Трикутник Паскаля являє собою числовий шаблон, розташований у трикутній формі. Цей трикутник надає коефіцієнти для розкладання будь-якого біноміального виразу з числами, організованими таким чином, що вони утворюють трикутну форму. тобто другий рядок у трикутнику Паскаля представляє коефіцієнти в (x+y)²і так далі.

У трикутнику Паскаля кожне число є сумою двох наведених вище чисел. Трикутник Паскаля має різні застосування в теорії ймовірностей, комбінаториці, алгебрі та інших галузях математики.

Давайте дізнаємося більше про Трикутник Паскаля, його побудова та різні шаблони в трикутнику Паскаля докладно в цій статті.

Зміст

• Що таке трикутник Паскаля?
• Що таке трикутник Паскаля?
• Визначення трикутника Паскаля
• Конструкція трикутника Паскаля
• Формула трикутника Паскаля
• Біноміальне розширення трикутника Паскаля
• Як використовувати трикутник Паскаля?
• Шаблони трикутників Паскаля
• Додавання рядків
• Прості числа в трикутнику Паскаля
• Діагоналі в трикутнику Паскаля
• Послідовність Фібоначчі в трикутнику Паскаля
• Властивості трикутника Паскаля
• Приклади трикутника Паскаля

Що таке трикутник Паскаля?

Він названий на честь відомого філософа і математика Баліза «Паскаля», який розробив схему чисел, що починаються з 1, а числа під ними є сумою цих чисел. Спочатку запишіть цифру 1, щоб почати складати трикутник Паскаля. Другий рядок знову записаний двома одиницями. Інші рядки генеруються з використанням попередніх рядків, щоб створити трикутник чисел. Кожен рядок починається і закінчується цифрою 1.

Основна структура трикутника Паскаля показана на зображенні, доданому нижче,

Що таке трикутник Паскаля?

Ми визначаємо трикутник Паскаля як базовий набір чисел, розташованих у трикутному масиві таким чином, що кожен елемент у трикутнику Паскаля є сумою двох чисел над ним. Трикутник Паскаля починається з 1, і це вперше було запропоновано відомим французьким математиком Балізом Паскалем і тому названо трикутником Паскаля.

Цей трикутник представляє коефіцієнти біноміального розкладання для різних степенів. (ми маємо переконатися, що ступінь у біноміальному розкладі є лише натуральним числом, тоді лише трикутник Паскаля представляє коефіцієнти в біноміальному розкладі).

Визначення трикутника Паскаля

Трикутник Паскаля — це трикутний масив чисел, у якому кожне число є сумою двох, розташованих безпосередньо над ним.

Конструкція трикутника Паскаля

Ми можемо легко побудувати трикутник Pad=scal, просто додавши два числа з наведеного вище рядка, щоб отримати наступне число в рядку нижче. Ми можемо припустити, що нульовий рядок починається з одного елемента 1, а потім елементом у другому рядку є 1 1, який утворюється додаванням 1+0 і 1+0. Подібним чином елементи у другому рядку 1 2 1 2 утворюються шляхом додавання 1+0, 1+1 і 1+0, і таким чином виходять елементи в третьому рядку. Розширюючи цю концепцію до n-го рядка, ми отримуємо трикутник Паскаля з n+1 рядками.

Трикутник Паскаля до 3-го рядка показано на зображенні нижче,

З наведеного вище малюнка ми легко помітимо, що перший і останній елементи в кожному рядку дорівнюють 1.

Формула трикутника Паскаля

Формула трикутника Паскаля — це формула, яка використовується для знаходження числа, яке потрібно заповнити в m-му стовпці та n-му рядку. Як ми знаємо, члени в трикутнику Паскаля є сумою членів у наведеному вище рядку. Отже, нам потрібні елементи в (n-1)-му рядку та (m-1)-му та n-му стовпцях, щоб отримати необхідне число в m-му стовпці та n-му рядку.

Читайте детально: Формула трикутника Паскаля

центральна кнопка в css

Задано елементи n-го рядка трикутника Паскаля,^пC₀,^пC₁,^пC₂, …,^пC_п.

Формула для знаходження будь-якого числа в трикутнику Паскаля така:

^п См = ^n-1 C _м-1 + ^n-1 C _м

Де,

• ^п C _м представляє (m+1)-й елемент у n-му рядку., і
• п є невід’ємним цілим числом [0 ≤ m ≤ n]

Ми можемо зрозуміти цю формулу, використовуючи приклад, розглянутий нижче,

Приклад: знайдіть третій елемент у третьому рядку трикутника Паскаля.

рішення:

Нам потрібно знайти 3-й елемент у 3-му рядку трикутника Паскаля.

Формула трикутника Паскаля:

^пC_k=^n-1C_k-1+^n-1C_k

де^пC_kпредставити (k+1)^тиселемент у н^тисрядок.

Таким чином, 3-й елемент у 3-му рядку є,

³C₂=²C₁+²C₂

⇒³C₂= 2 + 1

⇒³C₂= 3

Таким чином, третій елемент у третьому рядку трикутника Паскаля дорівнює 3.

Біноміальне розширення трикутника Паскаля

Ми можемо легко знайти коефіцієнт при біноміальне розширення за допомогою трикутника Паскаля. Елементи в (n+1) рядку трикутника Паскаля представляють коефіцієнт розгорнутого виразу полінома (x + y)^п.

Ми знаємо, що розширення (x + y)^пє,

(x + y)^п= а₀х^п+ а₁х^n-1і + а₂х^n-2і²+ … + а_n-1xy^n-1+ а_пі^п

Тут а₀, а₁, а₂, а₃, …., а_пє членом у (n+1)-му рядку трикутника Паскаля

Наприклад, подивіться розширення (x+y)⁴

(x + y)⁴=⁴C₀х⁴+⁴C₁х³і +⁴C₂х²і²+⁴C₃xy³+⁴C₄х⁰і⁴

⇒ (x + y)⁴= (1)x⁴+ (4)x³y + (6)x²і²+ (4)xy³+ (1)y⁴

Тут коефіцієнти 1, 4, 6, 4 і 1 є елементами четвертого рядка трикутника Паскаля

Як використовувати трикутник Паскаля?

Ми використовуємо трикутник Паскаля, щоб знайти різні випадки можливих результатів в умовах ймовірності. Це можна зрозуміти з наступного прикладу: кинувши монету один раз, ми отримуємо два результати, тобто H і T, це представлено елементом у першому рядку трикутника Паскаля.

Подібним чином кинувши монету двічі, ми отримаємо три результати, тобто {H, H}, {H, T}, {T, H} і {T, T}. Ця умова представлена ​​елементом у другому рядку трикутника Паскаля.

Таким чином, ми можемо легко визначити можливу кількість результатів експерименту з підкиданням монети, просто спостерігаючи за відповідними елементами в трикутнику Паскаля.

Таблиця нижче розповідає нам про випадки, коли монету підкидають один раз, два рази, три рази та чотири рази, і її відповідність трикутнику Паскаля

Шаблони трикутників Паскаля

Ми спостерігаємо різні закономірності в трикутнику Паскаля:

• Додавання рядків
• Прості числа в трикутнику
• Діагоналі в трикутнику Паскаля
• Шаблон Фібоначчі

Додавання рядків

Уважно спостерігаючи за трикутником Паскаля, можна зробити висновок, що сума будь-якого рядка в трикутнику Паскаля дорівнює степеню 2. Формула для того самого: Для будь-якого (n+1)^тису рядку трикутника Паскаля сума всіх елементів дорівнює 2^п

Застосовуючи цю формулу до перших 4 рядків трикутника Паскаля, ми отримуємо,

1 = 1 = 2⁰

1 + 1 = 2 = 2¹

1 + 2 + 1 = 4 = 2²

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³

Прості числа в трикутнику Паскаля

Інша дуже цікава закономірність у трикутнику Паскаля полягає в тому, що якщо рядок починається з простого числа (нехтуючи 1 на початку кожного рядка), то всі елементи в цьому рядку діляться на це просте число. Ця закономірність не діє для складених чисел.

Наприклад, восьмий рядок у трикутнику Паскаля:

1 7 21 35 35 21 7 1

Тут усі елементи діляться на 7.

Для рядків, що починаються зі складених чисел, наприклад п’ятого рядка,

1 4 6 4 1

Шаблон не відповідає дійсності, оскільки 4 не ділить 6.

Діагоналі в трикутнику Паскаля

Кожна права діагональ трикутника Паскаля, якщо розглядати її як послідовність, представляє різні числа, наприклад, перша права діагональ представляє послідовність чисел 1, друга права діагональ представляє трикутні числа, третя права діагональ представляє тетраедральні числа, четверта права діагональ представляє числа Пенелопи тощо.

Послідовність Фібоначчі в трикутнику Паскаля

Ми можемо легко отримати послідовність Фібоначчі, просто склавши числа в діагоналях трикутника Паскаля. Цей шаблон показано на зображенні, доданому нижче,

Властивості трикутника Паскаля

Різні властивості трикутника Паскаля:

• Кожне число в трикутнику Паскаля є сумою числа над ним.
• Початкове і кінцеве число в трикутнику Паскаля завжди дорівнює 1.
• Перша діагональ у трикутнику Паскаля представляє натуральне число або числа для підрахунку.
• Сума елементів у кожному рядку трикутника Паскаля задана з використанням ступеня 2.
• Елементи в кожному рядку - це цифри степеня числа 11.
• Трикутник Паскаля є симетричним трикутником.
• Елементи в будь-якому рядку трикутника Паскаля можна використовувати для представлення коефіцієнтів біноміального розкладання.
• Уздовж діагоналі трикутника Паскаля ми спостерігаємо числа Фібоначчі.

Статті за темою Трикутник Паскаля:

• Біноміальна теорема
• Біноміальні випадкові величини та біноміальний розподіл

Приклади трикутника Паскаля

Приклад 1: Знайдіть п'ятий рядок трикутника Паскаля.

рішення:

Трикутник Паскаля з 5 рядками показаний на зображенні нижче,

Приклад 2: Розгорніть за допомогою трикутника Паскаля (a + b) ² .

рішення:

Спочатку запишіть загальні вирази без коефіцієнтів.

(а + б)²= c₀a²b⁰+ c₁a¹b¹+ c₂a⁰b²

Тепер давайте побудуємо трикутник Паскаля на 3 рядки, щоб знайти коефіцієнти.

Значення останнього рядка дають нам значення коефіцієнтів.

в₀= 1, c₁= 2, c₂=1

(а + б)²= а²b⁰+ 2а¹b¹+ а⁰b²

Таким чином перевірено.

Приклад 3: Розгорніть за допомогою трикутника Паскаля (a + b) ⁶ .

рішення:

Спочатку запишіть загальні вирази без коефіцієнтів.

(а + б)⁶= c₀a⁶b⁰+ c₁a⁵b¹+ c₂a⁴b²+ c₃a³b³+ c₄a²b⁴+ c₅a¹b⁵+ c₆a⁰b⁶

Тепер побудуємо трикутник Паскаля на 7 рядків, щоб знайти коефіцієнти.

Значення останнього рядка дають нам значення коефіцієнтів.

в₀= 1, c₁= 6, c₂= 15, c₃= 20, c₄=15, c₅= 6 і c₆= 1.

(а + б)⁶= 1а⁶b⁰+ 6а⁵b¹+ 15а⁴b²+ 20а³b³+ 15а²b⁴+ 6а¹b⁵+ 1а⁰b⁶

Приклад 4: знайдіть другий елемент у третьому рядку трикутника Паскаля.

рішення:

Нам потрібно знайти 2-й елемент у 3-му рядку трикутника Паскаля.

Ми знаємо, що n-й рядок трикутника Паскаля є^пC₀,^пC₁,^пC₂,^пC_3…

Формула трикутника Паскаля:

^пC_k=^n-1C_k-1+^n-1C_k

де^пC_kпредставити (k+1)^тиселемент у н^тисрядок.

Таким чином, 2-й елемент у 3-му рядку є,

³C₁=²C₀+²C₁

= 1 + 2

= 3

Таким чином, другий елемент у третьому рядку трикутника Паскаля дорівнює 3.

Приклад 5: Монету підкидають чотири рази, знайдіть ймовірність отримати рівно 2 решки.

рішення:

Використовуючи формулу трикутника Паскаля,

Загальна кількість результатів = 2⁴= 16 (1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16)

Тут ми отримуємо чотири випадки, в яких ми отримуємо 2 хвости,

Таким чином,

Імовірність отримання двох хвостів = сприятливий результат/загальний результат

= 4/16 = 1/4

Таким чином, ймовірність отримати рівно два хвости становить 1/4 або 25%

Резюме – Трикутник Паскаля

Трикутник Паскаля — це трикутна система чисел, де кожне число є сумою двох чисел, розташованих безпосередньо над ним. Названий на честь математика Блеза Паскаля, цей трикутник починається з однієї 1 угорі, а кожен рядок починається й закінчується 1. Числа в трикутнику Паскаля відповідають коефіцієнтам у біноміальному розкладі, що робить його корисним в алгебрі, ймовірності та комбінаторика. Шаблони в трикутнику включають суми рядків, які є степенями 2, зв’язки з послідовністю Фібоначчі та наявність простих чисел. Трикутник Паскаля також корисний для обчислення комбінацій і розуміння результатів імовірнісних експериментів, наприклад підкидання монети.

Поширені запитання про трикутник Паскаля

Що таке трикутник Паскаля?

Трикутний масив чисел, запропонований відомим математиком Балізом Паскалем, називається трикутником Паскаля. Цей трикутник починається з 1, а в наступному рядку початкове та кінцеве числа фіксуються рівними 1, тоді середнє число генерується, беручи суму двох наведених вище чисел.

Для чого використовується трикутник Паскаля?

Трикутники Паскаля мають різноманітне застосування,

• Він використовується для знаходження біноміального коефіцієнта біноміального розкладання.
• Він забезпечує альтернативний спосіб розширення біноміальних членів.
• Він використовується в алгебрі, теорії ймовірностей, перестановках і комбінаціях та інших розділах математики.

Яке використання трикутника Паскаля в біноміальному розширенні?

Ми використовуємо трикутник Паскаля, щоб легко знайти коефіцієнт будь-якого члена в біноміальному розкладі. Будь-який рядок трикутника Паскаля (скажімо, n-й) представляє коефіцієнт біноміального розкладання (x+y)^п. Наприклад, другий рядок трикутника Паскаля дорівнює 1 2 1, а розкладання (x+y)²

(x+y)²= х²+ 2xy + y²

Тут коефіцієнт кожного члена дорівнює 1 2 1, що нагадує 2-й рядок трикутника Паскаля.

Які різні візерунки можна знайти в трикутнику Паскаля?

Різноманітні моделі, які ми легко знаходимо в трикутнику Паскаля:

• Трикутний візерунок
• Парний і непарний візерунок
• Візерунок Фібоначчі
• Симетричний візерунок

Що таке 5^тисРядок трикутника Паскаля?

П'ятий рядок трикутника Паскаля представлений нижче,

1 5 10 10 5 1

Ми знаємо, що сума всіх елементів у будь-якому рядку задається за допомогою 2^пде n означає кількість рядків. Таким чином, сума всіх доданків у 5-му рядку дорівнює,

2⁵= 32

Що є першим елементом кожного рядка трикутника Паскаля?

Перший елемент кожного рядка трикутника Паскаля дорівнює 1. Ми називаємо цей член 0-м членом рядка.