися на найважчих математичних запитаннях прямо зараз?

Якщо ви тільки починаєте підготовку до навчання (або якщо ви просто пропустили цей перший, важливий крок), обов’язково зупиніться та пройдіть повний практичний тест, щоб оцінити ваш поточний рівень балів. Перегляньте наш путівник усі безкоштовні практичні тести SAT, доступні онлайн а потім сядьте, щоб скласти тест за один раз.

Абсолютно найкращий спосіб оцінити свій поточний рівень — це просто пройти практичний іспит SAT так, як ніби він справжній, чітко дотримуючись часу та працюючи лише з дозволеними перервами (ми знаємо — напевно, це не ваш улюблений спосіб провести суботу). Отримавши гарне уявлення про свій поточний рівень і процентиль рейтингу, ви можете встановити етапи та цілі для свого кінцевого результату SAT Math.

Якщо ви зараз отримуєте 200-400 або 400-600 балів на SAT Math, найкраще спершу ознайомитися з нашим посібником із покращення вашого результату з математики. постійно мати 600 або більше, перш ніж почати намагатися вирішувати найскладніші математичні задачі на тесті.

Проте, якщо ви вже набрали більше 600 балів у розділі з математики і хочете перевірити свою мужність для справжнього SAT, тоді обов’язково перейдіть до решти цього посібника. Якщо ви прагнете ідеального (або близького до) , тоді вам потрібно буде знати, як виглядають найскладніші завдання з математики SAT і як їх розв’язувати. І, на щастя, ми зробимо саме це.

УВАГА: Оскільки їх кількість обмежена офіційні практичні тести SAT , ви можете зачекати, щоб прочитати цю статтю, доки ви не спробуєте виконати всі або більшість із перших чотирьох офіційних практичних тестів (оскільки більшість питань, наведених нижче, були взяті з цих тестів). Якщо ви боїтеся зіпсувати ці тести, припиніть читати цей посібник зараз; поверніться та прочитайте їх, коли завершите їх.

А тепер перейдемо до нашого списку запитань (фу)!

зображення: Niytx /DeviantArt

15 найскладніших завдань з математики SAT

Тепер, коли ви впевнені, що вам варто спробувати відповісти на ці запитання, давайте зануримося прямо в них! Нижче ми підібрали для вас 15 найскладніших запитань з математики SAT, а також покрокові інструкції щодо того, як отримати відповідь (якщо ви збентежені).

Без калькулятора SAT Математичні запитання

питання 1

$$C=5/9(F-32)$$

Наведене вище рівняння показує, як температура $F$, виміряна в градусах Фаренгейта, пов’язана з температурою $C$, виміряною в градусах Цельсія. Виходячи з рівняння, що з наведеного нижче має бути істинним?

1. Підвищення температури на 1 градус за Фаренгейтом еквівалентно підвищенню температури на $5/9$ градусів Цельсія.
2. Підвищення температури на 1 градус за Цельсієм еквівалентно підвищенню температури на 1,8 градуса за Фаренгейтом.
3. Підвищення температури на $5/9$ градусів за Фаренгейтом еквівалентно підвищенню температури на 1 градус за Цельсієм.

А) Тільки я
Б) Тільки II
В) тільки III
Г) тільки I і II

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Думайте про рівняння як про рівняння прямої

$$y=mx+b$$

де в даному випадку

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

або

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Ви бачите, що нахил графіка становить ${5}/{9}$, що означає, що при збільшенні на 1 градус за Фаренгейтом збільшення становить ${5}/{9}$ на 1 градус за Цельсієм.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Отже, твердження I вірне. Це еквівалентно тому, що збільшення на 1 градус за Цельсієм дорівнює збільшенню на ${9}/{5}$ градусів за Фаренгейтом.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Оскільки ${9}/{5}$ = 1,8, твердження II вірне.

Єдиною відповіддю, у якій і твердження I, і твердження II є істинними, є Д , але якщо у вас є час і ви хочете бути абсолютно ретельними, ви також можете перевірити, чи вірне твердження III (підвищення ${5}/{9}$ градусів за Фаренгейтом дорівнює підвищенню температури на 1 градус за Цельсієм) :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (що є ≠ 1)$$

Збільшення на $5/9$ градусів за Фаренгейтом призводить до збільшення на ${25}/{81}$, а не на 1 градус за Цельсієм, тому твердження III невірне.

Остаточна відповідь Д.

Питання 2

Рівняння${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$вірно для всіх значень $x≠2/a$, де $a$ є константою.

Яке значення $a$?

А) -16
Б) -3
В) 3
Г) 16

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Є два шляхи вирішення цього питання. Найшвидший спосіб — помножити кожну частину даного рівняння на $ax-2$ (щоб ви могли позбутися дробу). Коли ви помножите кожну сторону на $ax-2$, ви отримаєте:

$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Потім ви повинні помножити $(-8x-3)$ і $(ax-2)$ за допомогою FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

Потім зменшіть праву частину рівняння

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Оскільки коефіцієнти $x^2$-члена мають бути рівними в обох частинах рівняння, $−8a = 24$, або $a = −3$.

Інший варіант, який є довшим і виснажливішим, полягає в тому, щоб спробувати підключити всі варіанти відповідей для a і побачити, який варіант відповіді робить обидві сторони рівняння рівними. Знову ж таки, це довший варіант, і я не рекомендую його для справжнього SAT, оскільки це витратить надто багато часу.

Остаточна відповідь Б.

Питання 3

Якщо $3x-y = 12$, яке значення ${8^x}/{2^y}$?

A) $2^{12}$
B) $4^4$
В) $8^2$
D) Значення неможливо визначити з наданої інформації.

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Один із підходів полягає в тому, щоб виразити

$${8^x}/{2^y}$$

щоб чисельник і знаменник були виражені з однаковою основою. Оскільки 2 і 8 є степенями 2, заміна $2^3$ на 8 у чисельнику ${8^x}/{2^y}$ дає

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

які можна переписати

$${2^3x}/{2^y}$$

Оскільки чисельник і знаменник мають спільну основу, цей вираз можна переписати як $2^(3x−y)$. У запитанні зазначено, що $3x − y = 12$, тому можна замінити 12 на показник степеня $3x − y$, що означає, що

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Остаточна відповідь А.

Питання 4

Точки A і B лежать на колі з радіусом 1, а дуга ${AB}↖⌢$ має довжину $π/3$. Яку частину довжини кола становить довжина дуги ${AB}↖⌢$?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Щоб знайти відповідь на це запитання, вам спочатку потрібно знати формулу для знаходження окружності кола.

Довжина кола $C$ дорівнює $C = 2πr$, де $r$ — радіус кола. Для даного кола з радіусом 1 довжина кола дорівнює $C = 2(π)(1)$, або $C = 2π$.

Щоб дізнатися, яку частку кола становить довжина ${AB}↖⌢$, розділіть довжину дуги на довжину кола, що дасть $π/3 ÷ 2π$. Цей розподіл можна представити як $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Дріб $1/6$ також можна переписати як $0,166$ або $0,167$.

Остаточна відповідь: $1/6$, $0,166$ або $0,167$.

Питання 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Якщо наведений вище вираз переписати у формі $a+bi$, де $a$ і $b$ — дійсні числа, яке значення буде $a$? (Примітка: $i=√{-1}$)

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Щоб переписати ${8-i}/{3-2i}$ у стандартній формі $a + bi$, потрібно помножити чисельник і знаменник ${8-i}/{3-2i}$ на сполучене , $3 + 2i$. Це дорівнює

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Оскільки $i^2=-1$, цей останній дріб можна спростити до

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

що ще більше спрощує до $2 + i$. Отже, коли ${8-i}/{3-2i}$ переписується у стандартній формі a + bi, значення a дорівнює 2.

Остаточна відповідь А.

Питання 6

У трикутнику $ABC$ міра $∠B$ дорівнює 90°, $BC=16$ і $AC$=20. Трикутник $DEF$ подібний до трикутника $ABC$, де вершини $D$, $E$ і $F$ відповідають вершинам $A$, $B$ і $C$ відповідно, а кожній стороні трикутника $ DEF$ дорівнює $1/3$ довжини відповідної сторони трикутника $ABC$. Яке значення $sinF$?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Трикутник ABC — прямокутний трикутник із прямим кутом у B. Отже, $ov {AC}$ — гіпотенуза прямокутного трикутника ABC, а $ov {AB}$ і $ov {BC}$ — катети трикутника ABC. прямокутний трикутник ABC. Згідно з теоремою Піфагора,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Оскільки трикутник DEF подібний до трикутника ABC, з вершиною F, що відповідає вершині C, міра $angle ∠ {F}$ дорівнює мірі $angle ∠ {C}$. Отже, $sin F = sin C$. Від довжин сторін трикутника ABC

$$sinF ={opposite side}/{гіпотенуза}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Отже, $sinF ={3}/{5}$.

Остаточна відповідь: ${3}/{5}$ або 0,6.

Запитання з математики SAT для калькулятора

Питання 7

У неповній таблиці вище наведено підсумкову кількість ліворуких учнів і праворуких учнів за статтю для учнів восьмого класу середньої школи Keisel. Студенток-правшів у 5 разів більше, ніж студенток-ліворуких, а студентів-правшів у 9 разів більше, ніж студентів-ліворуких. якщо в школі загалом 18 ліворуких учнів і 122 праворуких учні, що з наведеного найближче до ймовірності того, що навмання обрана правша – жінка? (Примітка: припустимо, що жоден з учнів восьмого класу не є одночасно правшою і лівшею).

А) 0,410
Б) 0,357
В) 0,333
Г) 0,250

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Щоб вирішити цю проблему, ви повинні створити два рівняння, використовуючи дві змінні ($x$ і $y$) і надану інформацію. Нехай $x$ — кількість ліворуких студенток, а $y$ — кількість ліворуких студентів. Використовуючи інформацію, подану в задачі, кількість праворуких студенток становитиме $5x$, а кількість праворуких студентів становитиме $9y$. Оскільки загальна кількість ліворуких студентів дорівнює 18, а загальна кількість праворуких студентів – 122, наведена нижче система рівнянь має бути вірною:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

Розв’язавши цю систему рівнянь, ви отримаєте $x = 10$ і $y = 8$. Таким чином, 5*10, або 50, зі 122 праворуких студентів - жінки. Таким чином, ймовірність того, що навмання вибраний студент-правша – жінка, становить ${50}/{122}$, що з точністю до тисячної дорівнює 0,410.

Остаточна відповідь А.

Запитання 8 і 9

Використовуйте наступну інформацію як для запитання 7, так і для запитання 8.

Якщо покупці заходять до магазину із середньою швидкістю $r$ покупців за хвилину і кожен залишається в магазині в середньому $T$ хвилин, середня кількість покупців у магазині, $N$, в будь-який момент часу за формулою $N=rT$. Ця залежність відома як закон Літтла.

Власник Good Deals Store підрахував, що в робочий час в магазин заходять в середньому 3 покупці за хвилину і кожен з них залишається в середньому 15 хвилин. Власник магазину використовує закон Літтла, щоб підрахувати, що в магазині в будь-який час знаходиться 45 покупців.

Питання 8

Закон Літтла може бути застосований до будь-якої частини магазину, наприклад до окремого відділу або касових ліній. Власник магазину визначає, що протягом робочого часу приблизно 84 покупці на годину роблять покупку, і кожен із цих покупців проводить у черзі до каси в середньому 5 хвилин. Приблизно скільки покупців у будь-який час протягом робочого часу в середньому чекають у черзі на касі, щоб зробити покупку в Good Deals Store?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Оскільки в питанні сказано, що закон Літтла можна застосувати до будь-якої окремої частини магазину (наприклад, лише до касової черги), то середня кількість покупців, $N$, у касовій черзі в будь-який час дорівнює $N = rT $, де $r$ — це кількість покупців, які стоять до каси за хвилину, а $T$ — середня кількість хвилин, які кожен покупець проводить у касі.

Оскільки 84 покупці за годину роблять покупку, 84 покупці за годину стоять у черзі до каси. Однак це потрібно перетворити на кількість покупців за хвилину (щоб використовувати з $T = 5$). Оскільки в одній годині 60 хвилин, ставка ${84 покупців за годину}/{60 хвилин} = 1,4$ покупця за хвилину. Використовуючи подану формулу з $r = 1,4$ і $T = 5$, виходить

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

Таким чином, середня кількість покупців, $N$, у черзі на касі в будь-який час протягом робочого часу становить 7.

Остаточна відповідь 7.

Питання 9

Власник магазину Good Deals Store відкриває новий магазин по всьому місту. У новому магазині, за оцінками власника, у робочий час в середньому відвідують 90 покупців на коженгодиназайти в магазин, і кожен з них залишається в середньому 12 хвилин. Середня кількість покупців у новому магазині в будь-який час на який відсоток менша за середню кількість покупців у початковому магазині в будь-який час? (Примітка: не звертайте уваги на символ відсотка під час введення відповіді. Наприклад, якщо відповідь 42,1%, введіть 42,1)

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Відповідно до первинної наданої інформації, орієнтовна середня кількість покупців у початковому магазині в будь-який час (N) становить 45. У запитанні зазначено, що в новому магазині, за оцінками менеджера, в середньому 90 покупців на годину (60 хвилин) увійти в магазин, що еквівалентно 1,5 покупця за хвилину (r). Менеджер також підрахував, що кожен покупець залишається в магазині в середньому 12 хвилин (T). Таким чином, за законом Літтла, в середньому $N = rT = (1,5)(12) = 18$ покупців у новому магазині в будь-який час. Це

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

відсотків менше, ніж середня кількість покупців у початковому магазині в будь-який час.

Остаточна відповідь 60.

Питання 10

У $xy$-площині точка $(p,r)$ лежить на прямій з рівнянням $y=x+b$, де $b$ — константа. Точка з координатами $(2p, 5r)$ лежить на прямій з рівнянням $y=2x+b$. Якщо $p≠0$, яке значення $r/p$?

А) $2/5$

B) $3/4$

C) $4/3$

D) $5/2$

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Оскільки точка $(p,r)$ лежить на прямій з рівнянням $y=x+b$, то ця точка має задовольняти рівняння. Заміна $p$ на $x$ і $r$ на $y$ у рівнянні $y=x+b$ дає $r=p+b$, або $i b$ = $i r-i p $.

Так само, оскільки точка $(2p,5r)$ лежить на прямій з рівнянням $y=2x+b$, то ця точка має задовольняти рівняння. Якщо замінити $2p$ на $x$ і $5r$ на $y$ у рівнянні $y=2x+b$, то отримаємо:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Далі ми можемо порівняти два рівняння, що дорівнюють $b$, і спростити:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

Нарешті, щоб знайти $r/p$, нам потрібно розділити обидві частини рівняння на $p$ і на $4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

Правильна відповідь Б , $3/4$.

Якщо ви вибрали варіанти A і D, можливо, ви неправильно сформували свою відповідь із коефіцієнтів у точці $(2p, 5r)$. Якщо ви вибрали варіант C, можливо, ви переплутали $r$ і $p$.

Зверніть увагу, що хоча це в розділі калькулятора SAT, вам абсолютно не потрібен калькулятор, щоб розв’язати його!

Питання 11

Силос для зерна складається з двох правильних круглих конусів і правильного круглого циліндра з внутрішніми розмірами, представленими на малюнку вище. Що з наведеного нижче є найближчим до об’єму зернового силосу в кубічних футах?

А) 261,8
Б) 785,4
В) 916,3
Г) 1047,2

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Об’єм зернового силосу можна знайти, склавши об’єми всіх твердих речовин, з яких він складається (циліндра та двох конусів). Силос складається з циліндра (висотою 10 футів і радіусом основи 5 футів) і двох конусів (кожен має висоту 5 футів і радіус основи 5 футів). Формули, наведені на початку розділу SAT Math:

Об'єм конуса

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Об'єм циліндра

$$V=πr^2h$$

можна використовувати для визначення загального об’єму силосу. Оскільки два конуси мають однакові розміри, загальний об’єм силосу в кубічних футах визначається як

$$V_{сілос}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

що приблизно дорівнює 1047,2 кубічних футів.

Остаточна відповідь Д.

Питання 12

Якщо $x$ — це середнє (середнє арифметичне) $m$ і $9$, $y$ — це середнє значення з $2m$ і $15$, а $z$ — це середнє значення з $3m$ і $18$, то скільки середнє $x$, $y$ і $z$ через $m$?

А) $m+6$
Б) $m+7$
В) 2 мільйони доларів США + 14 доларів США
D) 3 мільйони доларів + 21 долар

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Оскільки середнє (середнє арифметичне) двох чисел дорівнює сумі двох чисел, поділеній на 2, рівняння $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$вірні. Середнє значення $x$, $y$ і $z$ визначається як ${x + y + z}/{3}$. Підстановка виразів у m для кожної змінної ($x$, $y$, $z$) дає

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Цей дріб можна спростити до $m + 7$.

Остаточна відповідь Б.

Питання 13

Функція $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ зображена на графіку $xy$-площини вище. Якщо $k$ є константою, так що рівняння $f(x)=k$ має три дійсні розв’язки, яке з наведеного нижче може бути значенням $k$?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Рівняння $f(x) = k$ дає розв’язки системи рівнянь

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

і

$$y = k$$

Реальний розв’язок системи двох рівнянь відповідає точці перетину графіків двох рівнянь у $xy$-площині.

Графік $y = k$ — це горизонтальна лінія, яка містить точку $(0, k)$ і тричі перетинає графік кубічного рівняння (оскільки воно має три дійсних розв’язки). На графіку єдина горизонтальна лінія, яка тричі перетинає кубічне рівняння, це лінія з рівнянням $y = −3$, або $f(x) = −3$. Отже, $k$ дорівнює $-3$.

Остаточна відповідь Д.

Питання 14

$$q={1/2}nv^2$$

Динамічний тиск $q$, створюваний рідиною, що рухається зі швидкістю $v$, можна знайти за допомогою наведеної вище формули, де $n$ — постійна густина рідини. Авіаційний інженер використовує формулу для визначення динамічного тиску рідини, що рухається зі швидкістю $v$, і тієї самої рідини, що рухається зі швидкістю 1,5$v$. Яке відношення динамічного тиску більш швидкої рідини до динамічного тиску повільнішої?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Щоб розв’язати цю задачу, потрібно скласти рівняння зі змінними. Нехай $q_1$ — динамічний тиск повільнішої рідини, що рухається зі швидкістю $v_1$, а $q_2$ — динамічний тиск більш швидкої рідини, що рухається зі швидкістю $v_2$. Потім

$$v_2 =1,5v_1$$

Враховуючи рівняння $q = {1}/{2}nv^2$, заміна динамічного тиску та швидкості швидшої рідини дає $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Оскільки $v_2 =1,5v_1$, вираз $1,5v_1$ можна замінити на $v_2$ у цьому рівнянні, отримуючи $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. Зводячи $1,5$ до квадрата, ви можете переписати попереднє рівняння як

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Отже, відношення динамічного тиску швидшої рідини дорівнює

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

Остаточна відповідь 2,25 або 9/4.

Питання 15

Для полінома $p(x)$ значення $p(3)$ дорівнює $-2$. Що з наведеного нижче має бути вірним щодо $p(x)$?

A) $x-5$ є множником $p(x)$.
B) $x-2$ є множником $p(x)$.
C) $x+2$ є множником $p(x)$.
D) Залишок від ділення $p(x)$ на $x-3$ дорівнює $-2$.

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Якщо поліном $p(x)$ поділити на поліном виду $x+k$ (що враховує всі можливі варіанти відповідей у ​​цьому питанні), результат можна записати як

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

де $q(x)$ — поліном, а $r$ — залишок. Оскільки $x + k$ є поліномом ступеня 1 (це означає, що він включає лише $x^1$ і не містить старших показників), залишок є дійсним числом.

Тому $p(x)$ можна переписати як $p(x) = (x + k)q(x) + r$, де $r$ — дійсне число.

У запитанні зазначено, що $p(3) = -2$, отже це має бути правдою

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Тепер ми можемо підключити всі можливі відповіді. Якщо відповідь A, B або C, $r$ буде $0$, а якщо відповідь D, $r$ буде $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Це може бути правдою, але тільки якщо $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Це може бути правдою, але тільки якщо $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

Це може бути правдою, але лише якщо $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Це буде завжди бути правдивим незалежно від того, що таке $q(3)$.

З варіантів відповіді єдиний, що повинен правдою щодо $p(x)$ є D, що залишок від ділення $p(x)$ на $x-3$ дорівнює -2.

Остаточна відповідь Д.

Ви заслуговуєте на сон після того, як відповіли на ці запитання.

Що спільного між найскладнішими математичними запитаннями SAT?

Важливо зрозуміти, що робить ці важкі запитання «важкими». Завдяки цьому ви зможете як зрозуміти, так і вирішити схожі запитання, коли побачите їх у день іспиту, а також матимете кращу стратегію для виявлення та виправлення попередніх математичних помилок SAT.

У цьому розділі ми розглянемо, що спільного у цих запитань, і наведемо приклади кожного типу. Деякі з причин, чому найскладніші математичні запитання є найскладнішими математичними запитаннями, полягає в тому, що вони:

№1: Перевірте кілька математичних концепцій одночасно

Тут ми повинні мати справу з уявними числами та дробами одночасно.

Секрет успіху: Подумайте, яку застосовну математику ви можете використати для вирішення проблеми, виконуйте крок за кроком і пробуйте кожен прийом, доки не знайдете той, який працює!

№2: Виконайте багато кроків

Пам’ятайте: чим більше кроків вам потрібно зробити, тим легше десь зіпсуватися!

Ми повинні вирішити цю задачу поетапно (виконуючи кілька середніх), щоб розблокувати решту відповідей за ефектом доміно. Це може заплутати вас, особливо якщо ви перебуваєте в стресі або бракує часу.

Секрет успіху: Дійте повільно, крок за кроком і ще раз перевірте свою роботу, щоб не зробити помилок!

№3: Тестові концепції, з якими ви обмежено знайомі

Наприклад, багато студентів менше знайомі з функціями, ніж з дробами та відсотками, тому більшість запитань про функції вважаються завданнями «високої складності».

Якщо ви не знаєте, як працювати з функціями, це буде складною проблемою.

Секрет успіху: Перегляньте математичні концепції, з якими ви не так добре знайомі, наприклад функції. Ми пропонуємо скористатися нашими чудовими безкоштовними посібниками з огляду SAT Math.

№4: сформульовані незвичайним або заплутаним способом

Буває важко точно зрозуміти, що таке деякі запитання питаючи , а тим більше з’ясувати, як їх вирішити. Це особливо вірно, коли запитання розташоване в кінці розділу, а у вас не вистачає часу.

Оскільки це запитання містить так багато інформації без діаграми, його може бути важко розгадати за обмежений час.

Секрет успіху: Не поспішайте, проаналізуйте те, що від вас просять, і намалюйте діаграму, якщо це вам допоможе.

№5: Використовуйте багато різних змінних

З такою кількістю різних змінних у грі досить легко заплутатися.

Секрет успіху: Не поспішайте, проаналізуйте те, що від вас просять, і подумайте, чи підключення чисел є хорошою стратегією для вирішення проблеми (це було б не для запитання вище, але було б для багатьох інших змінних запитань SAT).

Винос

SAT — це марафон, і чим краще ви будете до нього підготовлені, тим краще почуватиметеся в день іспиту. Знаючи, як відповідати на найскладніші запитання, які може поставити вам іспит, ви зробите справжнє тестування SAT набагато менш складним.

Якщо ви відчуваєте, що ці запитання були легкими, не варто недооцінювати вплив адреналіну та втоми на вашу здатність вирішувати проблеми. Продовжуючи навчання, завжди дотримуйтеся правильних вказівок щодо часу та намагайтеся складати повні тести, коли це можливо. Це найкращий спосіб відтворити фактичне середовище тестування, щоб ви могли підготуватися до справжньої угоди.

Якщо ви вважаєте ці запитання складними, не забудьте зміцнити свої знання з математики, ознайомившись з нашими індивідуальними посібниками з математики для SAT. Там ви побачите докладніші пояснення тем, про які йде мова, а також детальніші розбивки відповідей.

Що далі?

Відчували, що ці запитання складніші, ніж ви очікували? Подивіться на всі теми, розглянуті в математичному розділі SAT, а потім запам’ятайте, які розділи були для вас особливо складними. Далі перегляньте наші індивідуальні математичні посібники, які допоможуть вам підкріпити будь-яку з цих слабких сторін.

Не вистачає часу на розділ з математики SAT? Наш посібник допоможе вам впоратися з часом і підвищити ваші результати.

Прагнете отримати ідеальний результат? Перевірити наш посібник про те, як отримати ідеальні 800 на розділі математики SAT , написаний ідеальним бомбардиром.

Остаточна відповідь: /6$,

Хочете перевірити себе на найскладніші запитання з математики SAT? Хочете знати, що робить ці питання такими складними і як найкраще їх вирішити? Якщо ви готові по-справжньому ввійти в розділ з математики SAT і націлитися на ідеальний результат, тоді це посібник для вас.

Ми зібрали те, що ми вважаємо 15 найскладніших питань для поточного ЗНО , зі стратегіями та поясненнями відповідей для кожного. Це всі складні запитання SAT Math із практичних тестів SAT College Board, що означає, що їх розуміння є одним із найкращих способів навчання для тих із вас, хто прагне досягти досконалості.

зображення: Соня Севілья /Вікімедіа

Короткий огляд SAT Math

Третій і четвертий розділи SAT завжди будуть розділами з математики . Перший математичний підрозділ (з позначкою «3») робить ні дозволяють використовувати калькулятор, а другий математичний підрозділ (позначений як «4») робить дозволяють використовувати калькулятор. Однак не надто турбуйтеся про розділ без калькулятора: якщо вам не дозволено використовувати калькулятор для відповіді на запитання, це означає, що вам не потрібен калькулятор, щоб відповісти на нього.

Кожен математичний підрозділ розташовано в порядку зростання складності (де чим довше потрібно розв’язати задачу і чим менше людей дадуть правильну відповідь, тим складніше). У кожному підрозділі питання 1 буде «легким», а питання 15 буде вважатися «складним». Однак у сітці складність зростає з легкої до складної.

Таким чином, запитання з декількома варіантами відповідей розташовуються відповідно до зростаючої складності (запитання 1 і 2 будуть найпростішими, запитання 14 і 15 будуть найважчими), але рівень складності скидається для розділу сітки (це означає, що запитання 16 і 17 знову будуть «легкий», а запитання 19 і 20 будуть дуже складними).

За дуже невеликими винятками, найскладніші математичні задачі SAT будуть згруповані в кінці сегментів з вибором відповідей або в другій половині запитань таблиці. Однак, окрім місця в тесті, ці запитання мають ще кілька спільних рис. За хвилину ми розглянемо приклади запитань і способи їх вирішення, а потім проаналізуємо їх, щоб зрозуміти, що спільного між цими типами запитань.

Але спочатку: чи варто зосереджуватися на найважчих математичних запитаннях прямо зараз?

Якщо ви тільки починаєте підготовку до навчання (або якщо ви просто пропустили цей перший, важливий крок), обов’язково зупиніться та пройдіть повний практичний тест, щоб оцінити ваш поточний рівень балів. Перегляньте наш путівник усі безкоштовні практичні тести SAT, доступні онлайн а потім сядьте, щоб скласти тест за один раз.

Абсолютно найкращий спосіб оцінити свій поточний рівень — це просто пройти практичний іспит SAT так, як ніби він справжній, чітко дотримуючись часу та працюючи лише з дозволеними перервами (ми знаємо — напевно, це не ваш улюблений спосіб провести суботу). Отримавши гарне уявлення про свій поточний рівень і процентиль рейтингу, ви можете встановити етапи та цілі для свого кінцевого результату SAT Math.

Якщо ви зараз отримуєте 200-400 або 400-600 балів на SAT Math, найкраще спершу ознайомитися з нашим посібником із покращення вашого результату з математики. постійно мати 600 або більше, перш ніж почати намагатися вирішувати найскладніші математичні задачі на тесті.

Проте, якщо ви вже набрали більше 600 балів у розділі з математики і хочете перевірити свою мужність для справжнього SAT, тоді обов’язково перейдіть до решти цього посібника. Якщо ви прагнете ідеального (або близького до) , тоді вам потрібно буде знати, як виглядають найскладніші завдання з математики SAT і як їх розв’язувати. І, на щастя, ми зробимо саме це.

УВАГА: Оскільки їх кількість обмежена офіційні практичні тести SAT , ви можете зачекати, щоб прочитати цю статтю, доки ви не спробуєте виконати всі або більшість із перших чотирьох офіційних практичних тестів (оскільки більшість питань, наведених нижче, були взяті з цих тестів). Якщо ви боїтеся зіпсувати ці тести, припиніть читати цей посібник зараз; поверніться та прочитайте їх, коли завершите їх.

А тепер перейдемо до нашого списку запитань (фу)!

зображення: Niytx /DeviantArt

15 найскладніших завдань з математики SAT

Тепер, коли ви впевнені, що вам варто спробувати відповісти на ці запитання, давайте зануримося прямо в них! Нижче ми підібрали для вас 15 найскладніших запитань з математики SAT, а також покрокові інструкції щодо того, як отримати відповідь (якщо ви збентежені).

Без калькулятора SAT Математичні запитання

питання 1

$$C=5/9(F-32)$$

Наведене вище рівняння показує, як температура $F$, виміряна в градусах Фаренгейта, пов’язана з температурою $C$, виміряною в градусах Цельсія. Виходячи з рівняння, що з наведеного нижче має бути істинним?

1. Підвищення температури на 1 градус за Фаренгейтом еквівалентно підвищенню температури на $5/9$ градусів Цельсія.
2. Підвищення температури на 1 градус за Цельсієм еквівалентно підвищенню температури на 1,8 градуса за Фаренгейтом.
3. Підвищення температури на $5/9$ градусів за Фаренгейтом еквівалентно підвищенню температури на 1 градус за Цельсієм.

А) Тільки я
Б) Тільки II
В) тільки III
Г) тільки I і II

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Думайте про рівняння як про рівняння прямої

$$y=mx+b$$

де в даному випадку

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

або

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Ви бачите, що нахил графіка становить ${5}/{9}$, що означає, що при збільшенні на 1 градус за Фаренгейтом збільшення становить ${5}/{9}$ на 1 градус за Цельсієм.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Отже, твердження I вірне. Це еквівалентно тому, що збільшення на 1 градус за Цельсієм дорівнює збільшенню на ${9}/{5}$ градусів за Фаренгейтом.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Оскільки ${9}/{5}$ = 1,8, твердження II вірне.

Єдиною відповіддю, у якій і твердження I, і твердження II є істинними, є Д , але якщо у вас є час і ви хочете бути абсолютно ретельними, ви також можете перевірити, чи вірне твердження III (підвищення ${5}/{9}$ градусів за Фаренгейтом дорівнює підвищенню температури на 1 градус за Цельсієм) :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (що є ≠ 1)$$

Збільшення на $5/9$ градусів за Фаренгейтом призводить до збільшення на ${25}/{81}$, а не на 1 градус за Цельсієм, тому твердження III невірне.

Остаточна відповідь Д.

Питання 2

Рівняння${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$вірно для всіх значень $x≠2/a$, де $a$ є константою.

Яке значення $a$?

А) -16
Б) -3
В) 3
Г) 16

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Є два шляхи вирішення цього питання. Найшвидший спосіб — помножити кожну частину даного рівняння на $ax-2$ (щоб ви могли позбутися дробу). Коли ви помножите кожну сторону на $ax-2$, ви отримаєте:

$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Потім ви повинні помножити $(-8x-3)$ і $(ax-2)$ за допомогою FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

Потім зменшіть праву частину рівняння

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Оскільки коефіцієнти $x^2$-члена мають бути рівними в обох частинах рівняння, $−8a = 24$, або $a = −3$.

Інший варіант, який є довшим і виснажливішим, полягає в тому, щоб спробувати підключити всі варіанти відповідей для a і побачити, який варіант відповіді робить обидві сторони рівняння рівними. Знову ж таки, це довший варіант, і я не рекомендую його для справжнього SAT, оскільки це витратить надто багато часу.

Остаточна відповідь Б.

Питання 3

Якщо $3x-y = 12$, яке значення ${8^x}/{2^y}$?

A) $2^{12}$
B) $4^4$
В) $8^2$
D) Значення неможливо визначити з наданої інформації.

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Один із підходів полягає в тому, щоб виразити

$${8^x}/{2^y}$$

щоб чисельник і знаменник були виражені з однаковою основою. Оскільки 2 і 8 є степенями 2, заміна $2^3$ на 8 у чисельнику ${8^x}/{2^y}$ дає

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

які можна переписати

$${2^3x}/{2^y}$$

Оскільки чисельник і знаменник мають спільну основу, цей вираз можна переписати як $2^(3x−y)$. У запитанні зазначено, що $3x − y = 12$, тому можна замінити 12 на показник степеня $3x − y$, що означає, що

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Остаточна відповідь А.

Питання 4

Точки A і B лежать на колі з радіусом 1, а дуга ${AB}↖⌢$ має довжину $π/3$. Яку частину довжини кола становить довжина дуги ${AB}↖⌢$?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Щоб знайти відповідь на це запитання, вам спочатку потрібно знати формулу для знаходження окружності кола.

Довжина кола $C$ дорівнює $C = 2πr$, де $r$ — радіус кола. Для даного кола з радіусом 1 довжина кола дорівнює $C = 2(π)(1)$, або $C = 2π$.

Щоб дізнатися, яку частку кола становить довжина ${AB}↖⌢$, розділіть довжину дуги на довжину кола, що дасть $π/3 ÷ 2π$. Цей розподіл можна представити як $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Дріб $1/6$ також можна переписати як $0,166$ або $0,167$.

Остаточна відповідь: $1/6$, $0,166$ або $0,167$.

Питання 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Якщо наведений вище вираз переписати у формі $a+bi$, де $a$ і $b$ — дійсні числа, яке значення буде $a$? (Примітка: $i=√{-1}$)

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Щоб переписати ${8-i}/{3-2i}$ у стандартній формі $a + bi$, потрібно помножити чисельник і знаменник ${8-i}/{3-2i}$ на сполучене , $3 + 2i$. Це дорівнює

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Оскільки $i^2=-1$, цей останній дріб можна спростити до

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

що ще більше спрощує до $2 + i$. Отже, коли ${8-i}/{3-2i}$ переписується у стандартній формі a + bi, значення a дорівнює 2.

Остаточна відповідь А.

Питання 6

У трикутнику $ABC$ міра $∠B$ дорівнює 90°, $BC=16$ і $AC$=20. Трикутник $DEF$ подібний до трикутника $ABC$, де вершини $D$, $E$ і $F$ відповідають вершинам $A$, $B$ і $C$ відповідно, а кожній стороні трикутника $ DEF$ дорівнює $1/3$ довжини відповідної сторони трикутника $ABC$. Яке значення $sinF$?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Трикутник ABC — прямокутний трикутник із прямим кутом у B. Отже, $ov {AC}$ — гіпотенуза прямокутного трикутника ABC, а $ov {AB}$ і $ov {BC}$ — катети трикутника ABC. прямокутний трикутник ABC. Згідно з теоремою Піфагора,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Оскільки трикутник DEF подібний до трикутника ABC, з вершиною F, що відповідає вершині C, міра $angle ∠ {F}$ дорівнює мірі $angle ∠ {C}$. Отже, $sin F = sin C$. Від довжин сторін трикутника ABC

$$sinF ={opposite side}/{гіпотенуза}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Отже, $sinF ={3}/{5}$.

Остаточна відповідь: ${3}/{5}$ або 0,6.

Запитання з математики SAT для калькулятора

Питання 7

У неповній таблиці вище наведено підсумкову кількість ліворуких учнів і праворуких учнів за статтю для учнів восьмого класу середньої школи Keisel. Студенток-правшів у 5 разів більше, ніж студенток-ліворуких, а студентів-правшів у 9 разів більше, ніж студентів-ліворуких. якщо в школі загалом 18 ліворуких учнів і 122 праворуких учні, що з наведеного найближче до ймовірності того, що навмання обрана правша – жінка? (Примітка: припустимо, що жоден з учнів восьмого класу не є одночасно правшою і лівшею).

А) 0,410
Б) 0,357
В) 0,333
Г) 0,250

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Щоб вирішити цю проблему, ви повинні створити два рівняння, використовуючи дві змінні ($x$ і $y$) і надану інформацію. Нехай $x$ — кількість ліворуких студенток, а $y$ — кількість ліворуких студентів. Використовуючи інформацію, подану в задачі, кількість праворуких студенток становитиме $5x$, а кількість праворуких студентів становитиме $9y$. Оскільки загальна кількість ліворуких студентів дорівнює 18, а загальна кількість праворуких студентів – 122, наведена нижче система рівнянь має бути вірною:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

Розв’язавши цю систему рівнянь, ви отримаєте $x = 10$ і $y = 8$. Таким чином, 5*10, або 50, зі 122 праворуких студентів - жінки. Таким чином, ймовірність того, що навмання вибраний студент-правша – жінка, становить ${50}/{122}$, що з точністю до тисячної дорівнює 0,410.

Остаточна відповідь А.

Запитання 8 і 9

Використовуйте наступну інформацію як для запитання 7, так і для запитання 8.

Якщо покупці заходять до магазину із середньою швидкістю $r$ покупців за хвилину і кожен залишається в магазині в середньому $T$ хвилин, середня кількість покупців у магазині, $N$, в будь-який момент часу за формулою $N=rT$. Ця залежність відома як закон Літтла.

Власник Good Deals Store підрахував, що в робочий час в магазин заходять в середньому 3 покупці за хвилину і кожен з них залишається в середньому 15 хвилин. Власник магазину використовує закон Літтла, щоб підрахувати, що в магазині в будь-який час знаходиться 45 покупців.

Питання 8

Закон Літтла може бути застосований до будь-якої частини магазину, наприклад до окремого відділу або касових ліній. Власник магазину визначає, що протягом робочого часу приблизно 84 покупці на годину роблять покупку, і кожен із цих покупців проводить у черзі до каси в середньому 5 хвилин. Приблизно скільки покупців у будь-який час протягом робочого часу в середньому чекають у черзі на касі, щоб зробити покупку в Good Deals Store?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Оскільки в питанні сказано, що закон Літтла можна застосувати до будь-якої окремої частини магазину (наприклад, лише до касової черги), то середня кількість покупців, $N$, у касовій черзі в будь-який час дорівнює $N = rT $, де $r$ — це кількість покупців, які стоять до каси за хвилину, а $T$ — середня кількість хвилин, які кожен покупець проводить у касі.

Оскільки 84 покупці за годину роблять покупку, 84 покупці за годину стоять у черзі до каси. Однак це потрібно перетворити на кількість покупців за хвилину (щоб використовувати з $T = 5$). Оскільки в одній годині 60 хвилин, ставка ${84 покупців за годину}/{60 хвилин} = 1,4$ покупця за хвилину. Використовуючи подану формулу з $r = 1,4$ і $T = 5$, виходить

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

Таким чином, середня кількість покупців, $N$, у черзі на касі в будь-який час протягом робочого часу становить 7.

Остаточна відповідь 7.

Питання 9

Власник магазину Good Deals Store відкриває новий магазин по всьому місту. У новому магазині, за оцінками власника, у робочий час в середньому відвідують 90 покупців на коженгодиназайти в магазин, і кожен з них залишається в середньому 12 хвилин. Середня кількість покупців у новому магазині в будь-який час на який відсоток менша за середню кількість покупців у початковому магазині в будь-який час? (Примітка: не звертайте уваги на символ відсотка під час введення відповіді. Наприклад, якщо відповідь 42,1%, введіть 42,1)

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Відповідно до первинної наданої інформації, орієнтовна середня кількість покупців у початковому магазині в будь-який час (N) становить 45. У запитанні зазначено, що в новому магазині, за оцінками менеджера, в середньому 90 покупців на годину (60 хвилин) увійти в магазин, що еквівалентно 1,5 покупця за хвилину (r). Менеджер також підрахував, що кожен покупець залишається в магазині в середньому 12 хвилин (T). Таким чином, за законом Літтла, в середньому $N = rT = (1,5)(12) = 18$ покупців у новому магазині в будь-який час. Це

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

відсотків менше, ніж середня кількість покупців у початковому магазині в будь-який час.

Остаточна відповідь 60.

Питання 10

У $xy$-площині точка $(p,r)$ лежить на прямій з рівнянням $y=x+b$, де $b$ — константа. Точка з координатами $(2p, 5r)$ лежить на прямій з рівнянням $y=2x+b$. Якщо $p≠0$, яке значення $r/p$?

А) $2/5$

B) $3/4$

C) $4/3$

D) $5/2$

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Оскільки точка $(p,r)$ лежить на прямій з рівнянням $y=x+b$, то ця точка має задовольняти рівняння. Заміна $p$ на $x$ і $r$ на $y$ у рівнянні $y=x+b$ дає $r=p+b$, або $i b$ = $i r-i p $.

Так само, оскільки точка $(2p,5r)$ лежить на прямій з рівнянням $y=2x+b$, то ця точка має задовольняти рівняння. Якщо замінити $2p$ на $x$ і $5r$ на $y$ у рівнянні $y=2x+b$, то отримаємо:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Далі ми можемо порівняти два рівняння, що дорівнюють $b$, і спростити:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

Нарешті, щоб знайти $r/p$, нам потрібно розділити обидві частини рівняння на $p$ і на $4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

Правильна відповідь Б , $3/4$.

Якщо ви вибрали варіанти A і D, можливо, ви неправильно сформували свою відповідь із коефіцієнтів у точці $(2p, 5r)$. Якщо ви вибрали варіант C, можливо, ви переплутали $r$ і $p$.

Зверніть увагу, що хоча це в розділі калькулятора SAT, вам абсолютно не потрібен калькулятор, щоб розв’язати його!

Питання 11

Силос для зерна складається з двох правильних круглих конусів і правильного круглого циліндра з внутрішніми розмірами, представленими на малюнку вище. Що з наведеного нижче є найближчим до об’єму зернового силосу в кубічних футах?

А) 261,8
Б) 785,4
В) 916,3
Г) 1047,2

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Об’єм зернового силосу можна знайти, склавши об’єми всіх твердих речовин, з яких він складається (циліндра та двох конусів). Силос складається з циліндра (висотою 10 футів і радіусом основи 5 футів) і двох конусів (кожен має висоту 5 футів і радіус основи 5 футів). Формули, наведені на початку розділу SAT Math:

Об'єм конуса

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Об'єм циліндра

$$V=πr^2h$$

можна використовувати для визначення загального об’єму силосу. Оскільки два конуси мають однакові розміри, загальний об’єм силосу в кубічних футах визначається як

$$V_{сілос}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

що приблизно дорівнює 1047,2 кубічних футів.

Остаточна відповідь Д.

Питання 12

Якщо $x$ — це середнє (середнє арифметичне) $m$ і $9$, $y$ — це середнє значення з $2m$ і $15$, а $z$ — це середнє значення з $3m$ і $18$, то скільки середнє $x$, $y$ і $z$ через $m$?

А) $m+6$
Б) $m+7$
В) 2 мільйони доларів США + 14 доларів США
D) 3 мільйони доларів + 21 долар

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Оскільки середнє (середнє арифметичне) двох чисел дорівнює сумі двох чисел, поділеній на 2, рівняння $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$вірні. Середнє значення $x$, $y$ і $z$ визначається як ${x + y + z}/{3}$. Підстановка виразів у m для кожної змінної ($x$, $y$, $z$) дає

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Цей дріб можна спростити до $m + 7$.

Остаточна відповідь Б.

Питання 13

Функція $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ зображена на графіку $xy$-площини вище. Якщо $k$ є константою, так що рівняння $f(x)=k$ має три дійсні розв’язки, яке з наведеного нижче може бути значенням $k$?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Рівняння $f(x) = k$ дає розв’язки системи рівнянь

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

і

$$y = k$$

Реальний розв’язок системи двох рівнянь відповідає точці перетину графіків двох рівнянь у $xy$-площині.

Графік $y = k$ — це горизонтальна лінія, яка містить точку $(0, k)$ і тричі перетинає графік кубічного рівняння (оскільки воно має три дійсних розв’язки). На графіку єдина горизонтальна лінія, яка тричі перетинає кубічне рівняння, це лінія з рівнянням $y = −3$, або $f(x) = −3$. Отже, $k$ дорівнює $-3$.

Остаточна відповідь Д.

Питання 14

$$q={1/2}nv^2$$

Динамічний тиск $q$, створюваний рідиною, що рухається зі швидкістю $v$, можна знайти за допомогою наведеної вище формули, де $n$ — постійна густина рідини. Авіаційний інженер використовує формулу для визначення динамічного тиску рідини, що рухається зі швидкістю $v$, і тієї самої рідини, що рухається зі швидкістю 1,5$v$. Яке відношення динамічного тиску більш швидкої рідини до динамічного тиску повільнішої?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Щоб розв’язати цю задачу, потрібно скласти рівняння зі змінними. Нехай $q_1$ — динамічний тиск повільнішої рідини, що рухається зі швидкістю $v_1$, а $q_2$ — динамічний тиск більш швидкої рідини, що рухається зі швидкістю $v_2$. Потім

$$v_2 =1,5v_1$$

Враховуючи рівняння $q = {1}/{2}nv^2$, заміна динамічного тиску та швидкості швидшої рідини дає $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Оскільки $v_2 =1,5v_1$, вираз $1,5v_1$ можна замінити на $v_2$ у цьому рівнянні, отримуючи $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. Зводячи $1,5$ до квадрата, ви можете переписати попереднє рівняння як

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Отже, відношення динамічного тиску швидшої рідини дорівнює

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

Остаточна відповідь 2,25 або 9/4.

Питання 15

Для полінома $p(x)$ значення $p(3)$ дорівнює $-2$. Що з наведеного нижче має бути вірним щодо $p(x)$?

A) $x-5$ є множником $p(x)$.
B) $x-2$ є множником $p(x)$.
C) $x+2$ є множником $p(x)$.
D) Залишок від ділення $p(x)$ на $x-3$ дорівнює $-2$.

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Якщо поліном $p(x)$ поділити на поліном виду $x+k$ (що враховує всі можливі варіанти відповідей у ​​цьому питанні), результат можна записати як

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

де $q(x)$ — поліном, а $r$ — залишок. Оскільки $x + k$ є поліномом ступеня 1 (це означає, що він включає лише $x^1$ і не містить старших показників), залишок є дійсним числом.

Тому $p(x)$ можна переписати як $p(x) = (x + k)q(x) + r$, де $r$ — дійсне число.

У запитанні зазначено, що $p(3) = -2$, отже це має бути правдою

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Тепер ми можемо підключити всі можливі відповіді. Якщо відповідь A, B або C, $r$ буде $0$, а якщо відповідь D, $r$ буде $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Це може бути правдою, але тільки якщо $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Це може бути правдою, але тільки якщо $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

Це може бути правдою, але лише якщо $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Це буде завжди бути правдивим незалежно від того, що таке $q(3)$.

З варіантів відповіді єдиний, що повинен правдою щодо $p(x)$ є D, що залишок від ділення $p(x)$ на $x-3$ дорівнює -2.

Остаточна відповідь Д.

Ви заслуговуєте на сон після того, як відповіли на ці запитання.

Що спільного між найскладнішими математичними запитаннями SAT?

Важливо зрозуміти, що робить ці важкі запитання «важкими». Завдяки цьому ви зможете як зрозуміти, так і вирішити схожі запитання, коли побачите їх у день іспиту, а також матимете кращу стратегію для виявлення та виправлення попередніх математичних помилок SAT.

У цьому розділі ми розглянемо, що спільного у цих запитань, і наведемо приклади кожного типу. Деякі з причин, чому найскладніші математичні запитання є найскладнішими математичними запитаннями, полягає в тому, що вони:

№1: Перевірте кілька математичних концепцій одночасно

Тут ми повинні мати справу з уявними числами та дробами одночасно.

Секрет успіху: Подумайте, яку застосовну математику ви можете використати для вирішення проблеми, виконуйте крок за кроком і пробуйте кожен прийом, доки не знайдете той, який працює!

№2: Виконайте багато кроків

Пам’ятайте: чим більше кроків вам потрібно зробити, тим легше десь зіпсуватися!

Ми повинні вирішити цю задачу поетапно (виконуючи кілька середніх), щоб розблокувати решту відповідей за ефектом доміно. Це може заплутати вас, особливо якщо ви перебуваєте в стресі або бракує часу.

Секрет успіху: Дійте повільно, крок за кроком і ще раз перевірте свою роботу, щоб не зробити помилок!

№3: Тестові концепції, з якими ви обмежено знайомі

Наприклад, багато студентів менше знайомі з функціями, ніж з дробами та відсотками, тому більшість запитань про функції вважаються завданнями «високої складності».

Якщо ви не знаєте, як працювати з функціями, це буде складною проблемою.

Секрет успіху: Перегляньте математичні концепції, з якими ви не так добре знайомі, наприклад функції. Ми пропонуємо скористатися нашими чудовими безкоштовними посібниками з огляду SAT Math.

№4: сформульовані незвичайним або заплутаним способом

Буває важко точно зрозуміти, що таке деякі запитання питаючи , а тим більше з’ясувати, як їх вирішити. Це особливо вірно, коли запитання розташоване в кінці розділу, а у вас не вистачає часу.

Оскільки це запитання містить так багато інформації без діаграми, його може бути важко розгадати за обмежений час.

Секрет успіху: Не поспішайте, проаналізуйте те, що від вас просять, і намалюйте діаграму, якщо це вам допоможе.

№5: Використовуйте багато різних змінних

З такою кількістю різних змінних у грі досить легко заплутатися.

Секрет успіху: Не поспішайте, проаналізуйте те, що від вас просять, і подумайте, чи підключення чисел є хорошою стратегією для вирішення проблеми (це було б не для запитання вище, але було б для багатьох інших змінних запитань SAT).

Винос

SAT — це марафон, і чим краще ви будете до нього підготовлені, тим краще почуватиметеся в день іспиту. Знаючи, як відповідати на найскладніші запитання, які може поставити вам іспит, ви зробите справжнє тестування SAT набагато менш складним.

Якщо ви відчуваєте, що ці запитання були легкими, не варто недооцінювати вплив адреналіну та втоми на вашу здатність вирішувати проблеми. Продовжуючи навчання, завжди дотримуйтеся правильних вказівок щодо часу та намагайтеся складати повні тести, коли це можливо. Це найкращий спосіб відтворити фактичне середовище тестування, щоб ви могли підготуватися до справжньої угоди.

Якщо ви вважаєте ці запитання складними, не забудьте зміцнити свої знання з математики, ознайомившись з нашими індивідуальними посібниками з математики для SAT. Там ви побачите докладніші пояснення тем, про які йде мова, а також детальніші розбивки відповідей.

Що далі?

Відчували, що ці запитання складніші, ніж ви очікували? Подивіться на всі теми, розглянуті в математичному розділі SAT, а потім запам’ятайте, які розділи були для вас особливо складними. Далі перегляньте наші індивідуальні математичні посібники, які допоможуть вам підкріпити будь-яку з цих слабких сторін.

Не вистачає часу на розділ з математики SAT? Наш посібник допоможе вам впоратися з часом і підвищити ваші результати.

Прагнете отримати ідеальний результат? Перевірити наш посібник про те, як отримати ідеальні 800 на розділі математики SAT , написаний ідеальним бомбардиром.

Хочете перевірити себе на найскладніші запитання з математики SAT? Хочете знати, що робить ці питання такими складними і як найкраще їх вирішити? Якщо ви готові по-справжньому ввійти в розділ з математики SAT і націлитися на ідеальний результат, тоді це посібник для вас.

Ми зібрали те, що ми вважаємо 15 найскладніших питань для поточного ЗНО , зі стратегіями та поясненнями відповідей для кожного. Це всі складні запитання SAT Math із практичних тестів SAT College Board, що означає, що їх розуміння є одним із найкращих способів навчання для тих із вас, хто прагне досягти досконалості.

зображення: Соня Севілья /Вікімедіа

Короткий огляд SAT Math

Третій і четвертий розділи SAT завжди будуть розділами з математики . Перший математичний підрозділ (з позначкою «3») робить ні дозволяють використовувати калькулятор, а другий математичний підрозділ (позначений як «4») робить дозволяють використовувати калькулятор. Однак не надто турбуйтеся про розділ без калькулятора: якщо вам не дозволено використовувати калькулятор для відповіді на запитання, це означає, що вам не потрібен калькулятор, щоб відповісти на нього.

Кожен математичний підрозділ розташовано в порядку зростання складності (де чим довше потрібно розв’язати задачу і чим менше людей дадуть правильну відповідь, тим складніше). У кожному підрозділі питання 1 буде «легким», а питання 15 буде вважатися «складним». Однак у сітці складність зростає з легкої до складної.

Таким чином, запитання з декількома варіантами відповідей розташовуються відповідно до зростаючої складності (запитання 1 і 2 будуть найпростішими, запитання 14 і 15 будуть найважчими), але рівень складності скидається для розділу сітки (це означає, що запитання 16 і 17 знову будуть «легкий», а запитання 19 і 20 будуть дуже складними).

За дуже невеликими винятками, найскладніші математичні задачі SAT будуть згруповані в кінці сегментів з вибором відповідей або в другій половині запитань таблиці. Однак, окрім місця в тесті, ці запитання мають ще кілька спільних рис. За хвилину ми розглянемо приклади запитань і способи їх вирішення, а потім проаналізуємо їх, щоб зрозуміти, що спільного між цими типами запитань.

Але спочатку: чи варто зосереджуватися на найважчих математичних запитаннях прямо зараз?

Якщо ви тільки починаєте підготовку до навчання (або якщо ви просто пропустили цей перший, важливий крок), обов’язково зупиніться та пройдіть повний практичний тест, щоб оцінити ваш поточний рівень балів. Перегляньте наш путівник усі безкоштовні практичні тести SAT, доступні онлайн а потім сядьте, щоб скласти тест за один раз.

Абсолютно найкращий спосіб оцінити свій поточний рівень — це просто пройти практичний іспит SAT так, як ніби він справжній, чітко дотримуючись часу та працюючи лише з дозволеними перервами (ми знаємо — напевно, це не ваш улюблений спосіб провести суботу). Отримавши гарне уявлення про свій поточний рівень і процентиль рейтингу, ви можете встановити етапи та цілі для свого кінцевого результату SAT Math.

Якщо ви зараз отримуєте 200-400 або 400-600 балів на SAT Math, найкраще спершу ознайомитися з нашим посібником із покращення вашого результату з математики. постійно мати 600 або більше, перш ніж почати намагатися вирішувати найскладніші математичні задачі на тесті.

Проте, якщо ви вже набрали більше 600 балів у розділі з математики і хочете перевірити свою мужність для справжнього SAT, тоді обов’язково перейдіть до решти цього посібника. Якщо ви прагнете ідеального (або близького до) , тоді вам потрібно буде знати, як виглядають найскладніші завдання з математики SAT і як їх розв’язувати. І, на щастя, ми зробимо саме це.

УВАГА: Оскільки їх кількість обмежена офіційні практичні тести SAT , ви можете зачекати, щоб прочитати цю статтю, доки ви не спробуєте виконати всі або більшість із перших чотирьох офіційних практичних тестів (оскільки більшість питань, наведених нижче, були взяті з цих тестів). Якщо ви боїтеся зіпсувати ці тести, припиніть читати цей посібник зараз; поверніться та прочитайте їх, коли завершите їх.

А тепер перейдемо до нашого списку запитань (фу)!

зображення: Niytx /DeviantArt

15 найскладніших завдань з математики SAT

Тепер, коли ви впевнені, що вам варто спробувати відповісти на ці запитання, давайте зануримося прямо в них! Нижче ми підібрали для вас 15 найскладніших запитань з математики SAT, а також покрокові інструкції щодо того, як отримати відповідь (якщо ви збентежені).

Без калькулятора SAT Математичні запитання

питання 1

$$C=5/9(F-32)$$

Наведене вище рівняння показує, як температура $F$, виміряна в градусах Фаренгейта, пов’язана з температурою $C$, виміряною в градусах Цельсія. Виходячи з рівняння, що з наведеного нижче має бути істинним?

1. Підвищення температури на 1 градус за Фаренгейтом еквівалентно підвищенню температури на $5/9$ градусів Цельсія.
2. Підвищення температури на 1 градус за Цельсієм еквівалентно підвищенню температури на 1,8 градуса за Фаренгейтом.
3. Підвищення температури на $5/9$ градусів за Фаренгейтом еквівалентно підвищенню температури на 1 градус за Цельсієм.

А) Тільки я
Б) Тільки II
В) тільки III
Г) тільки I і II

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Думайте про рівняння як про рівняння прямої

$$y=mx+b$$

де в даному випадку

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

або

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Ви бачите, що нахил графіка становить ${5}/{9}$, що означає, що при збільшенні на 1 градус за Фаренгейтом збільшення становить ${5}/{9}$ на 1 градус за Цельсієм.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Отже, твердження I вірне. Це еквівалентно тому, що збільшення на 1 градус за Цельсієм дорівнює збільшенню на ${9}/{5}$ градусів за Фаренгейтом.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Оскільки ${9}/{5}$ = 1,8, твердження II вірне.

Єдиною відповіддю, у якій і твердження I, і твердження II є істинними, є Д , але якщо у вас є час і ви хочете бути абсолютно ретельними, ви також можете перевірити, чи вірне твердження III (підвищення ${5}/{9}$ градусів за Фаренгейтом дорівнює підвищенню температури на 1 градус за Цельсієм) :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (що є ≠ 1)$$

Збільшення на $5/9$ градусів за Фаренгейтом призводить до збільшення на ${25}/{81}$, а не на 1 градус за Цельсієм, тому твердження III невірне.

Остаточна відповідь Д.

Питання 2

Рівняння${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$вірно для всіх значень $x≠2/a$, де $a$ є константою.

Яке значення $a$?

А) -16
Б) -3
В) 3
Г) 16

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Є два шляхи вирішення цього питання. Найшвидший спосіб — помножити кожну частину даного рівняння на $ax-2$ (щоб ви могли позбутися дробу). Коли ви помножите кожну сторону на $ax-2$, ви отримаєте:

$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Потім ви повинні помножити $(-8x-3)$ і $(ax-2)$ за допомогою FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

Потім зменшіть праву частину рівняння

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Оскільки коефіцієнти $x^2$-члена мають бути рівними в обох частинах рівняння, $−8a = 24$, або $a = −3$.

Інший варіант, який є довшим і виснажливішим, полягає в тому, щоб спробувати підключити всі варіанти відповідей для a і побачити, який варіант відповіді робить обидві сторони рівняння рівними. Знову ж таки, це довший варіант, і я не рекомендую його для справжнього SAT, оскільки це витратить надто багато часу.

Остаточна відповідь Б.

Питання 3

Якщо $3x-y = 12$, яке значення ${8^x}/{2^y}$?

A) $2^{12}$
B) $4^4$
В) $8^2$
D) Значення неможливо визначити з наданої інформації.

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Один із підходів полягає в тому, щоб виразити

$${8^x}/{2^y}$$

щоб чисельник і знаменник були виражені з однаковою основою. Оскільки 2 і 8 є степенями 2, заміна $2^3$ на 8 у чисельнику ${8^x}/{2^y}$ дає

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

які можна переписати

$${2^3x}/{2^y}$$

Оскільки чисельник і знаменник мають спільну основу, цей вираз можна переписати як $2^(3x−y)$. У запитанні зазначено, що $3x − y = 12$, тому можна замінити 12 на показник степеня $3x − y$, що означає, що

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Остаточна відповідь А.

Питання 4

Точки A і B лежать на колі з радіусом 1, а дуга ${AB}↖⌢$ має довжину $π/3$. Яку частину довжини кола становить довжина дуги ${AB}↖⌢$?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Щоб знайти відповідь на це запитання, вам спочатку потрібно знати формулу для знаходження окружності кола.

Довжина кола $C$ дорівнює $C = 2πr$, де $r$ — радіус кола. Для даного кола з радіусом 1 довжина кола дорівнює $C = 2(π)(1)$, або $C = 2π$.

Щоб дізнатися, яку частку кола становить довжина ${AB}↖⌢$, розділіть довжину дуги на довжину кола, що дасть $π/3 ÷ 2π$. Цей розподіл можна представити як $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Дріб $1/6$ також можна переписати як $0,166$ або $0,167$.

Остаточна відповідь: $1/6$, $0,166$ або $0,167$.

Питання 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Якщо наведений вище вираз переписати у формі $a+bi$, де $a$ і $b$ — дійсні числа, яке значення буде $a$? (Примітка: $i=√{-1}$)

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Щоб переписати ${8-i}/{3-2i}$ у стандартній формі $a + bi$, потрібно помножити чисельник і знаменник ${8-i}/{3-2i}$ на сполучене , $3 + 2i$. Це дорівнює

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Оскільки $i^2=-1$, цей останній дріб можна спростити до

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

що ще більше спрощує до $2 + i$. Отже, коли ${8-i}/{3-2i}$ переписується у стандартній формі a + bi, значення a дорівнює 2.

Остаточна відповідь А.

Питання 6

У трикутнику $ABC$ міра $∠B$ дорівнює 90°, $BC=16$ і $AC$=20. Трикутник $DEF$ подібний до трикутника $ABC$, де вершини $D$, $E$ і $F$ відповідають вершинам $A$, $B$ і $C$ відповідно, а кожній стороні трикутника $ DEF$ дорівнює $1/3$ довжини відповідної сторони трикутника $ABC$. Яке значення $sinF$?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Трикутник ABC — прямокутний трикутник із прямим кутом у B. Отже, $ov {AC}$ — гіпотенуза прямокутного трикутника ABC, а $ov {AB}$ і $ov {BC}$ — катети трикутника ABC. прямокутний трикутник ABC. Згідно з теоремою Піфагора,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Оскільки трикутник DEF подібний до трикутника ABC, з вершиною F, що відповідає вершині C, міра $angle ∠ {F}$ дорівнює мірі $angle ∠ {C}$. Отже, $sin F = sin C$. Від довжин сторін трикутника ABC

$$sinF ={opposite side}/{гіпотенуза}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Отже, $sinF ={3}/{5}$.

Остаточна відповідь: ${3}/{5}$ або 0,6.

Запитання з математики SAT для калькулятора

Питання 7

У неповній таблиці вище наведено підсумкову кількість ліворуких учнів і праворуких учнів за статтю для учнів восьмого класу середньої школи Keisel. Студенток-правшів у 5 разів більше, ніж студенток-ліворуких, а студентів-правшів у 9 разів більше, ніж студентів-ліворуких. якщо в школі загалом 18 ліворуких учнів і 122 праворуких учні, що з наведеного найближче до ймовірності того, що навмання обрана правша – жінка? (Примітка: припустимо, що жоден з учнів восьмого класу не є одночасно правшою і лівшею).

А) 0,410
Б) 0,357
В) 0,333
Г) 0,250

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Щоб вирішити цю проблему, ви повинні створити два рівняння, використовуючи дві змінні ($x$ і $y$) і надану інформацію. Нехай $x$ — кількість ліворуких студенток, а $y$ — кількість ліворуких студентів. Використовуючи інформацію, подану в задачі, кількість праворуких студенток становитиме $5x$, а кількість праворуких студентів становитиме $9y$. Оскільки загальна кількість ліворуких студентів дорівнює 18, а загальна кількість праворуких студентів – 122, наведена нижче система рівнянь має бути вірною:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

Розв’язавши цю систему рівнянь, ви отримаєте $x = 10$ і $y = 8$. Таким чином, 5*10, або 50, зі 122 праворуких студентів - жінки. Таким чином, ймовірність того, що навмання вибраний студент-правша – жінка, становить ${50}/{122}$, що з точністю до тисячної дорівнює 0,410.

Остаточна відповідь А.

Запитання 8 і 9

Використовуйте наступну інформацію як для запитання 7, так і для запитання 8.

Якщо покупці заходять до магазину із середньою швидкістю $r$ покупців за хвилину і кожен залишається в магазині в середньому $T$ хвилин, середня кількість покупців у магазині, $N$, в будь-який момент часу за формулою $N=rT$. Ця залежність відома як закон Літтла.

Власник Good Deals Store підрахував, що в робочий час в магазин заходять в середньому 3 покупці за хвилину і кожен з них залишається в середньому 15 хвилин. Власник магазину використовує закон Літтла, щоб підрахувати, що в магазині в будь-який час знаходиться 45 покупців.

Питання 8

Закон Літтла може бути застосований до будь-якої частини магазину, наприклад до окремого відділу або касових ліній. Власник магазину визначає, що протягом робочого часу приблизно 84 покупці на годину роблять покупку, і кожен із цих покупців проводить у черзі до каси в середньому 5 хвилин. Приблизно скільки покупців у будь-який час протягом робочого часу в середньому чекають у черзі на касі, щоб зробити покупку в Good Deals Store?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Оскільки в питанні сказано, що закон Літтла можна застосувати до будь-якої окремої частини магазину (наприклад, лише до касової черги), то середня кількість покупців, $N$, у касовій черзі в будь-який час дорівнює $N = rT $, де $r$ — це кількість покупців, які стоять до каси за хвилину, а $T$ — середня кількість хвилин, які кожен покупець проводить у касі.

Оскільки 84 покупці за годину роблять покупку, 84 покупці за годину стоять у черзі до каси. Однак це потрібно перетворити на кількість покупців за хвилину (щоб використовувати з $T = 5$). Оскільки в одній годині 60 хвилин, ставка ${84 покупців за годину}/{60 хвилин} = 1,4$ покупця за хвилину. Використовуючи подану формулу з $r = 1,4$ і $T = 5$, виходить

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

Таким чином, середня кількість покупців, $N$, у черзі на касі в будь-який час протягом робочого часу становить 7.

Остаточна відповідь 7.

Питання 9

Власник магазину Good Deals Store відкриває новий магазин по всьому місту. У новому магазині, за оцінками власника, у робочий час в середньому відвідують 90 покупців на коженгодиназайти в магазин, і кожен з них залишається в середньому 12 хвилин. Середня кількість покупців у новому магазині в будь-який час на який відсоток менша за середню кількість покупців у початковому магазині в будь-який час? (Примітка: не звертайте уваги на символ відсотка під час введення відповіді. Наприклад, якщо відповідь 42,1%, введіть 42,1)

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Відповідно до первинної наданої інформації, орієнтовна середня кількість покупців у початковому магазині в будь-який час (N) становить 45. У запитанні зазначено, що в новому магазині, за оцінками менеджера, в середньому 90 покупців на годину (60 хвилин) увійти в магазин, що еквівалентно 1,5 покупця за хвилину (r). Менеджер також підрахував, що кожен покупець залишається в магазині в середньому 12 хвилин (T). Таким чином, за законом Літтла, в середньому $N = rT = (1,5)(12) = 18$ покупців у новому магазині в будь-який час. Це

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

відсотків менше, ніж середня кількість покупців у початковому магазині в будь-який час.

Остаточна відповідь 60.

Питання 10

У $xy$-площині точка $(p,r)$ лежить на прямій з рівнянням $y=x+b$, де $b$ — константа. Точка з координатами $(2p, 5r)$ лежить на прямій з рівнянням $y=2x+b$. Якщо $p≠0$, яке значення $r/p$?

А) $2/5$

B) $3/4$

C) $4/3$

D) $5/2$

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Оскільки точка $(p,r)$ лежить на прямій з рівнянням $y=x+b$, то ця точка має задовольняти рівняння. Заміна $p$ на $x$ і $r$ на $y$ у рівнянні $y=x+b$ дає $r=p+b$, або $i b$ = $i r-i p $.

Так само, оскільки точка $(2p,5r)$ лежить на прямій з рівнянням $y=2x+b$, то ця точка має задовольняти рівняння. Якщо замінити $2p$ на $x$ і $5r$ на $y$ у рівнянні $y=2x+b$, то отримаємо:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Далі ми можемо порівняти два рівняння, що дорівнюють $b$, і спростити:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

Нарешті, щоб знайти $r/p$, нам потрібно розділити обидві частини рівняння на $p$ і на $4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

Правильна відповідь Б , $3/4$.

Якщо ви вибрали варіанти A і D, можливо, ви неправильно сформували свою відповідь із коефіцієнтів у точці $(2p, 5r)$. Якщо ви вибрали варіант C, можливо, ви переплутали $r$ і $p$.

Зверніть увагу, що хоча це в розділі калькулятора SAT, вам абсолютно не потрібен калькулятор, щоб розв’язати його!

Питання 11

Силос для зерна складається з двох правильних круглих конусів і правильного круглого циліндра з внутрішніми розмірами, представленими на малюнку вище. Що з наведеного нижче є найближчим до об’єму зернового силосу в кубічних футах?

А) 261,8
Б) 785,4
В) 916,3
Г) 1047,2

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Об’єм зернового силосу можна знайти, склавши об’єми всіх твердих речовин, з яких він складається (циліндра та двох конусів). Силос складається з циліндра (висотою 10 футів і радіусом основи 5 футів) і двох конусів (кожен має висоту 5 футів і радіус основи 5 футів). Формули, наведені на початку розділу SAT Math:

Об'єм конуса

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Об'єм циліндра

$$V=πr^2h$$

можна використовувати для визначення загального об’єму силосу. Оскільки два конуси мають однакові розміри, загальний об’єм силосу в кубічних футах визначається як

$$V_{сілос}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

що приблизно дорівнює 1047,2 кубічних футів.

Остаточна відповідь Д.

Питання 12

Якщо $x$ — це середнє (середнє арифметичне) $m$ і $9$, $y$ — це середнє значення з $2m$ і $15$, а $z$ — це середнє значення з $3m$ і $18$, то скільки середнє $x$, $y$ і $z$ через $m$?

А) $m+6$
Б) $m+7$
В) 2 мільйони доларів США + 14 доларів США
D) 3 мільйони доларів + 21 долар

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Оскільки середнє (середнє арифметичне) двох чисел дорівнює сумі двох чисел, поділеній на 2, рівняння $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$вірні. Середнє значення $x$, $y$ і $z$ визначається як ${x + y + z}/{3}$. Підстановка виразів у m для кожної змінної ($x$, $y$, $z$) дає

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Цей дріб можна спростити до $m + 7$.

Остаточна відповідь Б.

Питання 13

Функція $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ зображена на графіку $xy$-площини вище. Якщо $k$ є константою, так що рівняння $f(x)=k$ має три дійсні розв’язки, яке з наведеного нижче може бути значенням $k$?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Рівняння $f(x) = k$ дає розв’язки системи рівнянь

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

і

$$y = k$$

Реальний розв’язок системи двох рівнянь відповідає точці перетину графіків двох рівнянь у $xy$-площині.

Графік $y = k$ — це горизонтальна лінія, яка містить точку $(0, k)$ і тричі перетинає графік кубічного рівняння (оскільки воно має три дійсних розв’язки). На графіку єдина горизонтальна лінія, яка тричі перетинає кубічне рівняння, це лінія з рівнянням $y = −3$, або $f(x) = −3$. Отже, $k$ дорівнює $-3$.

Остаточна відповідь Д.

Питання 14

$$q={1/2}nv^2$$

Динамічний тиск $q$, створюваний рідиною, що рухається зі швидкістю $v$, можна знайти за допомогою наведеної вище формули, де $n$ — постійна густина рідини. Авіаційний інженер використовує формулу для визначення динамічного тиску рідини, що рухається зі швидкістю $v$, і тієї самої рідини, що рухається зі швидкістю 1,5$v$. Яке відношення динамічного тиску більш швидкої рідини до динамічного тиску повільнішої?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Щоб розв’язати цю задачу, потрібно скласти рівняння зі змінними. Нехай $q_1$ — динамічний тиск повільнішої рідини, що рухається зі швидкістю $v_1$, а $q_2$ — динамічний тиск більш швидкої рідини, що рухається зі швидкістю $v_2$. Потім

$$v_2 =1,5v_1$$

Враховуючи рівняння $q = {1}/{2}nv^2$, заміна динамічного тиску та швидкості швидшої рідини дає $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Оскільки $v_2 =1,5v_1$, вираз $1,5v_1$ можна замінити на $v_2$ у цьому рівнянні, отримуючи $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. Зводячи $1,5$ до квадрата, ви можете переписати попереднє рівняння як

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Отже, відношення динамічного тиску швидшої рідини дорівнює

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

Остаточна відповідь 2,25 або 9/4.

Питання 15

Для полінома $p(x)$ значення $p(3)$ дорівнює $-2$. Що з наведеного нижче має бути вірним щодо $p(x)$?

A) $x-5$ є множником $p(x)$.
B) $x-2$ є множником $p(x)$.
C) $x+2$ є множником $p(x)$.
D) Залишок від ділення $p(x)$ на $x-3$ дорівнює $-2$.

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Якщо поліном $p(x)$ поділити на поліном виду $x+k$ (що враховує всі можливі варіанти відповідей у ​​цьому питанні), результат можна записати як

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

де $q(x)$ — поліном, а $r$ — залишок. Оскільки $x + k$ є поліномом ступеня 1 (це означає, що він включає лише $x^1$ і не містить старших показників), залишок є дійсним числом.

Тому $p(x)$ можна переписати як $p(x) = (x + k)q(x) + r$, де $r$ — дійсне число.

У запитанні зазначено, що $p(3) = -2$, отже це має бути правдою

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Тепер ми можемо підключити всі можливі відповіді. Якщо відповідь A, B або C, $r$ буде $0$, а якщо відповідь D, $r$ буде $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Це може бути правдою, але тільки якщо $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Це може бути правдою, але тільки якщо $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

Це може бути правдою, але лише якщо $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Це буде завжди бути правдивим незалежно від того, що таке $q(3)$.

З варіантів відповіді єдиний, що повинен правдою щодо $p(x)$ є D, що залишок від ділення $p(x)$ на $x-3$ дорівнює -2.

Остаточна відповідь Д.

Ви заслуговуєте на сон після того, як відповіли на ці запитання.

Що спільного між найскладнішими математичними запитаннями SAT?

Важливо зрозуміти, що робить ці важкі запитання «важкими». Завдяки цьому ви зможете як зрозуміти, так і вирішити схожі запитання, коли побачите їх у день іспиту, а також матимете кращу стратегію для виявлення та виправлення попередніх математичних помилок SAT.

У цьому розділі ми розглянемо, що спільного у цих запитань, і наведемо приклади кожного типу. Деякі з причин, чому найскладніші математичні запитання є найскладнішими математичними запитаннями, полягає в тому, що вони:

№1: Перевірте кілька математичних концепцій одночасно

Тут ми повинні мати справу з уявними числами та дробами одночасно.

Секрет успіху: Подумайте, яку застосовну математику ви можете використати для вирішення проблеми, виконуйте крок за кроком і пробуйте кожен прийом, доки не знайдете той, який працює!

№2: Виконайте багато кроків

Пам’ятайте: чим більше кроків вам потрібно зробити, тим легше десь зіпсуватися!

Ми повинні вирішити цю задачу поетапно (виконуючи кілька середніх), щоб розблокувати решту відповідей за ефектом доміно. Це може заплутати вас, особливо якщо ви перебуваєте в стресі або бракує часу.

Секрет успіху: Дійте повільно, крок за кроком і ще раз перевірте свою роботу, щоб не зробити помилок!

№3: Тестові концепції, з якими ви обмежено знайомі

Наприклад, багато студентів менше знайомі з функціями, ніж з дробами та відсотками, тому більшість запитань про функції вважаються завданнями «високої складності».

Якщо ви не знаєте, як працювати з функціями, це буде складною проблемою.

Секрет успіху: Перегляньте математичні концепції, з якими ви не так добре знайомі, наприклад функції. Ми пропонуємо скористатися нашими чудовими безкоштовними посібниками з огляду SAT Math.

№4: сформульовані незвичайним або заплутаним способом

Буває важко точно зрозуміти, що таке деякі запитання питаючи , а тим більше з’ясувати, як їх вирішити. Це особливо вірно, коли запитання розташоване в кінці розділу, а у вас не вистачає часу.

Оскільки це запитання містить так багато інформації без діаграми, його може бути важко розгадати за обмежений час.

Секрет успіху: Не поспішайте, проаналізуйте те, що від вас просять, і намалюйте діаграму, якщо це вам допоможе.

№5: Використовуйте багато різних змінних

З такою кількістю різних змінних у грі досить легко заплутатися.

Секрет успіху: Не поспішайте, проаналізуйте те, що від вас просять, і подумайте, чи підключення чисел є хорошою стратегією для вирішення проблеми (це було б не для запитання вище, але було б для багатьох інших змінних запитань SAT).

Винос

SAT — це марафон, і чим краще ви будете до нього підготовлені, тим краще почуватиметеся в день іспиту. Знаючи, як відповідати на найскладніші запитання, які може поставити вам іспит, ви зробите справжнє тестування SAT набагато менш складним.

Якщо ви відчуваєте, що ці запитання були легкими, не варто недооцінювати вплив адреналіну та втоми на вашу здатність вирішувати проблеми. Продовжуючи навчання, завжди дотримуйтеся правильних вказівок щодо часу та намагайтеся складати повні тести, коли це можливо. Це найкращий спосіб відтворити фактичне середовище тестування, щоб ви могли підготуватися до справжньої угоди.

Якщо ви вважаєте ці запитання складними, не забудьте зміцнити свої знання з математики, ознайомившись з нашими індивідуальними посібниками з математики для SAT. Там ви побачите докладніші пояснення тем, про які йде мова, а також детальніші розбивки відповідей.

Що далі?

Відчували, що ці запитання складніші, ніж ви очікували? Подивіться на всі теми, розглянуті в математичному розділі SAT, а потім запам’ятайте, які розділи були для вас особливо складними. Далі перегляньте наші індивідуальні математичні посібники, які допоможуть вам підкріпити будь-яку з цих слабких сторін.

Не вистачає часу на розділ з математики SAT? Наш посібник допоможе вам впоратися з часом і підвищити ваші результати.

Прагнете отримати ідеальний результат? Перевірити наш посібник про те, як отримати ідеальні 800 на розділі математики SAT , написаний ідеальним бомбардиром.

10 із 100

Питання 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Якщо наведений вище вираз переписати у формі $a+bi$, де $a$ і $b$ — дійсні числа, яке значення буде $a$? (Примітка: $i=√{-1}$)

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Щоб переписати ${8-i}/{3-2i}$ у стандартній формі $a + bi$, потрібно помножити чисельник і знаменник ${8-i}/{3-2i}$ на сполучене , + 2i$. Це дорівнює

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Оскільки $i^2=-1$, цей останній дріб можна спростити до

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

що ще більше спрощує до + i$. Отже, коли ${8-i}/{3-2i}$ переписується у стандартній формі a + bi, значення a дорівнює 2.

Остаточна відповідь А.

Питання 6

У трикутнику $ABC$ міра $∠B$ дорівнює 90°, $BC=16$ і $AC$=20. Трикутник $DEF$ подібний до трикутника $ABC$, де вершини $D$, $E$ і $F$ відповідають вершинам $A$, $B$ і $C$ відповідно, а кожній стороні трикутника $ DEF$ дорівнює /3$ довжини відповідної сторони трикутника $ABC$. Яке значення $sinF$?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Трикутник ABC — прямокутний трикутник із прямим кутом у B. Отже, $ov {AC}$ — гіпотенуза прямокутного трикутника ABC, а $ov {AB}$ і $ov {BC}$ — катети трикутника ABC. прямокутний трикутник ABC. Згідно з теоремою Піфагора,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Оскільки трикутник DEF подібний до трикутника ABC, з вершиною F, що відповідає вершині C, міра $angle ∠ {F}$ дорівнює мірі $angle ∠ {C}$. Отже, $sin F = sin C$. Від довжин сторін трикутника ABC

$$sinF ={opposite side}/{гіпотенуза}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Отже, $sinF ={3}/{5}$.

Остаточна відповідь: /{5}$ або 0,6.

Запитання з математики SAT для калькулятора

Питання 7

У неповній таблиці вище наведено підсумкову кількість ліворуких учнів і праворуких учнів за статтю для учнів восьмого класу середньої школи Keisel. Студенток-правшів у 5 разів більше, ніж студенток-ліворуких, а студентів-правшів у 9 разів більше, ніж студентів-ліворуких. якщо в школі загалом 18 ліворуких учнів і 122 праворуких учні, що з наведеного найближче до ймовірності того, що навмання обрана правша – жінка? (Примітка: припустимо, що жоден з учнів восьмого класу не є одночасно правшою і лівшею).

А) 0,410
Б) 0,357
В) 0,333
Г) 0,250

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Щоб вирішити цю проблему, ви повинні створити два рівняння, використовуючи дві змінні ($x$ і $y$) і надану інформацію. Нехай $x$ — кількість ліворуких студенток, а $y$ — кількість ліворуких студентів. Використовуючи інформацію, подану в задачі, кількість праворуких студенток становитиме x$, а кількість праворуких студентів становитиме y$. Оскільки загальна кількість ліворуких студентів дорівнює 18, а загальна кількість праворуких студентів – 122, наведена нижче система рівнянь має бути вірною:

$$x + y = 18$$

$x + 9y = 122$$

Розв’язавши цю систему рівнянь, ви отримаєте $x = 10$ і $y = 8$. Таким чином, 5*10, або 50, зі 122 праворуких студентів - жінки. Таким чином, ймовірність того, що навмання вибраний студент-правша – жінка, становить /{122}$, що з точністю до тисячної дорівнює 0,410.

Запитання 8 і 9

Використовуйте наступну інформацію як для запитання 7, так і для запитання 8.

Якщо покупці заходять до магазину із середньою швидкістю $r$ покупців за хвилину і кожен залишається в магазині в середньому $T$ хвилин, середня кількість покупців у магазині, $N$, в будь-який момент часу за формулою $N=rT$. Ця залежність відома як закон Літтла.

Власник Good Deals Store підрахував, що в робочий час в магазин заходять в середньому 3 покупці за хвилину і кожен з них залишається в середньому 15 хвилин. Власник магазину використовує закон Літтла, щоб підрахувати, що в магазині в будь-який час знаходиться 45 покупців.

Питання 8

Закон Літтла може бути застосований до будь-якої частини магазину, наприклад до окремого відділу або касових ліній. Власник магазину визначає, що протягом робочого часу приблизно 84 покупці на годину роблять покупку, і кожен із цих покупців проводить у черзі до каси в середньому 5 хвилин. Приблизно скільки покупців у будь-який час протягом робочого часу в середньому чекають у черзі на касі, щоб зробити покупку в Good Deals Store?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Оскільки в питанні сказано, що закон Літтла можна застосувати до будь-якої окремої частини магазину (наприклад, лише до касової черги), то середня кількість покупців, $N$, у касовій черзі в будь-який час дорівнює $N = rT $, де $r$ — це кількість покупців, які стоять до каси за хвилину, а $T$ — середня кількість хвилин, які кожен покупець проводить у касі.

Оскільки 84 покупці за годину роблять покупку, 84 покупці за годину стоять у черзі до каси. Однак це потрібно перетворити на кількість покупців за хвилину (щоб використовувати з $T = 5$). Оскільки в одній годині 60 хвилин, ставка ${84 покупців за годину}/{60 хвилин} = 1,4$ покупця за хвилину. Використовуючи подану формулу з $r = 1,4$ і $T = 5$, виходить

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

Таким чином, середня кількість покупців, $N$, у черзі на касі в будь-який час протягом робочого часу становить 7.

Остаточна відповідь 7.

Питання 9

Власник магазину Good Deals Store відкриває новий магазин по всьому місту. У новому магазині, за оцінками власника, у робочий час в середньому відвідують 90 покупців на коженгодиназайти в магазин, і кожен з них залишається в середньому 12 хвилин. Середня кількість покупців у новому магазині в будь-який час на який відсоток менша за середню кількість покупців у початковому магазині в будь-який час? (Примітка: не звертайте уваги на символ відсотка під час введення відповіді. Наприклад, якщо відповідь 42,1%, введіть 42,1)

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Відповідно до первинної наданої інформації, орієнтовна середня кількість покупців у початковому магазині в будь-який час (N) становить 45. У запитанні зазначено, що в новому магазині, за оцінками менеджера, в середньому 90 покупців на годину (60 хвилин) увійти в магазин, що еквівалентно 1,5 покупця за хвилину (r). Менеджер також підрахував, що кожен покупець залишається в магазині в середньому 12 хвилин (T). Таким чином, за законом Літтла, в середньому $N = rT = (1,5)(12) = 18$ покупців у новому магазині в будь-який час. Це

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

відсотків менше, ніж середня кількість покупців у початковому магазині в будь-який час.

Остаточна відповідь 60.

Питання 10

У $xy$-площині точка $(p,r)$ лежить на прямій з рівнянням $y=x+b$, де $b$ — константа. Точка з координатами $(2p, 5r)$ лежить на прямій з рівнянням $y=2x+b$. Якщо $p≠0$, яке значення $r/p$?

А) /5$

B) /4$

C) /3$

D) /2$

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Оскільки точка $(p,r)$ лежить на прямій з рівнянням $y=x+b$, то ця точка має задовольняти рівняння. Заміна $p$ на $x$ і $r$ на $y$ у рівнянні $y=x+b$ дає $r=p+b$, або $i b$ = $i r-i p $.

Так само, оскільки точка $(2p,5r)$ лежить на прямій з рівнянням $y=2x+b$, то ця точка має задовольняти рівняння. Якщо замінити p$ на $x$ і r$ на $y$ у рівнянні $y=2x+b$, то отримаємо:

r=2(2p)+b$

r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Далі ми можемо порівняти два рівняння, що дорівнюють $b$, і спростити:

$b=r-p=5r-4p$

p=4r$

Нарешті, щоб знайти $r/p$, нам потрібно розділити обидві частини рівняння на $p$ і на $:

p=4r$

={4r}/p$

/4=r/p$

Правильна відповідь Б , /4$.

Якщо ви вибрали варіанти A і D, можливо, ви неправильно сформували свою відповідь із коефіцієнтів у точці $(2p, 5r)$. Якщо ви вибрали варіант C, можливо, ви переплутали $r$ і $p$.

Зверніть увагу, що хоча це в розділі калькулятора SAT, вам абсолютно не потрібен калькулятор, щоб розв’язати його!

Питання 11

Силос для зерна складається з двох правильних круглих конусів і правильного круглого циліндра з внутрішніми розмірами, представленими на малюнку вище. Що з наведеного нижче є найближчим до об’єму зернового силосу в кубічних футах?

А) 261,8
Б) 785,4
В) 916,3
Г) 1047,2

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Об’єм зернового силосу можна знайти, склавши об’єми всіх твердих речовин, з яких він складається (циліндра та двох конусів). Силос складається з циліндра (висотою 10 футів і радіусом основи 5 футів) і двох конусів (кожен має висоту 5 футів і радіус основи 5 футів). Формули, наведені на початку розділу SAT Math:

Об'єм конуса

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Об'єм циліндра

$$V=πr^2h$$

можна використовувати для визначення загального об’єму силосу. Оскільки два конуси мають однакові розміри, загальний об’єм силосу в кубічних футах визначається як

$$V_{сілос}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

що приблизно дорівнює 1047,2 кубічних футів.

Остаточна відповідь Д.

Питання 12

Якщо $x$ — це середнє (середнє арифметичне) $m$ і $, $y$ — це середнє значення з m$ і $, а $z$ — це середнє значення з m$ і $, то скільки середнє $x$, $y$ і $z$ через $m$?

А) $m+6$
Б) $m+7$
В) 2 мільйони доларів США + 14 доларів США
D) 3 мільйони доларів + 21 долар

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Оскільки середнє (середнє арифметичне) двох чисел дорівнює сумі двох чисел, поділеній на 2, рівняння $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$вірні. Середнє значення $x$, $y$ і $z$ визначається як ${x + y + z}/{3}$. Підстановка виразів у m для кожної змінної ($x$, $y$, $z$) дає

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Цей дріб можна спростити до $m + 7$.

Остаточна відповідь Б.

Питання 13

Функція $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ зображена на графіку $xy$-площини вище. Якщо $k$ є константою, так що рівняння $f(x)=k$ має три дійсні розв’язки, яке з наведеного нижче може бути значенням $k$?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Рівняння $f(x) = k$ дає розв’язки системи рівнянь

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

і

$$y = k$$

Реальний розв’язок системи двох рівнянь відповідає точці перетину графіків двох рівнянь у $xy$-площині.

Графік $y = k$ — це горизонтальна лінія, яка містить точку $(0, k)$ і тричі перетинає графік кубічного рівняння (оскільки воно має три дійсних розв’язки). На графіку єдина горизонтальна лінія, яка тричі перетинає кубічне рівняння, це лінія з рівнянням $y = −3$, або $f(x) = −3$. Отже, $k$ дорівнює $-3$.

Остаточна відповідь Д.

Питання 14

$$q={1/2}nv^2$$

Динамічний тиск $q$, створюваний рідиною, що рухається зі швидкістю $v$, можна знайти за допомогою наведеної вище формули, де $n$ — постійна густина рідини. Авіаційний інженер використовує формулу для визначення динамічного тиску рідини, що рухається зі швидкістю $v$, і тієї самої рідини, що рухається зі швидкістю 1,5$v$. Яке відношення динамічного тиску більш швидкої рідини до динамічного тиску повільнішої?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Щоб розв’язати цю задачу, потрібно скласти рівняння зі змінними. Нехай $q_1$ — динамічний тиск повільнішої рідини, що рухається зі швидкістю $v_1$, а $q_2$ — динамічний тиск більш швидкої рідини, що рухається зі швидкістю $v_2$. Потім

$$v_2 =1,5v_1$$

Враховуючи рівняння $q = {1}/{2}nv^2$, заміна динамічного тиску та швидкості швидшої рідини дає $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Оскільки $v_2 =1,5v_1$, вираз ,5v_1$ можна замінити на $v_2$ у цьому рівнянні, отримуючи $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. Зводячи ,5$ до квадрата, ви можете переписати попереднє рівняння як

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Отже, відношення динамічного тиску швидшої рідини дорівнює

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

Остаточна відповідь 2,25 або 9/4.

Питання 15

Для полінома $p(x)$ значення $p(3)$ дорівнює $-2$. Що з наведеного нижче має бути вірним щодо $p(x)$?

A) $x-5$ є множником $p(x)$.
B) $x-2$ є множником $p(x)$.
C) $x+2$ є множником $p(x)$.
D) Залишок від ділення $p(x)$ на $x-3$ дорівнює $-2$.

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Якщо поліном $p(x)$ поділити на поліном виду $x+k$ (що враховує всі можливі варіанти відповідей у ​​цьому питанні), результат можна записати як

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

де $q(x)$ — поліном, а $r$ — залишок. Оскільки $x + k$ є поліномом ступеня 1 (це означає, що він включає лише $x^1$ і не містить старших показників), залишок є дійсним числом.

Тому $p(x)$ можна переписати як $p(x) = (x + k)q(x) + r$, де $r$ — дійсне число.

У запитанні зазначено, що $p(3) = -2$, отже це має бути правдою

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Тепер ми можемо підключити всі можливі відповіді. Якщо відповідь A, B або C, $r$ буде

Хочете перевірити себе на найскладніші запитання з математики SAT? Хочете знати, що робить ці питання такими складними і як найкраще їх вирішити? Якщо ви готові по-справжньому ввійти в розділ з математики SAT і націлитися на ідеальний результат, тоді це посібник для вас.

Ми зібрали те, що ми вважаємо 15 найскладніших питань для поточного ЗНО , зі стратегіями та поясненнями відповідей для кожного. Це всі складні запитання SAT Math із практичних тестів SAT College Board, що означає, що їх розуміння є одним із найкращих способів навчання для тих із вас, хто прагне досягти досконалості.

зображення: Соня Севілья /Вікімедіа

Короткий огляд SAT Math

Третій і четвертий розділи SAT завжди будуть розділами з математики . Перший математичний підрозділ (з позначкою «3») робить ні дозволяють використовувати калькулятор, а другий математичний підрозділ (позначений як «4») робить дозволяють використовувати калькулятор. Однак не надто турбуйтеся про розділ без калькулятора: якщо вам не дозволено використовувати калькулятор для відповіді на запитання, це означає, що вам не потрібен калькулятор, щоб відповісти на нього.

Кожен математичний підрозділ розташовано в порядку зростання складності (де чим довше потрібно розв’язати задачу і чим менше людей дадуть правильну відповідь, тим складніше). У кожному підрозділі питання 1 буде «легким», а питання 15 буде вважатися «складним». Однак у сітці складність зростає з легкої до складної.

Таким чином, запитання з декількома варіантами відповідей розташовуються відповідно до зростаючої складності (запитання 1 і 2 будуть найпростішими, запитання 14 і 15 будуть найважчими), але рівень складності скидається для розділу сітки (це означає, що запитання 16 і 17 знову будуть «легкий», а запитання 19 і 20 будуть дуже складними).

За дуже невеликими винятками, найскладніші математичні задачі SAT будуть згруповані в кінці сегментів з вибором відповідей або в другій половині запитань таблиці. Однак, окрім місця в тесті, ці запитання мають ще кілька спільних рис. За хвилину ми розглянемо приклади запитань і способи їх вирішення, а потім проаналізуємо їх, щоб зрозуміти, що спільного між цими типами запитань.

Але спочатку: чи варто зосереджуватися на найважчих математичних запитаннях прямо зараз?

Якщо ви тільки починаєте підготовку до навчання (або якщо ви просто пропустили цей перший, важливий крок), обов’язково зупиніться та пройдіть повний практичний тест, щоб оцінити ваш поточний рівень балів. Перегляньте наш путівник усі безкоштовні практичні тести SAT, доступні онлайн а потім сядьте, щоб скласти тест за один раз.

Абсолютно найкращий спосіб оцінити свій поточний рівень — це просто пройти практичний іспит SAT так, як ніби він справжній, чітко дотримуючись часу та працюючи лише з дозволеними перервами (ми знаємо — напевно, це не ваш улюблений спосіб провести суботу). Отримавши гарне уявлення про свій поточний рівень і процентиль рейтингу, ви можете встановити етапи та цілі для свого кінцевого результату SAT Math.

Якщо ви зараз отримуєте 200-400 або 400-600 балів на SAT Math, найкраще спершу ознайомитися з нашим посібником із покращення вашого результату з математики. постійно мати 600 або більше, перш ніж почати намагатися вирішувати найскладніші математичні задачі на тесті.

Проте, якщо ви вже набрали більше 600 балів у розділі з математики і хочете перевірити свою мужність для справжнього SAT, тоді обов’язково перейдіть до решти цього посібника. Якщо ви прагнете ідеального (або близького до) , тоді вам потрібно буде знати, як виглядають найскладніші завдання з математики SAT і як їх розв’язувати. І, на щастя, ми зробимо саме це.

УВАГА: Оскільки їх кількість обмежена офіційні практичні тести SAT , ви можете зачекати, щоб прочитати цю статтю, доки ви не спробуєте виконати всі або більшість із перших чотирьох офіційних практичних тестів (оскільки більшість питань, наведених нижче, були взяті з цих тестів). Якщо ви боїтеся зіпсувати ці тести, припиніть читати цей посібник зараз; поверніться та прочитайте їх, коли завершите їх.

А тепер перейдемо до нашого списку запитань (фу)!

зображення: Niytx /DeviantArt

15 найскладніших завдань з математики SAT

Тепер, коли ви впевнені, що вам варто спробувати відповісти на ці запитання, давайте зануримося прямо в них! Нижче ми підібрали для вас 15 найскладніших запитань з математики SAT, а також покрокові інструкції щодо того, як отримати відповідь (якщо ви збентежені).

Без калькулятора SAT Математичні запитання

питання 1

$$C=5/9(F-32)$$

Наведене вище рівняння показує, як температура $F$, виміряна в градусах Фаренгейта, пов’язана з температурою $C$, виміряною в градусах Цельсія. Виходячи з рівняння, що з наведеного нижче має бути істинним?

1. Підвищення температури на 1 градус за Фаренгейтом еквівалентно підвищенню температури на $5/9$ градусів Цельсія.
2. Підвищення температури на 1 градус за Цельсієм еквівалентно підвищенню температури на 1,8 градуса за Фаренгейтом.
3. Підвищення температури на $5/9$ градусів за Фаренгейтом еквівалентно підвищенню температури на 1 градус за Цельсієм.

А) Тільки я
Б) Тільки II
В) тільки III
Г) тільки I і II

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Думайте про рівняння як про рівняння прямої

$$y=mx+b$$

де в даному випадку

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

або

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Ви бачите, що нахил графіка становить ${5}/{9}$, що означає, що при збільшенні на 1 градус за Фаренгейтом збільшення становить ${5}/{9}$ на 1 градус за Цельсієм.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Отже, твердження I вірне. Це еквівалентно тому, що збільшення на 1 градус за Цельсієм дорівнює збільшенню на ${9}/{5}$ градусів за Фаренгейтом.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Оскільки ${9}/{5}$ = 1,8, твердження II вірне.

Єдиною відповіддю, у якій і твердження I, і твердження II є істинними, є Д , але якщо у вас є час і ви хочете бути абсолютно ретельними, ви також можете перевірити, чи вірне твердження III (підвищення ${5}/{9}$ градусів за Фаренгейтом дорівнює підвищенню температури на 1 градус за Цельсієм) :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (що є ≠ 1)$$

Збільшення на $5/9$ градусів за Фаренгейтом призводить до збільшення на ${25}/{81}$, а не на 1 градус за Цельсієм, тому твердження III невірне.

Остаточна відповідь Д.

Питання 2

Рівняння${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$вірно для всіх значень $x≠2/a$, де $a$ є константою.

Яке значення $a$?

А) -16
Б) -3
В) 3
Г) 16

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Є два шляхи вирішення цього питання. Найшвидший спосіб — помножити кожну частину даного рівняння на $ax-2$ (щоб ви могли позбутися дробу). Коли ви помножите кожну сторону на $ax-2$, ви отримаєте:

$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Потім ви повинні помножити $(-8x-3)$ і $(ax-2)$ за допомогою FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

Потім зменшіть праву частину рівняння

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Оскільки коефіцієнти $x^2$-члена мають бути рівними в обох частинах рівняння, $−8a = 24$, або $a = −3$.

Інший варіант, який є довшим і виснажливішим, полягає в тому, щоб спробувати підключити всі варіанти відповідей для a і побачити, який варіант відповіді робить обидві сторони рівняння рівними. Знову ж таки, це довший варіант, і я не рекомендую його для справжнього SAT, оскільки це витратить надто багато часу.

Остаточна відповідь Б.

Питання 3

Якщо $3x-y = 12$, яке значення ${8^x}/{2^y}$?

A) $2^{12}$
B) $4^4$
В) $8^2$
D) Значення неможливо визначити з наданої інформації.

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Один із підходів полягає в тому, щоб виразити

$${8^x}/{2^y}$$

щоб чисельник і знаменник були виражені з однаковою основою. Оскільки 2 і 8 є степенями 2, заміна $2^3$ на 8 у чисельнику ${8^x}/{2^y}$ дає

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

які можна переписати

$${2^3x}/{2^y}$$

Оскільки чисельник і знаменник мають спільну основу, цей вираз можна переписати як $2^(3x−y)$. У запитанні зазначено, що $3x − y = 12$, тому можна замінити 12 на показник степеня $3x − y$, що означає, що

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Остаточна відповідь А.

Питання 4

Точки A і B лежать на колі з радіусом 1, а дуга ${AB}↖⌢$ має довжину $π/3$. Яку частину довжини кола становить довжина дуги ${AB}↖⌢$?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Щоб знайти відповідь на це запитання, вам спочатку потрібно знати формулу для знаходження окружності кола.

Довжина кола $C$ дорівнює $C = 2πr$, де $r$ — радіус кола. Для даного кола з радіусом 1 довжина кола дорівнює $C = 2(π)(1)$, або $C = 2π$.

Щоб дізнатися, яку частку кола становить довжина ${AB}↖⌢$, розділіть довжину дуги на довжину кола, що дасть $π/3 ÷ 2π$. Цей розподіл можна представити як $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Дріб $1/6$ також можна переписати як $0,166$ або $0,167$.

Остаточна відповідь: $1/6$, $0,166$ або $0,167$.

Питання 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Якщо наведений вище вираз переписати у формі $a+bi$, де $a$ і $b$ — дійсні числа, яке значення буде $a$? (Примітка: $i=√{-1}$)

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Щоб переписати ${8-i}/{3-2i}$ у стандартній формі $a + bi$, потрібно помножити чисельник і знаменник ${8-i}/{3-2i}$ на сполучене , $3 + 2i$. Це дорівнює

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Оскільки $i^2=-1$, цей останній дріб можна спростити до

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

що ще більше спрощує до $2 + i$. Отже, коли ${8-i}/{3-2i}$ переписується у стандартній формі a + bi, значення a дорівнює 2.

Остаточна відповідь А.

Питання 6

У трикутнику $ABC$ міра $∠B$ дорівнює 90°, $BC=16$ і $AC$=20. Трикутник $DEF$ подібний до трикутника $ABC$, де вершини $D$, $E$ і $F$ відповідають вершинам $A$, $B$ і $C$ відповідно, а кожній стороні трикутника $ DEF$ дорівнює $1/3$ довжини відповідної сторони трикутника $ABC$. Яке значення $sinF$?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Трикутник ABC — прямокутний трикутник із прямим кутом у B. Отже, $ov {AC}$ — гіпотенуза прямокутного трикутника ABC, а $ov {AB}$ і $ov {BC}$ — катети трикутника ABC. прямокутний трикутник ABC. Згідно з теоремою Піфагора,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Оскільки трикутник DEF подібний до трикутника ABC, з вершиною F, що відповідає вершині C, міра $angle ∠ {F}$ дорівнює мірі $angle ∠ {C}$. Отже, $sin F = sin C$. Від довжин сторін трикутника ABC

$$sinF ={opposite side}/{гіпотенуза}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Отже, $sinF ={3}/{5}$.

Остаточна відповідь: ${3}/{5}$ або 0,6.

Запитання з математики SAT для калькулятора

Питання 7

У неповній таблиці вище наведено підсумкову кількість ліворуких учнів і праворуких учнів за статтю для учнів восьмого класу середньої школи Keisel. Студенток-правшів у 5 разів більше, ніж студенток-ліворуких, а студентів-правшів у 9 разів більше, ніж студентів-ліворуких. якщо в школі загалом 18 ліворуких учнів і 122 праворуких учні, що з наведеного найближче до ймовірності того, що навмання обрана правша – жінка? (Примітка: припустимо, що жоден з учнів восьмого класу не є одночасно правшою і лівшею).

А) 0,410
Б) 0,357
В) 0,333
Г) 0,250

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Щоб вирішити цю проблему, ви повинні створити два рівняння, використовуючи дві змінні ($x$ і $y$) і надану інформацію. Нехай $x$ — кількість ліворуких студенток, а $y$ — кількість ліворуких студентів. Використовуючи інформацію, подану в задачі, кількість праворуких студенток становитиме $5x$, а кількість праворуких студентів становитиме $9y$. Оскільки загальна кількість ліворуких студентів дорівнює 18, а загальна кількість праворуких студентів – 122, наведена нижче система рівнянь має бути вірною:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

Розв’язавши цю систему рівнянь, ви отримаєте $x = 10$ і $y = 8$. Таким чином, 5*10, або 50, зі 122 праворуких студентів - жінки. Таким чином, ймовірність того, що навмання вибраний студент-правша – жінка, становить ${50}/{122}$, що з точністю до тисячної дорівнює 0,410.

Остаточна відповідь А.

Запитання 8 і 9

Використовуйте наступну інформацію як для запитання 7, так і для запитання 8.

Якщо покупці заходять до магазину із середньою швидкістю $r$ покупців за хвилину і кожен залишається в магазині в середньому $T$ хвилин, середня кількість покупців у магазині, $N$, в будь-який момент часу за формулою $N=rT$. Ця залежність відома як закон Літтла.

Власник Good Deals Store підрахував, що в робочий час в магазин заходять в середньому 3 покупці за хвилину і кожен з них залишається в середньому 15 хвилин. Власник магазину використовує закон Літтла, щоб підрахувати, що в магазині в будь-який час знаходиться 45 покупців.

Питання 8

Закон Літтла може бути застосований до будь-якої частини магазину, наприклад до окремого відділу або касових ліній. Власник магазину визначає, що протягом робочого часу приблизно 84 покупці на годину роблять покупку, і кожен із цих покупців проводить у черзі до каси в середньому 5 хвилин. Приблизно скільки покупців у будь-який час протягом робочого часу в середньому чекають у черзі на касі, щоб зробити покупку в Good Deals Store?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Оскільки в питанні сказано, що закон Літтла можна застосувати до будь-якої окремої частини магазину (наприклад, лише до касової черги), то середня кількість покупців, $N$, у касовій черзі в будь-який час дорівнює $N = rT $, де $r$ — це кількість покупців, які стоять до каси за хвилину, а $T$ — середня кількість хвилин, які кожен покупець проводить у касі.

Оскільки 84 покупці за годину роблять покупку, 84 покупці за годину стоять у черзі до каси. Однак це потрібно перетворити на кількість покупців за хвилину (щоб використовувати з $T = 5$). Оскільки в одній годині 60 хвилин, ставка ${84 покупців за годину}/{60 хвилин} = 1,4$ покупця за хвилину. Використовуючи подану формулу з $r = 1,4$ і $T = 5$, виходить

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

Таким чином, середня кількість покупців, $N$, у черзі на касі в будь-який час протягом робочого часу становить 7.

Остаточна відповідь 7.

Питання 9

Власник магазину Good Deals Store відкриває новий магазин по всьому місту. У новому магазині, за оцінками власника, у робочий час в середньому відвідують 90 покупців на коженгодиназайти в магазин, і кожен з них залишається в середньому 12 хвилин. Середня кількість покупців у новому магазині в будь-який час на який відсоток менша за середню кількість покупців у початковому магазині в будь-який час? (Примітка: не звертайте уваги на символ відсотка під час введення відповіді. Наприклад, якщо відповідь 42,1%, введіть 42,1)

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Відповідно до первинної наданої інформації, орієнтовна середня кількість покупців у початковому магазині в будь-який час (N) становить 45. У запитанні зазначено, що в новому магазині, за оцінками менеджера, в середньому 90 покупців на годину (60 хвилин) увійти в магазин, що еквівалентно 1,5 покупця за хвилину (r). Менеджер також підрахував, що кожен покупець залишається в магазині в середньому 12 хвилин (T). Таким чином, за законом Літтла, в середньому $N = rT = (1,5)(12) = 18$ покупців у новому магазині в будь-який час. Це

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

відсотків менше, ніж середня кількість покупців у початковому магазині в будь-який час.

Остаточна відповідь 60.

Питання 10

У $xy$-площині точка $(p,r)$ лежить на прямій з рівнянням $y=x+b$, де $b$ — константа. Точка з координатами $(2p, 5r)$ лежить на прямій з рівнянням $y=2x+b$. Якщо $p≠0$, яке значення $r/p$?

А) $2/5$

B) $3/4$

C) $4/3$

D) $5/2$

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Оскільки точка $(p,r)$ лежить на прямій з рівнянням $y=x+b$, то ця точка має задовольняти рівняння. Заміна $p$ на $x$ і $r$ на $y$ у рівнянні $y=x+b$ дає $r=p+b$, або $i b$ = $i r-i p $.

Так само, оскільки точка $(2p,5r)$ лежить на прямій з рівнянням $y=2x+b$, то ця точка має задовольняти рівняння. Якщо замінити $2p$ на $x$ і $5r$ на $y$ у рівнянні $y=2x+b$, то отримаємо:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Далі ми можемо порівняти два рівняння, що дорівнюють $b$, і спростити:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

Нарешті, щоб знайти $r/p$, нам потрібно розділити обидві частини рівняння на $p$ і на $4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

Правильна відповідь Б , $3/4$.

Якщо ви вибрали варіанти A і D, можливо, ви неправильно сформували свою відповідь із коефіцієнтів у точці $(2p, 5r)$. Якщо ви вибрали варіант C, можливо, ви переплутали $r$ і $p$.

Зверніть увагу, що хоча це в розділі калькулятора SAT, вам абсолютно не потрібен калькулятор, щоб розв’язати його!

Питання 11

Силос для зерна складається з двох правильних круглих конусів і правильного круглого циліндра з внутрішніми розмірами, представленими на малюнку вище. Що з наведеного нижче є найближчим до об’єму зернового силосу в кубічних футах?

А) 261,8
Б) 785,4
В) 916,3
Г) 1047,2

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Об’єм зернового силосу можна знайти, склавши об’єми всіх твердих речовин, з яких він складається (циліндра та двох конусів). Силос складається з циліндра (висотою 10 футів і радіусом основи 5 футів) і двох конусів (кожен має висоту 5 футів і радіус основи 5 футів). Формули, наведені на початку розділу SAT Math:

Об'єм конуса

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Об'єм циліндра

$$V=πr^2h$$

можна використовувати для визначення загального об’єму силосу. Оскільки два конуси мають однакові розміри, загальний об’єм силосу в кубічних футах визначається як

$$V_{сілос}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

що приблизно дорівнює 1047,2 кубічних футів.

Остаточна відповідь Д.

Питання 12

Якщо $x$ — це середнє (середнє арифметичне) $m$ і $9$, $y$ — це середнє значення з $2m$ і $15$, а $z$ — це середнє значення з $3m$ і $18$, то скільки середнє $x$, $y$ і $z$ через $m$?

А) $m+6$
Б) $m+7$
В) 2 мільйони доларів США + 14 доларів США
D) 3 мільйони доларів + 21 долар

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Оскільки середнє (середнє арифметичне) двох чисел дорівнює сумі двох чисел, поділеній на 2, рівняння $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$вірні. Середнє значення $x$, $y$ і $z$ визначається як ${x + y + z}/{3}$. Підстановка виразів у m для кожної змінної ($x$, $y$, $z$) дає

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Цей дріб можна спростити до $m + 7$.

Остаточна відповідь Б.

Питання 13

Функція $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ зображена на графіку $xy$-площини вище. Якщо $k$ є константою, так що рівняння $f(x)=k$ має три дійсні розв’язки, яке з наведеного нижче може бути значенням $k$?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Рівняння $f(x) = k$ дає розв’язки системи рівнянь

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

і

$$y = k$$

Реальний розв’язок системи двох рівнянь відповідає точці перетину графіків двох рівнянь у $xy$-площині.

Графік $y = k$ — це горизонтальна лінія, яка містить точку $(0, k)$ і тричі перетинає графік кубічного рівняння (оскільки воно має три дійсних розв’язки). На графіку єдина горизонтальна лінія, яка тричі перетинає кубічне рівняння, це лінія з рівнянням $y = −3$, або $f(x) = −3$. Отже, $k$ дорівнює $-3$.

Остаточна відповідь Д.

Питання 14

$$q={1/2}nv^2$$

Динамічний тиск $q$, створюваний рідиною, що рухається зі швидкістю $v$, можна знайти за допомогою наведеної вище формули, де $n$ — постійна густина рідини. Авіаційний інженер використовує формулу для визначення динамічного тиску рідини, що рухається зі швидкістю $v$, і тієї самої рідини, що рухається зі швидкістю 1,5$v$. Яке відношення динамічного тиску більш швидкої рідини до динамічного тиску повільнішої?

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Щоб розв’язати цю задачу, потрібно скласти рівняння зі змінними. Нехай $q_1$ — динамічний тиск повільнішої рідини, що рухається зі швидкістю $v_1$, а $q_2$ — динамічний тиск більш швидкої рідини, що рухається зі швидкістю $v_2$. Потім

$$v_2 =1,5v_1$$

Враховуючи рівняння $q = {1}/{2}nv^2$, заміна динамічного тиску та швидкості швидшої рідини дає $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Оскільки $v_2 =1,5v_1$, вираз $1,5v_1$ можна замінити на $v_2$ у цьому рівнянні, отримуючи $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. Зводячи $1,5$ до квадрата, ви можете переписати попереднє рівняння як

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Отже, відношення динамічного тиску швидшої рідини дорівнює

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

Остаточна відповідь 2,25 або 9/4.

Питання 15

Для полінома $p(x)$ значення $p(3)$ дорівнює $-2$. Що з наведеного нижче має бути вірним щодо $p(x)$?

A) $x-5$ є множником $p(x)$.
B) $x-2$ є множником $p(x)$.
C) $x+2$ є множником $p(x)$.
D) Залишок від ділення $p(x)$ на $x-3$ дорівнює $-2$.

ПОЯСНЕННЯ ВІДПОВІДІ: Якщо поліном $p(x)$ поділити на поліном виду $x+k$ (що враховує всі можливі варіанти відповідей у ​​цьому питанні), результат можна записати як

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

де $q(x)$ — поліном, а $r$ — залишок. Оскільки $x + k$ є поліномом ступеня 1 (це означає, що він включає лише $x^1$ і не містить старших показників), залишок є дійсним числом.

Тому $p(x)$ можна переписати як $p(x) = (x + k)q(x) + r$, де $r$ — дійсне число.

У запитанні зазначено, що $p(3) = -2$, отже це має бути правдою

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Тепер ми можемо підключити всі можливі відповіді. Якщо відповідь A, B або C, $r$ буде $0$, а якщо відповідь D, $r$ буде $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Це може бути правдою, але тільки якщо $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Це може бути правдою, але тільки якщо $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

Це може бути правдою, але лише якщо $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Це буде завжди бути правдивим незалежно від того, що таке $q(3)$.

З варіантів відповіді єдиний, що повинен правдою щодо $p(x)$ є D, що залишок від ділення $p(x)$ на $x-3$ дорівнює -2.

Остаточна відповідь Д.

Ви заслуговуєте на сон після того, як відповіли на ці запитання.

Що спільного між найскладнішими математичними запитаннями SAT?

Важливо зрозуміти, що робить ці важкі запитання «важкими». Завдяки цьому ви зможете як зрозуміти, так і вирішити схожі запитання, коли побачите їх у день іспиту, а також матимете кращу стратегію для виявлення та виправлення попередніх математичних помилок SAT.

У цьому розділі ми розглянемо, що спільного у цих запитань, і наведемо приклади кожного типу. Деякі з причин, чому найскладніші математичні запитання є найскладнішими математичними запитаннями, полягає в тому, що вони:

№1: Перевірте кілька математичних концепцій одночасно

Тут ми повинні мати справу з уявними числами та дробами одночасно.

Секрет успіху: Подумайте, яку застосовну математику ви можете використати для вирішення проблеми, виконуйте крок за кроком і пробуйте кожен прийом, доки не знайдете той, який працює!

№2: Виконайте багато кроків

Пам’ятайте: чим більше кроків вам потрібно зробити, тим легше десь зіпсуватися!

Ми повинні вирішити цю задачу поетапно (виконуючи кілька середніх), щоб розблокувати решту відповідей за ефектом доміно. Це може заплутати вас, особливо якщо ви перебуваєте в стресі або бракує часу.

Секрет успіху: Дійте повільно, крок за кроком і ще раз перевірте свою роботу, щоб не зробити помилок!

№3: Тестові концепції, з якими ви обмежено знайомі

Наприклад, багато студентів менше знайомі з функціями, ніж з дробами та відсотками, тому більшість запитань про функції вважаються завданнями «високої складності».

Якщо ви не знаєте, як працювати з функціями, це буде складною проблемою.

Секрет успіху: Перегляньте математичні концепції, з якими ви не так добре знайомі, наприклад функції. Ми пропонуємо скористатися нашими чудовими безкоштовними посібниками з огляду SAT Math.

№4: сформульовані незвичайним або заплутаним способом

Буває важко точно зрозуміти, що таке деякі запитання питаючи , а тим більше з’ясувати, як їх вирішити. Це особливо вірно, коли запитання розташоване в кінці розділу, а у вас не вистачає часу.

Оскільки це запитання містить так багато інформації без діаграми, його може бути важко розгадати за обмежений час.

Секрет успіху: Не поспішайте, проаналізуйте те, що від вас просять, і намалюйте діаграму, якщо це вам допоможе.

№5: Використовуйте багато різних змінних

З такою кількістю різних змінних у грі досить легко заплутатися.

Секрет успіху: Не поспішайте, проаналізуйте те, що від вас просять, і подумайте, чи підключення чисел є хорошою стратегією для вирішення проблеми (це було б не для запитання вище, але було б для багатьох інших змінних запитань SAT).

Винос

SAT — це марафон, і чим краще ви будете до нього підготовлені, тим краще почуватиметеся в день іспиту. Знаючи, як відповідати на найскладніші запитання, які може поставити вам іспит, ви зробите справжнє тестування SAT набагато менш складним.

Якщо ви відчуваєте, що ці запитання були легкими, не варто недооцінювати вплив адреналіну та втоми на вашу здатність вирішувати проблеми. Продовжуючи навчання, завжди дотримуйтеся правильних вказівок щодо часу та намагайтеся складати повні тести, коли це можливо. Це найкращий спосіб відтворити фактичне середовище тестування, щоб ви могли підготуватися до справжньої угоди.

Якщо ви вважаєте ці запитання складними, не забудьте зміцнити свої знання з математики, ознайомившись з нашими індивідуальними посібниками з математики для SAT. Там ви побачите докладніші пояснення тем, про які йде мова, а також детальніші розбивки відповідей.

Що далі?

Відчували, що ці запитання складніші, ніж ви очікували? Подивіться на всі теми, розглянуті в математичному розділі SAT, а потім запам’ятайте, які розділи були для вас особливо складними. Далі перегляньте наші індивідуальні математичні посібники, які допоможуть вам підкріпити будь-яку з цих слабких сторін.

Не вистачає часу на розділ з математики SAT? Наш посібник допоможе вам впоратися з часом і підвищити ваші результати.

Прагнете отримати ідеальний результат? Перевірити наш посібник про те, як отримати ідеальні 800 на розділі математики SAT , написаний ідеальним бомбардиром.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Це може бути правдою, але тільки якщо $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Це може бути правдою, але тільки якщо $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

Це може бути правдою, але лише якщо $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Це буде завжди бути правдивим незалежно від того, що таке $q(3)$.

З варіантів відповіді єдиний, що повинен правдою щодо $p(x)$ є D, що залишок від ділення $p(x)$ на $x-3$ дорівнює -2.

Остаточна відповідь Д.

Ви заслуговуєте на сон після того, як відповіли на ці запитання.

Що спільного між найскладнішими математичними запитаннями SAT?

Важливо зрозуміти, що робить ці важкі запитання «важкими». Завдяки цьому ви зможете як зрозуміти, так і вирішити схожі запитання, коли побачите їх у день іспиту, а також матимете кращу стратегію для виявлення та виправлення попередніх математичних помилок SAT.

У цьому розділі ми розглянемо, що спільного у цих запитань, і наведемо приклади кожного типу. Деякі з причин, чому найскладніші математичні запитання є найскладнішими математичними запитаннями, полягає в тому, що вони:

структури даних java

№1: Перевірте кілька математичних концепцій одночасно

Тут ми повинні мати справу з уявними числами та дробами одночасно.

Секрет успіху: Подумайте, яку застосовну математику ви можете використати для вирішення проблеми, виконуйте крок за кроком і пробуйте кожен прийом, доки не знайдете той, який працює!

№2: Виконайте багато кроків

Пам’ятайте: чим більше кроків вам потрібно зробити, тим легше десь зіпсуватися!

Ми повинні вирішити цю задачу поетапно (виконуючи кілька середніх), щоб розблокувати решту відповідей за ефектом доміно. Це може заплутати вас, особливо якщо ви перебуваєте в стресі або бракує часу.

Секрет успіху: Дійте повільно, крок за кроком і ще раз перевірте свою роботу, щоб не зробити помилок!

№3: Тестові концепції, з якими ви обмежено знайомі

Наприклад, багато студентів менше знайомі з функціями, ніж з дробами та відсотками, тому більшість запитань про функції вважаються завданнями «високої складності».

Якщо ви не знаєте, як працювати з функціями, це буде складною проблемою.

Секрет успіху: Перегляньте математичні концепції, з якими ви не так добре знайомі, наприклад функції. Ми пропонуємо скористатися нашими чудовими безкоштовними посібниками з огляду SAT Math.

№4: сформульовані незвичайним або заплутаним способом

Буває важко точно зрозуміти, що таке деякі запитання питаючи , а тим більше з’ясувати, як їх вирішити. Це особливо вірно, коли запитання розташоване в кінці розділу, а у вас не вистачає часу.

Оскільки це запитання містить так багато інформації без діаграми, його може бути важко розгадати за обмежений час.

Секрет успіху: Не поспішайте, проаналізуйте те, що від вас просять, і намалюйте діаграму, якщо це вам допоможе.

№5: Використовуйте багато різних змінних

З такою кількістю різних змінних у грі досить легко заплутатися.

Секрет успіху: Не поспішайте, проаналізуйте те, що від вас просять, і подумайте, чи підключення чисел є хорошою стратегією для вирішення проблеми (це було б не для запитання вище, але було б для багатьох інших змінних запитань SAT).

Винос

SAT — це марафон, і чим краще ви будете до нього підготовлені, тим краще почуватиметеся в день іспиту. Знаючи, як відповідати на найскладніші запитання, які може поставити вам іспит, ви зробите справжнє тестування SAT набагато менш складним.

Якщо ви відчуваєте, що ці запитання були легкими, не варто недооцінювати вплив адреналіну та втоми на вашу здатність вирішувати проблеми. Продовжуючи навчання, завжди дотримуйтеся правильних вказівок щодо часу та намагайтеся складати повні тести, коли це можливо. Це найкращий спосіб відтворити фактичне середовище тестування, щоб ви могли підготуватися до справжньої угоди.

Якщо ви вважаєте ці запитання складними, не забудьте зміцнити свої знання з математики, ознайомившись з нашими індивідуальними посібниками з математики для SAT. Там ви побачите докладніші пояснення тем, про які йде мова, а також детальніші розбивки відповідей.

Що далі?

Відчували, що ці запитання складніші, ніж ви очікували? Подивіться на всі теми, розглянуті в математичному розділі SAT, а потім запам’ятайте, які розділи були для вас особливо складними. Далі перегляньте наші індивідуальні математичні посібники, які допоможуть вам підкріпити будь-яку з цих слабких сторін.

Не вистачає часу на розділ з математики SAT? Наш посібник допоможе вам впоратися з часом і підвищити ваші результати.

Прагнете отримати ідеальний результат? Перевірити наш посібник про те, як отримати ідеальні 800 на розділі математики SAT , написаний ідеальним бомбардиром.