Векторна проекція це тінь вектора над іншим вектором. Вектор проекції отримується множенням вектора на Cos кута між двома векторами. Вектор має і величину, і напрямок. Два вектори називаються рівними, якщо вони мають однакову величину та напрямок. Векторна проекція має важливе значення для вирішення чисельних задач у фізиці та математиці.

У цій статті ми детально дізнаємось про те, що таке векторна проекція, приклад формули векторної проекції, формулу векторної проекції, виведення формули векторної проекції, лінійну алгебру формули векторної проекції, формулу векторної проекції 3d та деякі інші пов’язані поняття.

Зміст

• Що таке векторна проекція?
• Формула векторної проекції
• Формула векторної проекції
• Приклади формул векторної проекції
• Практичне застосування та значення векторної проекції
• Приклади векторної проекції для вирішення реальних задач

Що таке векторна проекція?

Векторна проекція — це метод обертання вектора та розміщення його на другому векторі. Отже, вектор виходить, коли вектор розділяється на дві компоненти, паралельну та перпендикулярну. Паралельний вектор називається вектором проекції. Таким чином, векторна проекція — це довжина тіні одного вектора над іншим вектором.

Векторна проекція вектора отримується множенням вектора на Cos кута між двома векторами. Скажімо, у нас є два вектори «a» і «b», і ми повинні знайти проекцію вектора a на вектор b, тоді ми помножимо вектор «a» на cosθ, де θ — кут між вектором a і вектором b.

Формула векторної проекції

Якщоvec Aпредставлено як A іvec Bпредставлена ​​як B, векторна проекція A на B задана як добуток A на Cos θ, де θ — кут між A і B. Інша формула для векторної проекції A на B подана як добуток A і B поділено на величину B. Отриманий таким чином вектор проекції є скалярним кратним A та має напрямок у напрямку B.

Формула векторної проекції

Виведення формули векторної проекції обговорюється нижче:

Припустимо, OP =vec Aі OQ =vec Bа кут між OP і OQ дорівнює θ. Накреслено PN перпендикулярно OQ.

У прямокутному трикутнику OPN Cos θ = ON/OP

⇒ ON = ON Cos θ

⇒ ON = |vec A| Cos θ

ON — вектор проекціїvec Aнаvec B

vec A.vec B = |vec A||vec B|cos heta

⇒vec A.vec B = |vec B(|vec A||cos heta)

⇒vec A.vec B = |vec B|ON

швидкість передачі в arduino

⇒ ON =frac{vec A.vec B}

Отже, ON =|vec A|.hat B

Таким чином, векторна проекціяvec Aнаvec Bдається якfrac{vec A.vec B}

Векторна проекціяvec Bнаvec Aдається якfrac{vec A.vec B}

Також перевірте: Типи векторів

Векторна проекція. Важливі терміни

Щоб знайти векторну проекцію, нам потрібно навчитися знаходити кут між двома векторами, а також обчислювати скалярний добуток між двома векторами.

Кут між двома векторами

Кут між двома векторами задається як величина, обернена до косинуса скалярного добутку двох векторів, поділеного на добуток величини двох векторів.

Скажімо, у нас є два векториvec Aіvec Bкут між ними θ

⇒ cos θ =frac{vec A.vec B}.

⇒ θ = cos^-1frac{vec A.vec B}.

Скалярний добуток двох векторів

Скажімо, у нас є два векториvec Aіvec Bвизначається якvec A = a_1hat i + a_2hat j + a_3hat kіvec B = b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k тоді скалярний добуток між ними задається як

vec A.vec B = (a_1hat i + a_2hat j + a_3hat k)(b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k)

рік був винайдений комп’ютер

⇒vec A.vec B= а₁b₁+ а₂b₂+a₃b₃

Пов'язана стаття:

• вектор додавання
• Одиничний вектор
• Векторна алгебра
• Лінійна алгебра

Приклади формул векторної проекції

Приклад 1. Знайти проекцію вектора 4hat i + 2hat j + hat k на 5hat i -3hat j + 3hat k .

рішення:

тут,vec{a}=4hat i + 2hat j + hat k \vec{b}=5hat i -3hat j + 3hat k .

Ми знаємо, проекція вектора a на вектор b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(4.(5) + 2(-3) + 1.(3))}{|sqrt{5^2 + (-3)^2 + 3^2}|}=dfrac{17}{sqrt{43}}

Приклад 2. Знайти проекцію вектора 5hat i + 4hat j + hat k на 3hat i + 5hat j – 2hat k

рішення:

тут,vec{a}=5hat i + 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i + 5hat j – 2hat k.

Ми знаємо, проекція вектора a на вектор b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + 4(5) + 1.(-2))}{|sqrt{3^2 + 5^2 + (-2)^2}|}=dfrac{33}{sqrt{38}}

Приклад 3. Знайти проекцію вектора 5hat i – 4hat j + hat k на 3hat i – 2hat j + 4hat k

рішення:

jtextfield

тут,vec{a}=5hat i – 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i – 2hat j + 4hat k.

Ми знаємо, проекція вектора a на вектор b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + ((-4).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{3^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{49}{sqrt{29}}

Приклад 4. Знайти проекцію вектора 2hat i – 6hat j + hat k на 8hat i – 2hat j + 4hat k .

рішення:

тут,vec{a}=2hat i – 6hat j + hat k \vec{b}=8hat i – 2hat j + 4hat k

Ми знаємо, проекція вектора a на вектор b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(2.(8) + ((-6).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{8^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{32}{sqrt{84}}

Приклад 5. Знайти проекцію вектора 2hat i – hat j + 5hat k на 4hat i – hat j + hat k .

рішення:

як створити масив в java

тут,vec{a}=2hat i – hat j + 5hat k \vec{b}=4hat i – hat j + hat k.

Ми знаємо, проекція вектора a на вектор b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(2.(4) + ((-1).(-1)) + 5.(1))}{|sqrt{4^2 + (-1)^2 + (1)^2}|}=dfrac{14}{sqrt{18}}

перевірити: Векторні операції

Практичне застосування та значення векторної проекції

Фізика

• Силове розкладання : У фізиці формула векторної проекції має вирішальне значення для розкладання сил на компоненти, паралельні та перпендикулярні поверхням. Наприклад, щоб зрозуміти силу, з якою діє мотузка під час гри в перетягування канату, потрібно спроектувати вектор сили на напрям мотузки.

• Розрахунок роботи : Робота, яку виконує сила під час переміщення, обчислюється за допомогою векторної проекції. Робота є скалярним добутком вектора сили та вектора переміщення, по суті проектуючи один вектор на інший, щоб знайти компонент сили в напрямку переміщення.

Інженерія

• Структурний аналіз : інженери використовують векторну проекцію для аналізу напруг на компонентах. Проектуючи вектори сил на структурні осі, вони можуть визначати компоненти напруги в різних напрямках, допомагаючи при проектуванні безпечніших і ефективніших конструкцій.

• динаміка рідин : У динаміці рідин векторна проекція допомагає аналізувати потік рідини навколо об’єктів. Проектуючи вектори швидкості рідини на поверхні, інженери можуть вивчати моделі потоків і сили, що має вирішальне значення для аеродинамічного дизайну та гідротехніки.

Комп'ютерна графіка

• Техніка візуалізації : Векторна проекція є фундаментальною в комп’ютерній графіці для відтворення тіней і відображень. Проектуючи світлові вектори на поверхні, графічне програмне забезпечення обчислює кути та інтенсивність тіней і відображень, підвищуючи реалістичність 3D-моделей.

• Анімація та розробка ігор : В анімації векторна проекція використовується для імітації рухів і взаємодії. Наприклад, визначення того, як персонаж рухається по нерівній місцевості, передбачає проектування векторів руху на поверхню місцевості, що забезпечує реалістичну анімацію.

перевірити: Базисні вектори в лінійній алгебрі

Приклади векторної проекції для вирішення реальних задач

Приклад 1: GPS-навігація

• Контекст : у навігаційних системах GPS векторна проекція використовується для обчислення найкоротшого шляху між двома точками на земній поверхні.
• застосування : проектуючи вектор переміщення між двома географічними точками на вектор земної поверхні, алгоритми GPS можуть точно обчислювати відстані та напрямки, оптимізуючи маршрути подорожей.

Приклад 2: спортивна аналітика

• Контекст : у спортивній аналітиці, зокрема у футболі чи баскетболі, векторна проекція допомагає аналізувати рухи гравців і траєкторії м’яча.
• застосування : Проектуючи вектори руху гравців на ігрове поле чи корт, аналітики можуть вивчати шаблони, швидкості та ефективність рухів, сприяючи стратегічному плануванню та покращенню ефективності.

Приклад 3: Інженерія відновлюваної енергетики

• Контекст : При проектуванні вітряних турбін розуміння компонентів сили вітру є важливим для оптимізації виробництва енергії.
• застосування : Інженери проектують вектори швидкості вітру на площину лопатей турбіни. Цей аналіз допомагає визначити оптимальний кут і орієнтацію лопатей для максимального захоплення енергії вітру.

Приклад 4: Доповнена реальність (AR)

• Контекст : у додатках доповненої реальності векторна проекція використовується для точного розміщення віртуальних об’єктів у просторі реального світу.
• застосування : Проектуючи вектори з віртуальних об’єктів на площини реального світу, зняті пристроями AR, розробники можуть гарантувати, що віртуальні об’єкти реалістично взаємодіють із середовищем, покращуючи взаємодію з користувачем.

перевірити: Компоненти вектора

Поширені запитання щодо векторної проекції

Визначте вектор проекції.

Вектор проекції — це тінь вектора на іншому векторі.

Що таке формула векторної проекції?

Формула для проекції вектора задається якfrac{vec A.vec B}

Як знайти вектор проекції?

Вектор проекції визначається обчисленням скалярного добутку двох векторів, поділених на те, на яке відкидається тінь.

Які поняття необхідні для обчислення вектора проекції?

Щоб обчислити векторну проекцію, нам потрібно знати кут між двома векторами та скалярний добуток двох векторів.

Де використовується вектор проекції?

Projection Vector використовується для розв’язання різних чисельних фізичних задач, які вимагають розбиття векторної величини на компоненти.

Яке значення векторної проекції у фізиці?

У фізиці векторна проекція має вирішальне значення для розкладання сил, обчислення роботи, виконаної силою в певному напрямку, та аналізу руху. Це допомагає зрозуміти, як різні компоненти вектора сприяють ефектам у різних напрямках.

Чи може векторна проекція бути негативною?

Так, скалярна складова векторної проекції може бути від’ємною, якщо кут між двома векторами перевищує 90 градусів, що вказує на те, що проекція йде в напрямку, протилежному базовому вектору.

Як векторна проекція використовується в техніці?

Інженери використовують векторну проекцію для аналізу структурних напружень, оптимізації конструкцій шляхом розкладання сил на керовані компоненти, а також у динаміці рідини для вивчення моделей течії проти поверхонь.

Яка різниця між скалярною та векторною проекцією?

Скалярна проекція дає величину одного вектора вздовж напрямку іншого і може бути позитивною або негативною. З іншого боку, векторна проекція враховує не тільки величину, але й задає напрямок проекції як вектор.

Які реальні застосування векторної проекції?

Векторна проекція має застосування в GPS-навігації, спортивній аналітиці, комп’ютерній графіці для візуалізації тіней і відображень, а також у доповненій реальності для розміщення віртуальних об’єктів у просторі реального світу.