Правила логарифмування або правила логарифмування мають вирішальне значення для спрощення складних формулювань, які містять логарифмічні функції. Правила журналу спрощують обчислення логарифмів і керування ними в різноманітних математичних і наукових програмах. З усіх цих правил журналу три найпоширеніші: правило добутку, правило частки та правило ступеня. Крім них, у нас є багато правил логарифмування, які ми обговоримо далі в статті. У цій статті детально розглядаються всі правила для журналів, включаючи похідну та інтеграл, із прикладами правил логарифмування. Отже, давайте почнемо вивчати всі правила логарифмів.

Зміст

• Що таке правила журналу?
• Види логарифмів
• Список правил логарифмування
• Правила природного журналу
• Застосування логарифмів
• Правило добутку логарифмів
• Правило ступеня логарифма
• Часткове правило логарифмів
• Розв’язані приклади правил журналу
• Практичні запитання щодо правил журналу

Що таке правила журналу?

Правила логарифмування в математиці — це правила та закони, які використовуються для спрощення та обробки виразів логарифмічної функції. Ці принципи створюють зв’язки між експоненціальними та логарифмічними формами та дають систематичну техніку для обробки складних логарифмічних обчислень.

Основні правила такі: правило продукту : що дозволяє нам розділити добуток в межах логарифму на суму окремих логарифмів; правило частки : що дозволяє нам розділити частку в межах логарифма на різницю логарифмів; правило потужності: що дозволяє нам витягувати експоненти з логарифма; базове правило перемикання або зміна базового правила : що дозволяє нам змінювати основу логарифма.

Ці закони є вирішальними в багатьох математичних і наукових застосуваннях, що робить логарифми цінним інструментом для розв’язування рівнянь, моделювання експоненційного зростання та аналізу великих обсягів даних.

Види логарифмів

Зазвичай ми маємо справу з двома видами логарифмів:

• Загальний логарифм
• Натуральний логарифм

Примітка: Може бути логарифм з будь-яким дійсним числом як його основа, але ці два, тобто звичайний і натуральний логарифми, є найпоширенішими та стандартними.

Розглянемо ці види докладніше.

Загальний логарифм

Звичайний логарифм, часто відомий як логарифм за основою 10 або просто логарифм, — це математична функція, яка представляє експоненту, до якої потрібно збільшити задане число, щоб досягти заданого числа. Він обчислює ступінь десяти, необхідний для отримання певного числа.

Наприклад, log₁₀(100) дорівнює 2, оскільки 10 у ступені 2 дорівнює 100. Звичайний логарифм 100 у цьому випадку дорівнює 2, показуючи, що 10²= 100. Звичайні логарифми використовуються в багатьох галузях, зокрема в науці, інженерії та фінансах, щоб спростити представлення величезних чисел і допомогти в обчисленнях, які вимагають ступенів 10.

Натуральний логарифм

Натуральний логарифм — це математична функція, яка виражає логарифм за основою «е» (число Ейлера, приблизно 2,71828). Це функція, обернена експоненціальній функції, і представляє проміжок часу, необхідний для збільшення чи зменшення величини на постійний коефіцієнт.

Наприклад, ln (10) ≈ 2,30259 означає, що e, помножене на 2,30259, дорівнює 10. Натуральний логарифм використовується в багатьох областях, включаючи математику, фізику та фінанси, для опису явищ, які демонструють експоненціальне зростання або занепад, наприклад збільшення населення, радіоактивний розпад і обчислення складних відсотків.

Що таке правила логарифмування?

Логарифмічні дії можна проводити за певними правилами. Ці правила відомі як:

• Правило продукту
• Правило частки
• Нульове правило
• Правило тотожності
• Правило степеня або правило експоненціального рівня
• Зміна базового правила
• Взаємне правило

Крім цих загальних правил, ми також можемо мати деякі незвичайні правила, наприклад:

• Обернена властивість логарифма
• Похідна від Log
• Інтеграція журналу

Правило журналу продукту

Відповідно до правила добутку логарифм добутку є сумою логарифмів його елементів.

формула: журнал_a(XY) = журнал_aX + журнал_aІ

приклад: журнал₂(3 × 5) = журнал₂(3) + лог₂(5)

Правило частки логарифму

Правило частки стверджує, що логарифм частки дорівнює різниці логарифмів чисельника та знаменника.

формула: журнал_a(X/Y) = журнал_aX – колода_aІ

приклад: журнал₃(9/3) = журнал₃(9) – лог₃(3)

Нульове правило журналу

Згідно з правилом нуля, логарифм 1 за будь-якою основою завжди дорівнює 0.

формула: журнал_a(1) = 0

приклад: журнал₄(1) = 0

Правило ідентифікації журналу

Відповідно до правила тотожності логарифм самої основи завжди дорівнює 1.

формула: журнал_a(а) = 1

приклад: журнал₇(7) = 1

Взаємне правило

Відповідно до правила зворотних логарифмів, логарифм зворотної величини числа (1 поділено на це число) дорівнює від’ємному логарифму вихідного числа. У математичній нотації:

формула: журнал_a(1/X) = – лог_a(X)

приклад: журнал_a(1/2) = – лог_a(2)

Правило степеня або правило експоненціального логарифму

Згідно зі степеневим правилом, логарифм числа, зведеного до степеня, дорівнює показнику степеня, помноженому на логарифм від основи.

формула: журнал_a(X^п) = n × log_aX

приклад: журнал₅(9²) = 2 × log₅(9)

Зміна базового правила журналу

Правило зміни основи дає змогу обчислити логарифм числа за іншою основою, використовуючи загальний логарифм (зазвичай за основою 10 або основою e). Зміна базового правила також називається Базове правило перемикання.

формула: журнал_a(X) = logᵦ(X) / logᵦ(a)

приклад: журнал₃(7) = журнал₁₀(7) / лог₁₀(3)

Обернена властивість логарифму

Властивість зворотного логарифму стверджує, що обчислення логарифма степеневого значення дає вихідний показник степеня.

формула: журнал_a(aⁿ) = n

приклад: log₄(4²) = 2

Похідна від Log

Похідна натурального логарифма функції — це зворотна величина функції, помножена на похідну функції.

формула: d/dx [ln(f(x))] = f'(x) / f(x)

приклад: Якщо y = ln(x²), тоді dy/dx = 2x / x²= 2/х

Інтеграція журналу

Окрім диференціювання, ми також можемо обчислити інтеграл від логарифма. Інтеграл функції Log задається таким чином:

формула: ∫ln(x) dx = x · ln(x) – x + C = x · (ln(x) – 1) + C

Правила природного журналу

Як природні, так і звичайні колоди мають лише різницю в основі, тому правила для натуральних колод такі ж, як і для звичайної колоди, про які вже йшлося. Єдина відмінність полягає в тому, що в правилах натурального логарифму замість log (символ звичайного логарифму з основою 10) ми використовуємо ln (символ для натурального логарифму з основою e). Ці правила можна сформулювати так:

• ln (mn) = ln m + ln n
• ln (m/n) = ln m – ln n
• в м^п= n ln m
• ln a = (log a) / (log e)
• ln e = 1
• ln 1 = 0
• Це є^{ln x}= х

Застосування логарифмів

Давайте розглянемо деякі застосування log.

• Ми використовуємо логарифми для розрахунку кислотності та лужності хімічних розчинів.
• Для розрахунку інтенсивності землетрусу використовується шкала Ріхтера.
• Рівень шуму вимірюється в децибелах (дБ) за логарифмічною шкалою.
• Логарифми використовуються для аналізу експоненціальних процесів, таких як розпад співвідношення активних ізотопів, розвиток бактерій, поширення епідемії в популяції та охолодження мертвого трупа.
• Логарифм використовується для обчислення терміну погашення кредиту.
• Логарифм використовується в численні для диференціювання складних рівнянь і обчислення площі під кривими.

Правило добутку логарифмів

Згідно з правилом добутку логарифмів, логарифм множення двох доданків дорівнює додаванню логарифмів цих окремих доданків. Іншими словами, це правило виражається як log_b(мн) = журнал_b(м) + лог_b(n). Переходимо до виведення цього правила.

Процес виведення:

Почнемо з припущення log_b(m) = x і log_b(n) = y. Перетворивши обидва в їх експоненціальні форми, ми отримаємо:

журнал_b(m) = x означає m = b^х… (1)

журнал_b(n) = y передбачає n = b^і… (2)

Коли ми помножимо рівняння (1) і (2) разом,

mn = b^{х .}b^і

Використовуючи правила множення степенів,

mn = b^{x + y}

Перетворення назад у логарифмічну форму дає,

журнал_b(mn) = x + y

Замінивши x і y назад,

журнал_b(мн) = журнал_b(м) + лог_b(n)

Таким чином, ми отримали правило добутку логарифмів. Це правило можна використовувати різними способами, наприклад:

log(3a) = log 3 + log a log 10 = log(5×2) = log 5 + log 2 log3(ab) = log3 a + log3 b Важливо зазначити, що правило добутку для логарифмів не застосовується до log (m + n), які не можна розбити на окремі логарифми. Це правило суворо стосується логарифма добутку log(mn).

Правило ступеня логарифма

Правило степеня логарифма стверджує, що коли аргумент логарифма зводиться до степеня, цей показник можна перемістити в початок логарифма. Іншими словами, logb mn = n logb m. Давайте дослідимо виведення цього правила.

Процес виведення:

Почніть із припущення log_bm дорівнює x. Перетворення цього в експоненціальну форму дає нам:

b^х= m

Потім піднесіть обидві частини до степеня n, в результаті чого отримаємо:

локальна дата java

(б^х)^п= m^п

Застосовуючи правило ступеня степеня, виходить:

b^nx= m^п

Переводячи назад в логарифмічну форму, отримуємо:

журнал_bм^п= nx

Замінивши x на log_bм, приходимо до:

журнал_bм^п= n журнал_bм

На цьому виведення правила степеня логарифма закінчено. Нижче наведено кілька прикладів застосування цього правила:

log 3z = z log 3 log y2 = 2 log y log3 yx = x log3 y

Часткове правило логарифмів

Відповідно до правила частки для логарифмів, логарифм від ділення двох чисел є відніманням логарифмів кожного числа.

Зокрема, у правилі зазначено, що журнал_b(м/н) = журнал_bм – колода_bп. Переходимо до виведення цього правила.

Процес виведення:

Припустимо журнал_bm дорівнює x і log_bn дорівнює y. Ми виразимо їх у експоненціальній формі.

журнал_bm = x означає m = b^х… (1)

журнал_bn = y означає n = b^і… (2)

Коли ми ділимо рівняння (1) на рівняння (2),

m/n = b^х/ б^і

Застосовуючи правило частки для експонент,

m/n = b^x–y

Перетворення назад у логарифмічну форму,

журнал_b(m/n) = x – y

Замінивши x і y назад,

журнал_b(м/н) = журнал_bм – колода_bп

Таким чином, ми вивели правило частки для логарифмів. Це правило можна використовувати таким чином:

log (y/3) = log y – log 3

журнал 25 = журнал (125/5) = журнал 125 – журнал 5

log7 (a/b) = log7 a – log7 b

Важливо зауважити, що правило частки нічого не передбачає для log (m – n).

Пов'язані теми:

• Антилогарифмічна таблиця
• Калькулятор журналу
• Натуральний журнал
• Журнал таблиці

Розв’язані приклади правил журналу

Приклад 1: спростіть журнал ₂ (4 × 8).

рішення:

Використовуючи правило добутку, ми розбиваємо добуток на суму логарифмів:

журнал₂(4 × 8) = журнал₂(4) + лог₂(8) = 2 + 3 = 5.

Приклад 2: Спростити журнал ₄ (16/2).

рішення:

Використовуючи правило частки, ми ділимо частку на різницю логарифмів:

журнал₄(16/2) = журнал₄(16) – лог₄(2) = 2 – 0,5 = 1,5.

Приклад 3: Спростити журнал ₅ (25 ³ ).

рішення:

Використовуючи правило ступеня, ми можемо знизити показник степеня як коефіцієнт:

журнал₅(25³) = 3 × log₅(25) = 3 × 2 = 6.

Приклад 4: Перетворення журналу ₃ (7) у вираз з основою 10.

рішення:

Використовуючи правило зміни основи, ми ділимо на логарифм нової основи:

журнал₃(7) = log₁₀(7) / log₁₀(3) ≈ 1,7712

Приклад 5: Оцінка журналу ₇ (49) використовуючи правило зміни основи на основу 2.

рішення:

Використання правила зміни бази з базою 2:

журнал₇(49) = журнал₂(49) / журнал₂(7) = 5 / 1,807 = 2,77 (приблизно).

Практичні запитання щодо правил журналу

Проблема 1: Спростіть вираз: журнал₂(4) + лог₂(8).

Проблема 2: Спрощено: лог₅(25) – лог₅(5).

Проблема 3: Спростіть вираз: журнал₃(9²).

Проблема 4: Експрес журнал₄(25) через звичайні логарифми.

Проблема 5: Спростіть використання правил журналу: log₇(49) + 2 лог₇(3).

Проблема 6: Розв’язати для x: log₂(x) = 3.

Проблема 7: Розв’язати для x: 2^{3x – 1}= 8.

Правила журналу – поширені запитання

Що таке правила логарифмування?

Правила логарифмування — це набір рекомендацій щодо маніпулювання та спрощення формул за допомогою логарифмічних функцій. Вони пропонують систематичний метод для роботи зі складними обчисленнями та взаємодією між експонентами та логарифмами.

Скільки існує основних правил логарифмування?

Правило добутку, правило частки, правило степеня, правило зміни основи та правило зміни основи — усі основні правила логарифмування. Ці принципи дозволяють модифікувати та обчислювати логарифмічні вирази.

Що таке правило логарифмічного добутку?

Згідно з правилом добутку, логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів окремих факторів: logₐ(xy) = logₐx + logₐy.

Що таке два типи логарифмів?

Два найпоширеніші типи логарифмів:

• Загальний логарифм або логарифм за основою 10
• Натуральний логарифм або логарифм за основою e

Що таке правило журналу для зміни бази?

Відповідно до зміни базового правила log, log_a(b)=[log_в(b)]/[лог_в(a)], де c будь-яке додатне дійсне число.

Що таке журнал 0?

Логарифм нуля невідомий. Ми ніколи не отримуємо число 0 шляхом піднесення будь-якого значення до степеня будь-якого іншого значення.

злиття, сортування java

Що таке журнал 1?

Через правило нуля логарифм 1 за будь-якою основою завжди дорівнює 0, тобто log_a(1) = 0.

Що таке логарифм будь-якого числа до самого себе як основи?

Відповідно до правила тотожності логарифм самої основи завжди дорівнює 1, тобто log_a(а) = 1.

Який зв’язок між логарифмами та показниками?

Логарифми та експоненти є оберненими операціями. Логарифм визначає експоненту, необхідну для досягнення певного числа, тоді як експонента підносить основу до експоненти.

Що таке 7 правил логарифмів?

7 правил логарифмів включають

• Правило продукту
• Правило частки
• Правило потужності
• Зміна базових правил
• Нульове правило
• Правило тотожності
• Негативне правило

Ці правила використовуються для спрощення логарифмічних виразів.

Що таке правило логарифмічної експоненти?

Правило логарифмічної експоненти стверджує, що логарифмічна основа b числа a^хдорівнює х, помноженому на логарифм основи b від a, тобто логарифм_ba^х= x log_ba.

У чому ключова різниця між звичайним колодом і природним колодом?

Ключова відмінність між звичайним і натуральним логарифмами полягає в тому, що звичайні логарифми використовують базу 10, тоді як натуральні логарифми використовують як основу математичну постійну «e».

Що таке правило похідної для журналу?

Правило похідної для логарифмічних функцій таке: d/dx[log_b(x)] = 1 / (x ln(b)), де «b» є основою логарифма.

Що таке правило базового перемикання?

Згідно з правилом перемикання основи основу будь-якого логарифма можна змінити на будь-яку іншу бажану основу за допомогою формули: loga(X) = logb(X) / logb(a).