Перестановка та комбінація є найбільш фундаментальними поняттями в математиці, і з цими поняттями учні знайомляться з новою галуззю математики, тобто з комбінаторикою. Перестановка та комбінування — це способи впорядкувати групу об’єктів шляхом вибору їх у певному порядку та формування їхніх підмножин.

Для розташування груп даних у певному порядку використовуються формули перестановки та комбінування. Вибір даних або об’єктів з певної групи називається перестановкою, тоді як порядок, у якому вони розташовані, називається комбінацією.

Перестановки та комбінації

У цій статті ми вивчимо концепцію перестановки та комбінації та їхні формули, використовуючи їх також для розв’язання багатьох прикладів задач.

Зміст

• Значення перестановки
• Значення поєднання
• Виведення формул перестановки та комбінації
• Різниця між перестановкою та комбінацією
• Розв’язані приклади на перестановку та комбінацію

Значення перестановки

Перестановка — це різні інтерпретації наданої кількості компонентів, які переносяться один за одним, або деякі, або всі одночасно. Наприклад, якщо у нас є два компоненти A і B, то є дві ймовірні продуктивності, AB і BA.

Число перестановок, коли компоненти «r» розташовані із загальної кількості компонентів «n», є ^п П _r . Наприклад, нехай n = 3 (A, B і C) і r = 2 (усі перестановки розміру 2). Тоді є ³ П ₂ таких перестановок, що дорівнює 6. Цими шістьма перестановками є AB, AC, BA, BC, CA і CB. Шість перестановок A, B і C, узятих по три одночасно, показані на зображенні, доданому нижче:

Значення перестановки

Формула перестановки

Формула перестановки використовується для визначення кількості способів вибору r речі з п різні речі в певному порядку, а заміна не допускається і надається таким чином:

Формула перестановки

Пояснення формули перестановки

Як ми знаємо, перестановка — це розташування r елементів із n, де важливий порядок розташування (AB і BA — дві різні перестановки). Якщо є три різні цифри 1, 2 і 3 і якщо комусь цікаво переставити цифри, взявши 2 одночасно, це показує (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3) ), (3, 1) і (3, 2). Тобто це можна зробити 6 способами.

Тут (1, 2) і (2, 1) різні. Знову ж таки, якщо ці 3 цифри використовуватимуться для обробки всіх одночасно, тоді інтерпретації будуть такими (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1). ), (3, 1, 2) і (3, 2, 1), тобто 6 способами.

Загалом, n різних речей можна встановити, взявши r (r^тисріч може бути будь-якою з решти n – (r – 1) речей.

Отже, повна кількість перестановок n різних речей, що несуть r одночасно, дорівнює n(n – 1)(n – 2)…[n – (r – 1)], що записується як^пП_r. Або, іншими словами,

old{{}^nP_r = frac{n!}{(n-r)!} }

Значення поєднання

Це окремі розділи спільної кількості компонентів, які переносяться один за одним, або деякі, або всі одночасно. Наприклад, якщо є два компоненти A і B, то є лише один спосіб вибрати дві речі, вибрати їх обидві.

Наприклад, нехай n = 3 (A, B і C) і r = 2 (усі комбінації розміру 2). Тоді є ³ C ₂ таких комбінацій, що дорівнює 3. Ці три комбінації — AB, AC і BC.

Ось, поєднання будь-яких двох літер із трьох літер A, B і C, показано нижче, ми помічаємо, що в поєднанні порядок, у якому беруться A і B, не важливий, оскільки AB і BA представляють ту саму комбінацію.

Значення поєднання

Примітка: У цьому ж прикладі ми маємо різні точки для перестановки та комбінації. Оскільки AB і BA є двома різними елементами, тобто двома різними перестановками, але для вибору AB і BA є однаковими, тобто тією ж комбінацією.

Формула поєднання

Формула комбінації використовується для вибору «r» компонентів із загальної кількості «n» компонентів і визначається як:

Формула поєднання

Використовуючи наведену вище формулу для r і (n-r), ми отримуємо той самий результат. Таким чином,

old{{}^nC_r = {}^nC_{(n-r)}}

Пояснення формули комбінації

Комбінація, з іншого боку, є різновидом пачки. Знову ж таки, з цих трьох чисел 1, 2 і 3, якщо набори створено з двох чисел, тоді комбінації будуть (1, 2), (1, 3) і (2, 3).

Тут (1, 2) і (2, 1) ідентичні, на відміну від перестановок, де вони різні. Це записується як³C₂. Загалом кількість комбінацій з n різних речей, взятих r за раз, становить

old{{}^nC_r = frac{n!}{r! imes(n-r)!} = frac{{}^nP_r}{r!}}

Виведення формул перестановки та комбінації

Ми можемо вивести ці формули перестановки та комбінації, використовуючи основні методи підрахунку, оскільки ці формули представляють одне й те саме. Виведення цих формул виглядає наступним чином:

Формула виведення перестановок

Перестановка — це вибір r різних об’єктів із n об’єктів без заміни, і там, де порядок вибору важливий, за фундаментальною теоремою підрахунку та визначенням перестановки ми отримуємо

P (n, r) = n. (n-1) . (n-2) . (n-3). . . . .(n-(r+1))

Множенням і діленням вище на (n-r)! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2). . . . .3. 2. 1, отримуємо

P (n, r) = [n.(n−1).(n−2)….(nr+1)[(n−r)(n−r−1)(n-r)!] / (n-r) !

⇒ P (n, r) = n!/(n−r)!

Таким чином, отримано формулу для P (n, r).

кнопка для центрування css

Формула виведення комбінацій

Комбінація — це вибір r елементів із n елементів, коли порядок вибору не має значення. Його формула розраховується як

C(n, r) = Загальна кількість перестановок / Кількість способів упорядкування r різних об’єктів.
[Оскільки за фундаментальною теоремою підрахунку ми знаємо, що кількість способів упорядкування r різних об’єктів r способами = r!]

C(n,r) = P (n, r)/ r!

⇒ C(n,r) = n!/(n−r)!r!

Таким чином, отримано формулу для комбінації, тобто C(n, r).

Різниця між перестановкою та комбінацією

Відмінності між перестановкою і комбінацією можна зрозуміти за такою таблицею:

Також перевірте,

• Біноміальна теорема
• Біноміальне розширення
• Біноміальні випадкові величини
• Основна теорема рахунку

Розв’язані приклади на перестановку та комбінацію

Приклад 1: Знайдіть кількість перестановок і комбінацій n = 9 і r = 3 .

рішення:

Дано n = 9, r = 3

Використовуючи наведену вище формулу:

Для перестановки:

^пП_r= (n!) / (n – r)!

⇒^пП_r= (9!) / (9 – 3)!

⇒^пП_r= 9! /6! = (9 × 8 × 7 × 6! )/ 6!

⇒ ^п П _r = 504

Для поєднання:

^пC_r= n!/r!(n − r)!

⇒^пC_r= 9!/3!(9 − 3)!

⇒^пC_r= 9!/3!(6)!

⇒^пC_r= 9 × 8 × 7 × 6!/3!(6)!

⇒ ^п C _r = 84

Приклад 2: Скількома способами комітет, що складається з 4 чоловіків і 2 жінок, може бути обраний з 6 чоловіків і 5 жінок?

рішення:

Виберіть 4 чоловіків із 6 чоловіків =⁶C₄способів = 15 шляхів

Виберіть 2 жінки з 5 жінок =⁵C₂способів = 10 шляхів

Комітет може бути обраний в⁶C₄×⁵C₂= 150 способів.

Приклад 3: Скількома способами можна розставити 5 різних книг на полиці?

рішення:

Це проблема перестановки, оскільки порядок книг має значення.

Використовуючи формулу перестановки, отримуємо:

⁵П₅= 5! / (5 – 5)! = 5! / 0! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Отже, є 120 способів розкласти 5 різних книг на полиці.

Приклад 4: Скільки слів із 3 букв можна скласти, використовуючи букви слова БАЙКА?

рішення:

Це проблема перестановки, оскільки порядок літер має значення.

Використовуючи формулу перестановки, отримуємо:

⁵П₃= 5! / (5 – 3)! = 5! / 2! = 5 х 4 х 3 = 60

Отже, існує 60 слів із 3 букв, які можна скласти, використовуючи літери слова FABLE.

Приклад 5: Комісію з 5 членів необхідно сформувати з групи з 10 осіб. Скількома способами це можна зробити?

рішення:

Це проблема комбінування, оскільки порядок членів не має значення.

Використовуючи формулу комбінування, отримуємо:

¹⁰C₅= 10! / (5! х (10 – 5)!) = 10! / (5! х 5!)

⇒¹⁰C₅= (10 x 9 x 8 x 7 x 6) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 252

Отже, є 252 способи сформувати комітет із 5 членів із групи з 10 осіб.

Приклад 6. Піцерія пропонує 4 різні начинки для своєї піци. Якщо клієнт хоче замовити піцу рівно з 2 начинками, якими способами це можна зробити?

рішення:

Це проблема поєднання, оскільки порядок начинки не має значення.

Використовуючи формулу комбінування, отримуємо:

⁴C₂= 4! / (2! х (4 – 2)!) = 4! / (2! x 2!) = (4 x 3) / (2 x 1) = 6

Тому є 6 способів замовити піцу рівно з 2 начинками з 4 різних начинок.

Приклад 7: Наскільки значущі слова можна створити, використовуючи 2 літери з терміна LOVE?

рішення:

Термін ЛЮБОВ складається з 4 різних букв.

Отже, необхідна кількість слів =⁴П₂= 4! / (4 – 2)!

Необхідна кількість слів = 4! / 2! = 24/2

⇒ Необхідна кількість слів = 12

Приклад 8: З 5 приголосних і 3 голосних скільки слів можна скласти з 3 приголосних і 2 голосних?

рішення:

Кількість способів вибору 3 приголосних з 5 =⁵C₃

Кількість способів вибору 2 голосних із 3 =³C₂

Кількість способів вибору 3 приголосних з 2 і 2 голосних з 3 =⁵C₃׳C₂

⇒ Необхідне число = 10 × 3

= 30

Це означає, що ми можемо мати 30 груп, де кожна група містить загалом 5 букв (3 приголосні та 2 голосні).

Кількість способів розташування 5 букв між собою

= 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Отже, необхідна кількість шляхів = 30 × 120

⇒ Необхідна кількість шляхів = 3600

Приклад 9: скільки різних комбінацій ви отримаєте, якщо у вас є 5 елементів і виберете 4?

рішення:

Вставте дані числа в рівняння комбінацій і розв’яжіть. n – кількість предметів у наборі (5 у цьому прикладі); r — це кількість елементів, які ви обираєте (4 у цьому прикладі):

C(n, r) = n! / р! (n – r)!

⇒^пC_r= 5! / 4! (5-4)!

⇒^пC_r= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (4 × 3 × 2 × 1 × 1)

⇒^пC_r= 120/24

⇒^пC_r= 5

Рішення 5.

Приклад 10: З 6 приголосних і 3 голосних скільки виразів з 2 приголосних і 1 голосної можна створити?

рішення:

Кількість способів виділення 2 приголосних із 6 =⁶C₂

Кількість способів вибору 1 голосної з 3 =³C₁

Кількість способів виділення 3 приголосних з 7 і 2 голосних з 4.

⇒ Необхідні способи =⁶C₂׳C₁

⇒ Необхідні способи = 15 × 3

⇒ Необхідні шляхи= 45

Це означає, що ми можемо мати 45 груп, де кожна група містить загалом 3 літери (2 приголосні та 1 голосну).

Кількість способів розташування 3 букв між собою = 3! = 3 × 2 × 1

⇒ Необхідні способи розташування трьох букв = 6

Отже, шукана кількість шляхів = 45 × 6

⇒ Необхідні шляхи = 270

Приклад 11: У скількох різних формах чи можна літери слова «ТЕЛЕФОН» розташувати таким чином, щоб голосні були однорідними прийти разом?

рішення:

Слово «ТЕЛЕФОН» складається з 5 букв. У ньому є голосні «O», «E», і ці 2 голосні повинні постійно з’являтися разом. Таким чином, ці дві голосні можна згрупувати та розглядати як одну букву. Тобто PHN(OE).

Тому ми можемо взяти загальну кількість літер, наприклад 4, і всі ці букви є різними.

Кількість способів упорядкування цих листів = 4! = 4 × 3 × 2 × 1

⇒ Необхідні способи розташування букв = 24

Усі 2 голосні (OE) є різними.

Кількість способів розташування цих голосних між собою = 2! = 2 × 1

⇒ Необхідні способи розташування голосних = 2

Отже, шукана кількість шляхів = 24 × 2

⇒ Необхідні шляхи = 48.

Поширені запитання про перестановки та комбінації

Що таке факторна формула?

Для розрахунку перестановок і комбінацій використовується факторіальна формула. Формула факторіала для n! дається як

n! = n × (n-1) × . . . × 4 × 3 × 2 × 1

Наприклад, 3! = 3 × 2 × 1 = 6 і 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Що робить ^п C _r представляти?

^пC_rпредставляє кількість комбінацій, з яких можна створити п взяття предметів r зараз.

Що ви маєте на увазі під перестановками та комбінаціями?

Перестановка — це акт розташування речей у певному порядку. Комбінації - це способи відбору r предмети з групи п об’єктів, де порядок вибраного об’єкта не впливає на загальну комбінацію.

Напишіть приклади перестановок і комбінацій.

Кількість слів із 3 літер, які можна скласти, використовуючи літери слова says, HELLO;⁵П₃= 5!/(5-3)! це приклад перестановки.
Кількість сполучень, у яких ми можемо написати слова, використовуючи голосні слова HELLO;⁵C₂=5!/[2! (5-2)!], це приклад комбінації.

Напишіть формулу для знаходження перестановок і комбінацій.

• Формула для обчислення перестановок: ^п Pr = n!/(n-r)!
• Формула розрахунку комбінацій: ^п Cr = n!/[r! (n-r)!]

Напишіть кілька реальних прикладів перестановок і комбінацій.

Сортування людей, цифр, літер і кольорів є деякими прикладами перестановок.
Вибір меню, одягу, предметів - приклади поєднань.

Яке значення 0!?

Значення 0! = 1, дуже корисний при розв’язанні задач перестановки та комбінування.