Коли ви оволоділи квадратичною формулою та основами квадратних рівнянь, настав час для наступного рівня ваших стосунків із параболами: вивчення їх форма вершини .

Читайте далі, щоб дізнатися більше про форму вершини параболи та про те, як перетворити квадратне рівняння зі стандартної форми на форму вершини.

автор зображення функції: SBA73 /Flickr

Чому форма вершини корисна? Огляд

The форма вершини рівняння є альтернативним способом запису рівняння параболи.

Зазвичай ви побачите квадратне рівняння, записане як $ax^2+bx+c$, яке, будучи графіком, буде параболою. З цієї форми досить легко знайти корені рівняння (де парабола торкається осі $x$), прирівнявши рівняння до нуля (або використовуючи квадратичну формулу).

Якщо вам потрібно знайти вершину параболи, стандартна квадратична форма набагато менш корисна. Замість цього ви захочете перетворити ваше квадратне рівняння у форму вершини.

Що таке вершинна форма?

Хоча стандартна квадратична форма $ax^2+bx+c=y$, вершинна форма квадратного рівняння $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

В обох формах $y$ — це $y$-координата, $x$ — $x$-координата, а $a$ — константа, яка вказує, чи спрямована парабола вгору ($+a$) чи вниз ($-a$). (Я думаю про це так, ніби парабола була мискою з яблучним пюре; якщо є $+a$, я можу додати яблучне пюре в миску; якщо є $-a$, я можу витрусити яблучне пюре з миски.)

Різниця між стандартною формою параболи та формою вершини полягає в тому, що форма вершини рівняння також дає вам вершину параболи: $(h,k)$.

Наприклад, погляньте на цю чудову параболу $y=3(x+4/3)^2-2$:

Виходячи з графіка, вершина параболи виглядає приблизно як (-1,5,-2), але важко точно визначити, де знаходиться вершина, лише за графіком. На щастя, виходячи з рівняння $y=3(x+4/3)^2-2$, ми знаємо, що вершина цієї параболи дорівнює $(-4/3,-2)$.

Чому вершина $(-4/3,-2)$, а не $(4/3,-2)$ (окрім графіка, який дає зрозуміти як $x$-, так і $y$-координати вершина негативна)?

Пам'ятайте: у рівнянні форми вершини $h$ віднімається, а $k$ додається . Якщо у вас від’ємне $h$ або від’ємне $k$, вам потрібно переконатися, що ви відняли від’ємне $h$ і додали від’ємне $k$.

У цьому випадку це означає:

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

і тому вершина $(-4/3,-2)$.

Завжди перевіряйте додатні та від’ємні знаки, записуючи параболу у формі вершини , зокрема, якщо вершина не має додатних значень $x$ і $y$ (або для вас квадрантні голови там, якщо це не в квадрант І ). Це схоже на перевірку, якби ви розв’язували квадратичну формулу ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) і вам потрібно було переконатися, що ви зберегли додатні та мінуси прямо для ваших $a$s, $b$s і $c$s.

Нижче наведено таблицю з подальшими прикладами кількох інших рівнянь форми вершини параболи разом із їхніми вершинами. Зверніть увагу, зокрема, на різницю в частині $(x-h)^2$ рівняння форми вершини параболи, коли координата $x$ вершини від’ємна.

Як перетворити стандартну квадратичну форму на вершинну форму

У більшості випадків, коли вас просять перетворити квадратне рівняння між різними формами, ви переходите від стандартної форми ($ax^2+bx+c$) до вершинної форми ($a(x-h)^2+k$ ).

Процес перетворення вашого рівняння зі стандартної квадратичної форми на вершинну форму передбачає виконання ряду кроків, які називаються завершенням квадрата. (Для отримання додаткової інформації про заповнення квадрата обов’язково прочитайте цю статтю.)

Давайте розглянемо приклад перетворення рівняння зі стандартної форми на вершинну. Ми почнемо з рівняння $y=7x^2+42x-3/14$.

Перше, що ви захочете зробити, це перемістити константу або термін без $x$ або $x^2$ поруч із ним. У цьому випадку наша постійна $-3/14$. (Ми знаємо, що це негативний $3/14$, оскільки стандартним квадратним рівнянням є $ax^2+bx+c$, а не $ax^2+bx-c$.)

Спочатку ми візьмемо $-3/14$ і перемістимо його в ліву частину рівняння:

$y+3/14=7x^2+42x$

Наступним кроком є ​​винесення 7 (значення $a$ у рівнянні) з правого боку, ось так:

$y+3/14=7(x^2+6x)$

Чудово! Це рівняння більше схоже на форму вершини, $y=a(x-h)^2+k$.

У цей момент ви можете подумати: «Все, що мені зараз потрібно зробити, це перемістити $3/14$ назад у праву частину рівняння, чи не так?» На жаль, не так швидко.

Якщо ви подивитеся на частину рівняння всередині дужок, ви помітите проблему: воно не має форми $(x-h)^2$. Надто багато $x$s! Отже, ми ще не закінчили.

Зараз нам потрібно зробити найважче — завершити квадрат.

Давайте ближче розглянемо $x^2+6x$ частину рівняння. Щоб розкласти $(x^2+6x)$ на щось схоже на $(x-h)^2$, нам потрібно буде додати константу всередині круглих дужок — і нам потрібно пам’ятати щоб також додати цю константу до іншої сторони рівняння (оскільки рівняння має залишатися збалансованим).

Щоб налаштувати це (і переконайтеся, що ми не забули додати константу до іншої сторони рівняння), ми збираємося створити порожній простір, де константа буде міститися з обох боків рівняння:

$y+3/14+7($$)=7(x^2+6x+$$)$

Зауважте, що в лівій частині рівняння ми обов’язково включили наше значення $a$, 7, перед пробілом, куди потрапить наша константа; це тому, що ми не просто додаємо константу до правої частини рівняння, але ми множимо константу на те, що знаходиться поза дужками. (Якщо ваше значення $a$ дорівнює 1, вам не потрібно про це турбуватися.)

Наступним кроком буде завершення квадрата. У цьому випадку квадрат, який ви заповнюєте, є рівнянням у дужках. Додаючи константу, ви перетворюєте його на рівняння, яке можна записати у вигляді квадрата.

Щоб обчислити цю нову константу, візьміть значення поруч із $x$ (у цьому випадку 6), розділіть його на 2 і зведіть у квадрат.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. Константа дорівнює 9.

Причина, по якій ми ділимо 6 навпіл і зводимо його в квадрат, полягає в тому, що ми знаємо, що в рівнянні у формі $(x+p)(x+p)$ (це те, до чого ми намагаємося дістатися), $px+px= 6x$, тому $p=6/2$; щоб отримати константу $p^2$, ми повинні взяти $6/2$ (наш $p$) і звести його в квадрат.

Тепер замініть пробіли з обох боків нашого рівняння константою 9:

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$y+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

Далі розкладіть рівняння в дужках. Оскільки ми завершили квадрат, ви зможете розкласти його як $(x+{деяке число})^2$.

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

Останній крок: перемістіть не $y$ значення з лівої частини рівняння назад у праву сторону:

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Щиро вітаю! Ви успішно перетворили своє рівняння зі стандартної квадратичної форми на вершинну.

Тепер більшість завдань не просто вимагатиме від вас перетворити рівняння зі стандартної форми на форму вершини; вони захочуть, щоб ви фактично вказали координати вершини параболи.

Щоб уникнути зміни знака, давайте напишемо загальне рівняння форми вершини безпосередньо над рівнянням форми вершини, яке ми щойно розрахували:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

І тоді ми можемо легко знайти $h$ і $k$:

$-h=3$

$h=-3$

$+k=-{885/14}$

Вершина цієї параболи знаходиться в координатах $(-3,-{885/14})$.

Вау, це було багато перемішування чисел! На щастя, конвертувати рівняння в іншому напрямку (від вершини до стандартної форми) набагато простіше.

Як перетворити вершинну форму на стандартну

Перетворення рівняння з вершинної форми на звичайну квадратичну форму є набагато простішим процесом: все, що вам потрібно зробити, це помножити вершинну форму.

Давайте візьмемо наш приклад рівняння з попереднього рівняння, $y=3(x+4/3)^2-2$. Щоб перетворити це в стандартну форму, ми просто розгорнемо праву частину рівняння:

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-{6/3}$$

$$y=3x^2+8x+10/3$$

Тада! Ви успішно перетворили $y=3(x+4/3)^2-2$ у його форму $ax^2+bx+c$.

Практика у формі вершини параболи: зразки запитань

Щоб завершити це дослідження вершинної форми, у нас є чотири приклади задач і пояснення. Перевірте, чи можете ви вирішити задачі самостійно, перш ніж читати пояснення!

#1: Яка вершинна форма квадратного рівняння $x^2+ 2,6x+1,2$?

#2: Перетворіть рівняння $7y=91x^2-112$ у форму вершини. Що таке вершина?

#3: Дано рівняння $y=2(x-3/2)^2-9$, які $x$-координати місця перетину цього рівняння з віссю $x$?

#4: Знайдіть вершину параболи $y=({1/9}x-6)(x+4)$.

Вершина форми параболи Практика: рішення

№1: Яка вершинна форма квадратного рівняння ${i x^2}+ 2,6i x+1,2$?

Почніть із виділення змінної, відмінної від $x$, на іншу сторону рівняння:

$y-1,2=x^2+2,6x$

Оскільки наш $a$ (як у $ax^2+bx+c$) у вихідному рівнянні дорівнює 1, нам не потрібно виносити його з правої частини тут (хоча, якщо хочете, ви можете написати $y-1,2=1(x^2+2,6x)$).

Потім розділіть коефіцієнт $x$ (2,6) на 2 і зведіть його в квадрат, а потім додайте отримане число до обох сторін рівняння:

$(2,6/2)^2=(1,3)^2=1,69$

$y-1,2+1(1,69)=1(x^2+2,6x+1,69)$

Розкладіть праву частину рівняння на множники всередині дужок:

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

Нарешті об’єднайте константи в лівій частині рівняння, а потім перемістіть їх у праву частину.

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

$y+0,49=(x+1,3)^2$

Наша відповідь: $y=(x+1,3)^2-0,49$.

#2: Перетворіть рівняння $7i y=91i x^2-112$ у форму вершини. Що таке вершина?

Перетворюючи рівняння у форму вершини, вам потрібно, щоб $y$ мав коефіцієнт 1, тому перше, що ми збираємося зробити, це розділити обидві частини цього рівняння на 7:

$7y= 91x^2-112$

${7y}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

Далі перенесіть константу в ліву частину рівняння:

$y+16=13x^2$

Винесіть коефіцієнт при числі $x^2$ ($a$) із правої частини рівняння

$y+16=13(x^2)$

Зазвичай вам потрібно завершити квадрат у правій частині рівняння всередині дужок. Однак $x^2$ уже є квадратом, тому вам не потрібно нічого робити, окрім переміщення константи з лівої частини рівняння назад у праву:

$y=13(x^2)-16$.

Тепер знайдіть вершину:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$, тому $h=0$

$+k=-16$, тому $k=-16$

Вершина параболи знаходиться в $(0, -16)$.

#3: Дано рівняння $i y=2(i x-3/2)^2-9$, яка(є) $i x$-координата(и), де це рівняння перетинається з $i x$-вісь?

Оскільки в цьому питанні вас просять знайти точки перетину $x$ рівняння, першим кроком є ​​встановлення $y=0$.

$y=0=2(x-3/2)^2-9$.

Тепер є кілька способів піти звідси. Підлий спосіб полягає в тому, щоб використати той факт, що в рівнянні форми вершини вже записаний квадрат, для нашої вигоди.

Спочатку ми перемістимо константу в ліву частину рівняння:

$0=2(x-3/2)^2-9$

$9=2(x-3/2)^2$

Далі ми розділимо обидві частини рівняння на 2:

$9/2=(x-3/2)^2$

Тепер підступна частина. Візьміть квадратний корінь з обох сторін рівняння:

$√(9/2)=√{(x-3/2)^2}$

$±3/{√2}=(x-3/2)$

$±