У цій статті ми збираємося обговорити симетричну різницю між двома наборами. Тут ми також обговоримо властивості симетричної різниці між двома множинами.
Сподіваюся, ця стаття допоможе вам зрозуміти симетричну різницю між двома наборами.
Що таке симетрична різниця?
Іншим варіантом різниці є симетрична різниця. Припустимо, що є дві множини, A і B. Симетрична різниця між обома множинами A і B — це множина, яка містить елементи, присутні в обох множинах, крім загальних елементів.
Симетрична різниця між двома множинами також називається as розділовий союз . Симетрична різниця між двома множинами - це множина елементів, які знаходяться в обох множинах, але не знаходяться в їх перетині. Симетрична різниця між двома множинами A і B представлена A D B або А? Б .
Ми можемо зрозуміти це на прикладах.
Приклад1 Припустимо, є дві множини з деякими елементами.
Набір A = {1, 2, 3, 4, 5}
Набір B = {3, 5}
Отже, симетрична різниця між заданими множинами A і B дорівнює {1, 2, 4}
Або, ми можемо так сказати A Δ B = {1, 2, 4} .
Приклад 2 Припустимо, є дві множини з деякими елементами.
Встановити A = {a, b, c, k, m, n}
Набір B = {c, n}
Отже, симетрична різниця між заданими множинами A і B дорівнює {a, b, k, m}
Або, ми можемо так сказати A Δ B = {a, b, k, m} .
На наведеній нижче діаграмі Венна ви можете побачити симетричну різницю між двома наборами.
Частина, заштрихована кольором шкіри на наведеній вище діаграмі Венна, є симетричною різницею між заданими наборами, тобто A D B .
Давайте розглянемо деякі властивості симетричної різниці між двома множинами.
Властивості
Є деякі властивості симетричної різниці, які перераховані нижче;
- Симетричну різницю можна представити як об’єднання обох відносних доповнень, тобто
A Δ B = (A / B) ∪ (B / A) - Симетрична різниця між двома множинами також може бути виражена як об’єднання двох множин мінус перетин між ними –
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) - Симетрична різниця комутативна, а також асоціативна -
A Δ B = B Δ A
(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C) - Порожня множина є нейтральною (у математиці нейтральний елемент називається особливим типом елемента, який у поєднанні з будь-яким елементом множини для виконання бінарної операції залишає елемент незмінним. Він також відомий як Елемент ідентичності ).
A Δ ∅ = A
A Δ A = ∅ - Якщо множина A дорівнює множині B, то симетрична різниця між обома множинами дорівнює -
A Δ B = ∅ {коли A = B}
«Симетрична різниця між двома наборами» v/s «Різниця між двома наборами»
Різниця між двома наборами
Різниця між двома множинами A і B - це множина всіх тих елементів, які належать A, але не належать B, і позначається А - Б .
приклад: Нехай A = {1, 2, 3, 4}
і B = {3, 4, 5, 6}
тоді A - B = {3, 4} і B - A = {5, 6}
Симетрична різниця між двома множинами
Симетрична різниця між двома множинами, A і B, — це множина, що містить усі елементи, які знаходяться в A або B, але не в обох. Він представлений A D B або А? Б .
приклад: Нехай A = {1, 2, 3, 4}
і B = {3, 4, 5, 6}
тоді A Δ B = {1, 2, 5, 6}
Тепер давайте розглянемо кілька прикладів, щоб більш чітко зрозуміти симетричну різницю між двома наборами.
Питання 1 - Припустимо, що у вас є набори A = {10, 15, 17, 19, 20} і B = {15, 16, 18}. З’ясуйте різницю між множинами A і B, а також симетричну різницю між ними.
Рішення - враховуючи,
бази даних
A = {10, 15, 17, 19, 20}
і B = {15, 16, 18}
Різниця між обома наборами -
A - B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 17, 19, 20}
Симетрична різниця між обома наборами -
A Δ B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 16, 17, 18, 19, 20}
Питання 2 - Припустимо, що у вас є набори A = {2, 4, 6, 8} і B = {2, 5, 7, 8}. Знайдіть симетричну різницю B Δ A. Крім того, намалюйте діаграму Венна, щоб відобразити симетричну різницю між обома наборами.
рішення - Дано A = {2, 4, 6, 8} і B = {2, 5, 7, 8}
Ми знаємо, що B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
Спробуємо вирішити питання крок за кроком. Отже, перший крок — знайти об’єднання множини A і множини B.
Тому (B ∪ A) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 5, 6, 7, 8}
Після цього ми повинні обчислити перетин між обома наборами.
(B ∩ A) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {2, 8}
Тепер ми повинні знайти різницю між об’єднанням і перетином множин A і B, як зазначено у формулі,
Отже, (B ∪ A) - (B ∩ A) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 8}
= {4, 5, 6, 7}
Отже, B Δ A = {4, 5, 6, 7}
Яке буде дорівнювати A Δ B, як зазначено вище, «симетрична різниця є комутативною». Тепер ми покажемо симетричну різницю між обома наборами за допомогою діаграми Венна.
На діаграмі Венна спочатку ми намалюємо два кола, що представляють множини A і B. Як обчислено вище, перетин між обома множинами дорівнює {2, 8}, тому ми перерахували ці елементи в області перетину. Потім ми перераховуємо елементи, що залишилися, у відповідних колах наборів, тобто {4, 6} у наборі A та {5, 7} у наборі B. Після розташування елементів діаграма Венна матиме такий вигляд:
Коли ми дивимося на наведену вище діаграму Венна, то існує універсальна множина U. Обидві множини A і B є підмножиною універсальної множини U. Елементи {2, 8} є пересічними елементами, тому вони представлені в області перетину. Область зі світло-помаранчевим кольором є об’єднанням множин, за винятком області перетину. Ця область є симетричною різницею між множинами A і B і буде представлена як -
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A) = {4, 5, 6, 7}
Питання 3 - Припустимо, що у вас є набори A = {5, 6, 8, 9, 10} і B = {2, 4, 7, 10, 19}.
Доведіть, що симетрична різниця є комутативною за допомогою даних множин.
рішення - Дано A = {5, 6, 8, 9, 10} і B = {2, 7, 8, 9, 10}
Щоб довести: A Δ B = B Δ A
Візьміть LHS,
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
(A ∪ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10})
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(A ∩ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Отже, A Δ B = {2, 5, 6, 7}
Тепер візьміть RHS
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
(B ∪ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(B ∩ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Отже, B Δ A = {2, 5, 6, 7}
Отже, A Δ B = B Δ A
Отже, симетрична різниця комутативна.