Логіка предикатів має справу з предикатами, які є пропозиціями, складаються зі змінних.

Логіка предикатів - Визначення

Предикат — це вираження однієї або кількох змінних, визначених у певній області. Предикат зі змінними можна зробити пропозицією шляхом або авторизації значення для змінної, або кількісного визначення змінної.

• Вважайте, що E(x, y) позначає 'x = y'
• Вважайте, що X(a, b, c) позначає 'a + b + c = 0'
• Вважайте, що M(x, y) означає «x одружений на y».

Квантор:

Змінна предикатів квантифікується кванторами. У логіці предикатів є два типи кванторів - екзистенціальний квантор і універсальний квантор.

Екзистенційний квантор:

Якщо p(x) є пропозицією над всесвітом U. Тоді це позначається як ∃x p(x) і читається як «Існує принаймні одне значення у всесвіті змінної x таке, що p(x) є істинним. Квантор ∃ називається екзистенціальним квантором.

Є кілька способів написати пропозицію з екзистенційним квантором, тобто

(∃x∈A)p(x) або ∃x∈A таке, що p (x) або (∃x)p(x) або p(x) є істинним для деякого x ∈A.

Універсальний квантор:

Якщо p(x) є пропозицією над всесвітом U. Тоді це позначається як ∀x,p(x) і читається як «Для кожного x∈U,p(x) є істинним». Квантор ∀ називається універсальним квантором.

Є кілька способів написати пропозицію з універсальним квантором.

∀x∈A,p(x) або p(x), ∀x ∈A Або ∀x,p(x) або p(x) вірно для всіх x ∈A.

Заперечення кількісних пропозицій:

Коли ми заперечуємо кількісно визначену пропозицію, тобто коли універсально кількісно визначену пропозицію заперечуємо, ми отримуємо екзистенційно кількісно визначену пропозицію, а коли екзистенційно кількісно визначену пропозицію заперечуємо, ми отримуємо універсально кількісно визначену пропозицію.

Два правила заперечення кількісної пропозиції такі. Їх також називають законом ДеМоргана.

Приклад: заперечуйте кожну з наступних пропозицій:

1.∀x p(x)∧ ∃ y q(y)

сонце: ~.∀x p(x)∧ ∃ y q(y))
≅~∀ x p(x)∨∼∃yq (y) (∴∼(p∧q)=∼p∨∼q)
≅ ∃ x ~p(x)∨∀y∼q(y)

2. (∃x∈U) (x+6=25)

сонце: ~( ∃ x∈U) (x+6=25)
≅∀ x∈U~ (x+6)=25
≅(∀ x∈U) (x+6)≠25

3. ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y)

сонце: ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y))
≅~∃ x p(x)∧~∀ y q(y) (∴~(p∨q)= ∼p∧∼q)
≅ ∀ x ∼ p(x)∧∃y~q(y))

Речення з кількома кванторами:

Пропозицію, що має більше ніж одну змінну, можна кількісно визначити за допомогою кількох кванторів. Кілька універсальних кванторів можна розташувати в будь-якому порядку, не змінюючи значення результуючої пропозиції. Крім того, численні екзистенціальні квантори можуть бути розташовані в будь-якому порядку, не змінюючи значення пропозиції.

Пропозиція, яка містить як універсальні, так і екзистенціальні квантори, порядок цих кванторів не може бути змінений без зміни значення пропозиції, наприклад, пропозиція ∃x ∀ y p(x,y) означає «Існує деякий x такий, що p (x, y) вірно для кожного y.'

приклад: Напишіть заперечення для кожного з наступних. Визначте, чи є отримане твердження істинним чи хибним. Припустимо, U = R.

1.∀ x ∃ m(x²

сонце: Заперечення ∀ x ∃ m(x²2≧m). Значення ∃ x ∀ m (x²≧m) полягає в тому, що для деякого x існує таке, що x²≧m, для кожного m. Твердження вірне, оскільки існує деяке більше x таке, що x²≧m, для кожного m.

приклад підрядка в java

2. ∃ m∀ x(x²

сонце: Заперечення ∃ m ∀ x (x²2≧m). Значення ∀ m∃x (x²≧m) полягає в тому, що для кожного m існує деяке x таке, що x²≧м. Твердження вірне, оскільки для кожного m існує деяке більше x таке, що x²≧м.