Логіка висловлювань — це розділ математики, який вивчає логічні зв’язки між пропозиціями (або твердженнями, реченнями, твердженнями), узятими як ціле та з’єднаними через логічні зв’язки.

У цій статті ми детально розглянули пропозиційну логіку та пов’язані з нею теми.

Зміст

• Що таке логіка?
• Пропозиційна логіка
• Таблиця істинності
• 1. Заперечення
• 2. Сполучник
• 3. Диз'юнкція
• 4. Виключне або
• 5. Підтекст
• 6. Двоумовна або подвійна імплікація

Що таке логіка?

Логіка є основою всіх математичних міркувань і всіх автоматизованих міркувань. Правила логіки визначають значення математичних тверджень. Ці правила допомагають нам зрозуміти й аргументувати такі твердження, як:

exists~x~such~that~x~ eq~a^2~+~b^2,~where~:x,~a,~bin~Z

Що простою англійською означає Існує ціле число, яке не є сумою двох квадратів .

Значення математичної логіки

Правила логіки надають точного значення математичним твердженням. Ці правила використовуються для розрізнення дійсних математичних аргументів від недійсних. Окрім важливості для розуміння математичних міркувань, логіка має численні застосування в інформатиці, починаючи від проектування цифрових схем до створення комп’ютерних програм і перевірки правильності програм.

Пропозиційна логіка

Що таке пропозиція? Пропозиція є основним будівельним блоком логіки. Воно визначається як декларативне речення, яке є Істинним або Хибним, але не обома. The Цінність правди пропозиції є Істинним (позначається як T), якщо це істинне твердження, і False (позначається як F), якщо це хибне твердження. Наприклад,

1. Сонце сходить на сході і заходить на заході.
2. 1 + 1 = 2
3. «b» — голосна.

Усі наведені вище речення є пропозиціями, де перші два мають значення Valid(True), а третє – Invalid(False). Деякі речення, які не мають істинного значення або можуть мати більше одного істинного значення, не є пропозиціями. Наприклад,

1. Котра година?
2. Виходь і грай
3. х + 1 = 2

Наведені вище речення не є пропозиціями, оскільки перші два не мають істинного значення, а третє може бути істинним або хибним. Представляти пропозиції, пропозиційні змінні використовуються. Згідно з умовами, ці змінні представлені малими алфавітами, такими якp,:q,:r,:s . Область логіки, яка має справу з пропозиціями, називається пропозиційне числення або пропозиційна логіка . Це також включає створення нових пропозицій з використанням існуючих. Речення, побудовані за допомогою одного або кількох речень, називаються складені пропозиції . Пропозиції поєднуються разом за допомогою Логічні сполучники або Логічні оператори .

Пропозиційна логіка

скільки міст в США

Таблиця істинності

Оскільки нам потрібно знати істинну цінність пропозиції в усіх можливих сценаріях, ми розглядаємо всі можливі комбінації пропозицій, які об’єднані разом логічними зв’язками, щоб утворити дану складну пропозицію. Ця компіляція всіх можливих сценаріїв у табличному форматі називається a таблиця істинності . Найпоширеніші логічні сполучники-

1. Заперечення

Якщоp це пропозиція, то запереченняp позначається eg p , що в перекладі на просту англійську означає- Це не так стор або просто ні стор . Істинна цінність -стор протилежне істинному значенню стор . Таблиця істинності -стор це:

приклад, Заперечення слова «Сьогодні йде дощ», це не те, що сьогодні йде дощ або просто «Сьогодні дощ не йде».

2. Сполучник

Для будь-яких двох пропозиційp іq , їх сполучення позначаєтьсяpwedge q , що означаєp іq . Сполучникpwedge q істинно, коли обидваp іq є True, інакше False. Таблиця істинностіpwedge q це:

приклад, Сполучення пропозиційp – Сьогодні п’ятниця іq – Сьогодні йде дощ,pwedge q Сьогодні п'ятниця і сьогодні йде дощ. Це твердження вірне лише в дощову п’ятницю і хибне в будь-який інший дощовий день або в п’ятницю, коли дощу немає.

3. Диз'юнкція

Для будь-яких двох пропозиційp іq , їх диз'юнкцію позначаютьpvee q , що означаєp абоq . Диз'юнкціяpvee q є Істинним, коли будь-якеp абоq є True, інакше False. Таблиця істинностіpvee q це:

приклад, Диз'юнкція пропозиційp – Сьогодні п’ятниця іq – Сьогодні йде дощ,pvee q Сьогодні п'ятниця або сьогодні йде дощ. Це твердження є істинним у будь-який день, який є п’ятницею або дощовим днем ​​(включаючи дощові п’ятниці), і є хибним у будь-який день, окрім п’ятниці, коли також не йде дощ.

рядок для символу в java

4. Виключне або

Для будь-яких двох пропозиційp іq , їх виключний або позначаєтьсяpoplus q , що означає абоp абоq але не обидва. Ексклюзивний абоpoplus q є Істинним, коли будь-якеp абоq є True і False, коли обидва є істинними або обидва є хибними. Таблиця істинностіpoplus q це:

приклад, Ексклюзив або пропозиційp – Сьогодні п’ятниця іq – Сьогодні йде дощ,poplus q Або сьогодні п'ятниця, або сьогодні йде дощ, але не обидва. Це твердження є істинним у будь-який день, який є п’ятницею або дощовим днем ​​(не включаючи дощову п’ятницю), і є хибним у будь-який день, окрім п’ятниці, коли не йде дощ або дощова п’ятниця.

5. Підтекст

Для будь-яких двох пропозиційp іq , твердження ifp потімq називається імплікацією і позначаєтьсяp ightarrow q . У підтекстіp ightarrow q ,p називається гіпотеза або антецедент або приміщення іq називається висновок або наслідок . Підтекст єp ightarrow q також називається a умовне твердження . Наслідок є хибним, колиp правда іq є хибним, інакше воно є істинним. Таблиця істинностіp ightarrow q це:

Хтось може задатися питанням, чому такp ightarrow q правда колиp є помилковим. Це тому, що імплікація гарантує, що колиp іq істинні, то імплікація істинна. Але підтекст нічого не гарантує, коли передумоваp є помилковим. З тих пір неможливо дізнатися, чи є наслідок хибнимp не сталося. Ця ситуація схожа на позицію «Невинний, поки не доведено винуватість», що означає підтекстp ightarrow q вважається істинним, доки не буде доведено, що воно не так. Оскільки ми не можемо викликати наслідкиp ightarrow q false колиp є хибним, наша єдина альтернатива — назвати це істинним.

Це випливає з Принцип вибуху який говорить: Хибне твердження означає будь-що. Умовні твердження відіграють дуже важливу роль у математичному міркуванні, тому різноманітна термінологія використовується для вираженняp ightarrow q , деякі з яких наведено нижче.

Якщо p, тоді qp достатньо для qq, коли pa необхідною умовою для p є qp, лише якщо qq, якщо тільки ≠pq не випливає з p

приклад, Якщо п’ятниця, то сьогодні йде дощ – це пропозиція формиp ightarrow q . Наведене вище твердження є істинним, якщо це не п’ятниця (передумова хибна) або якщо зараз п’ятниця і йде дощ, і воно є хибним, коли п’ятниця, але дощу немає.

6. Двоумовна або подвійна імплікація

Для будь-яких двох пропозиційp іq , заяваp якщо і тільки якщо (якщо)q називається біумовою і позначаєтьсяpleftrightarrow q . Заяваpleftrightarrow q також називається a бі-імплікація .pleftrightarrow q має таке ж істинне значення, що й(p ightarrow q) wedge (q ightarrow p) Наслідок вірний, колиp іq має однакові значення істини, а в іншому випадку є хибним. Таблиця істинностіpleftrightarrow q це:

Деякі інші поширені способи вираженняpleftrightarrow q є:

p є необхідним і достатнім для q, якщо p, тоді q, і навпаки, p, якщо q

Наприклад, сьогодні йде дощ тоді і тільки тоді, коли сьогодні п’ятниця. це пропозиція, яка має формуpleftrightarrow q . Наведене вище твердження є істинним, якщо зараз не п’ятниця і не йде дощ, або якщо зараз п’ятниця і йде дощ, і воно є хибним, якщо зараз не п’ятниця або дощ не йде. Вправа:

java читання csv

1) Розгляньте такі твердження:

• П: Хороші мобільні телефони коштують недешево.
• З: Дешеві мобільні телефони не є гарними.
• L: P означає Q
• M: Q означає P
• N: P еквівалентно Q

Що з наведеного нижче про L, M і N є ПРАВИЛЬНИМ? (Gate 2014)

(А) Тільки L є ІСТИННИМ.

(Б) Тільки М є ІСТИННИМ.

(C) Тільки N є ІСТИННИМ.

(D) L, M і N є ІСТИННИМИ.

Рішення див ВОРОТА | GATE-CS-2014-(Набір-3) | Питання 11

2) Що з наведеного нижче не еквівалентно p?q (Gate 2015)

(A)( eg p vee q)wedge(p vee eg q ) (B)( eg p vee q)wedge(q ightarrow p ) (C)( eg p wedge q)vee(p wedge eg q ) (D)( eg p wedge eg q)vee(p wedge q )

Рішення див ВОРОТА | GATE-CS-2015 (Набір 1) | Питання 65