Типи рівномірного розподілу

Типи рівномірного розподілу:

1. Безперервний рівномірний розподіл: Безперервний рівномірний розподіл ймовірностей — це розподіл, який має нескінченну кількість значень, визначених у заданому діапазоні. Він має графік прямокутної форми, так званий прямокутний розподіл. Він працює на цінностях, які є безперервними за своєю природою. Приклад: генератор випадкових чисел
2. Дискретний рівномірний розподіл: Дискретний рівномірний розподіл ймовірностей — це розподіл, який має кінцеву кількість значень, визначених у заданому діапазоні. Його графік містить різні вертикальні лінії для кожного кінцевого значення. Він працює на значеннях, які є дискретними за своєю природою. Приклад: кидається кубик.

Давайте обговоримо ці види докладніше наступним чином.

Неперервні рівномірні розподіли або прямокутні розподіли

Безперервні рівномірні розподіли, також відомі як прямокутні розподіли, — це розподіли ймовірностей, у яких функція щільності ймовірності (PDF) постійна в певному інтервалі та дорівнює нулю в інших місцях. Це означає, що всі результати в межах інтервалу однаково ймовірні.

Безперервні рівномірні розподіли забезпечують просту, але потужну структуру для розуміння та моделювання випадковості в межах визначених інтервалів, що робить їх важливими інструментами в теорії ймовірностей і прикладній статистиці.

Функція щільності ймовірності (PDF)

The функція щільності ймовірності (PDF) безперервного рівномірного розподілу визначає ймовірність потрапляння випадкової величини в певний інтервал. Для безперервного рівномірного розподілу на інтервалі [a, b] PDF визначається як:

f(x) = 1 / (b – a) для a ≤ x ≤ b

і f(x) = 0 інакше.

Кумулятивна функція розподілу (CDF)

Кумулятивна функція розподілу (CDF) безперервного рівномірного розподілу дає ймовірність того, що випадкова величина менша або дорівнює певному значенню. Для безперервного рівномірного розподілу по [a, b] CDF визначається як:

F(x) = (x – a) / (b – a) для a ≤ x ≤ b

і F(x) = 0 для x b.

Генеруючі функції

Генеруючі функції забезпечують спосіб представлення послідовностей чисел у вигляді степеневих рядів. У теорії ймовірностей генеруючі функції часто використовуються для маніпулювання послідовностями випадкових величин. Вони можуть спростити обчислення та допомогти отримати важливі властивості випадкових величин і розподілів.

Стандартний рівномірний розподіл

Стандартний рівномірний розподіл є окремим випадком безперервного рівномірного розподілу, де інтервал дорівнює [0, 1]. Він широко використовується в моделюванні, генерації випадкових чисел і різних статистичних програмах.

Властивості неперервних рівномірних розподілів

• Рівна щільність імовірності в межах інтервалу.
• Кумулятивна функція розподілу лінійно зростає в межах інтервалу.
• Середнє значення безперервного рівномірного розподілу є серединою інтервалу.
• Дисперсія безперервного рівномірного розподілу [(b – a)²] / 12.

Застосування неперервних рівномірних розподілів

• Моделювання невизначеності в різних областях, таких як інженерія, фінанси та фізика.
• Генерація випадкових чисел для симуляцій та ігор.
• Використовується в статистичному контролі якості для моделювання однорідності виробничих процесів.
• У криптографії для генерації ключів і створення випадкових перестановок.
• Як базовий розподіл для порівняння з іншими розподілами в статистичному аналізі.

Дискретний рівномірний розподіл

Дискретний рівномірний розподіл – це a ймовірність розподіл, який описує ймовірність результатів, коли кожен результат у скінченному наборі є однаково ймовірним. Він характеризується постійною функцією маси ймовірності (PMF) у кінцевому діапазоні значень.

Дискретний рівномірний розподіл служить фундаментальною моделлю в теорії ймовірностей і статистиці, надаючи простий, але ефективний спосіб опису невизначеності в ситуаціях, коли результати однаково ймовірні. Його властивості та застосування поширюються на різні дисципліни, що робить його універсальним інструментом для аналізу даних і процесів прийняття рішень.

Оцінка максимуму

в статистика , оцінка максимуму відноситься до методів, які використовуються для оцінки найбільшого значення або максимального спостереження в наборі даних. Для цієї мети зазвичай використовуються такі методи, як статистика замовлень і оцінка максимальної ймовірності.

Випадкова перестановка

Випадкова перестановка - це випадкове розташування набору елементів або елементів. Він часто використовується в різних галузях, таких як криптографія, статистика та інформатика. Генерування випадкових перестановок має важливе значення в алгоритмах, моделюванні та експериментальних планах.

Властивості дискретного рівномірного розподілу

• Кожен результат у вибірці має однакову ймовірність появи.
• Функція маси ймовірності (PMF) є постійною в діапазоні можливих результатів.
• Середнє значення дискретного рівномірного розподілу є середнім мінімального та максимального значень.
• Дисперсія дискретного рівномірного розподілу дорівнює [(n^2 – 1) / 12], де n – кількість можливих результатів.

Застосування дискретного рівномірного розподілу

• Кидання чесних кубиків або чесних монет, де кожен результат має рівну ймовірність.
• Моделювання сценаріїв, у яких немає переваги чи упередженості щодо певного результату.
• Вибірка без заміни, наприклад відбір випадкових вибірок із кінцевої сукупності.
• Генерування випадкових чисел для моделювання, методів Монте-Карло та рандомізованих алгоритмів.
• Створення випадкових перестановок для тасування колод карт, проектування експериментів і криптографічних програм.

Детальніше,

• Розподіл Пуассона
• Біноміальний розподіл
• Нормальний розподіл

Приклади запитань

Запитання 1: Випадкова величина X має рівномірний розподіл за (-2, 2),

(i) знайти k, для якого P(X>k) = 1/2 (ii) Оцінити P(X<1) (iii) P[|X-1|<1]

рішення:

(і) X =f(x) = 1/(b-a) =1/(2-(-2)) = 1/4

P(X>k) = 1 – P(X≤ k) = 1 –int_{-2}^{k}f(x)dx

= 1 – (1/4).int_{-2}^{k}dx =1 – (k+2)/4 = 1/2

Розв’язуючи, отримуємо k = 0

(іі) P(X<1) =int_{-2}^{1}f(x)dx =(1/4).int_{-2}^{k}dx = 3/4

(iii) P[|X -1| <1] = P[1-1int_{0}^{1}f(x)dx = (1/4).int_{0}^{1}dx = 1/4

Запитання 2: якщо X рівномірно розподілено в (-1 , 4), то

(i) його середнє значення дорівнює ______________.

(ii) його дисперсія дорівнює ______________.

(iii) його стандартне відхилення становить ___________.

(iv) його медіана дорівнює ______________.

рішення: