Перш ніж обговорювати критерій Рауса-Гурвіца, спочатку ми вивчимо стабільну, нестабільну та гранично стабільну систему.

Стабільна система: Якщо всі корені характеристичного рівняння лежать на зліва половини площини S, то система називається стабільною.Гранично стабільна система: Якщо всі корені системи лежать на уявній осі площини «S», то система називається гранично стабільною.Нестабільна система: Якщо всі корені системи лежать на правильно половини площини S, то система називається нестабільною.

Постановка критерію Рауса-Гурвіца

Критерій Рауса Гурвіца стверджує, що будь-яка система може бути стабільною тоді і тільки тоді, коли всі корені першого стовпця мають однаковий знак, а якщо він не має однакового знаку або є зміна знаку, то кількість змін знака в першому стовпці дорівнює числу коренів характеристичного рівняння в правій половині s-площини, тобто дорівнює числу коренів з позитивними дійсними частинами.

Необхідні, але недостатні умови для стабільності

Ми повинні дотримуватися деяких умов, щоб зробити будь-яку систему стабільною, або ми можемо сказати, що є деякі необхідні умови, щоб зробити систему стабільною.

Розглянемо систему з характеристичним рівнянням:

1. Усі коефіцієнти рівняння повинні мати однаковий знак.
2. Не повинно бути пропущеного терміна.

Якщо всі коефіцієнти мають однаковий знак і немає пропущених членів, ми не гарантуємо, що система буде стабільною. Для цього використовуємо Критерій Рауса Гурвіца перевірити стабільність системи. Якщо наведені вище умови не виконуються, то систему називають нестійкою. Цей критерій наведено A. Hurwitz і E.J. Раут.

Переваги критерію Рауса-Гурвіца

1. Ми можемо знайти стійкість системи, не розв’язуючи рівняння.
2. Ми можемо легко визначити відносну стійкість системи.
3. За допомогою цього методу ми можемо визначити діапазон K для стабільності.
4. За допомогою цього методу ми також можемо визначити точку перетину геометричного місця кореня з уявною віссю.

Обмеження критерію Рауса-Гурвіца

1. Цей критерій застосовний тільки для лінійної системи.
2. Він не забезпечує точного розташування полюсів на правій і лівій половині площини S.
3. У випадку характеристичного рівняння воно справедливе лише для дійсних коефіцієнтів.

Критерій Рауса-Гурвіца

Розглянемо наступну характеристику Поліном

Коли всі коефіцієнти a0, a1, ......................an мають однаковий знак і жоден не дорівнює нулю.

Крок 1 : Розташуйте всі коефіцієнти наведеного вище рівняння у два рядки:

Крок 2 : З цих двох рядів ми сформуємо третій ряд:

Крок 3 : Тепер ми сформуємо четвертий рядок, використовуючи другий і третій рядки:

Крок 4 : Продовжимо цю процедуру формування нових рядків:

приклад

Перевірити стійкість системи, характеристичне рівняння якої задано

s<sup>4</sup> + 2s<sup>3</sup>+6s<sup>2</sup>+4s+1 = 0 

Рішення

Отримайте стрілку коефіцієнтів наступним чином

Оскільки всі коефіцієнти в першому стовпчику мають один знак, тобто додатні, то дане рівняння не має коренів з додатними дійсними частинами; отже, система називається стабільною.