Правило 2

Якщо LHS і RHS виразів поміняти місцями, то нерівність змінюється на протилежну. Це називається зворотною властивістю.

• Якщо a> b, то b
• Якщо a
• Якщо a ≥ b, то b ≤ a
• Якщо a ≤ b, то b ≥ a

Правило 3

Якщо ту саму константу k додати або відняти з обох частин нерівності, то обидві частини нерівності рівні.

• Якщо a> b, то a + k> b + k
• Якщо a> b, то a – k> b – k

Аналогічно для інших нерівностей.

• Якщо
• Якщо
• Якщо a ≤ b, то a + k ≤ b + k
• Якщо a ≤ b, то a – k ≤ b – k
• Якщо a ≥ b, то a + k ≥ b + k
• Якщо a ≥ b, то a – k ≥ b – k

Напрямок нерівності не змінюється після додавання або віднімання сталої величини.

Правило 4

Якщо k є додатною константою, яку множать або ділять на обидві частини нерівності, то напрямок нерівності не змінюється.

• Якщо a> b, то ak> bk
• Якщо
• Якщо a ≤ b, то ak ≤ bk
• Якщо a ≥ b, то ak ≥ bk

Якщо k є від’ємною константою, яку множать або ділять на обидві частини нерівності, тоді напрямок нерівності стає протилежним.

• Якщо a> b, то ak
• Якщо a> b, то ak
• Якщо a ≥ b, то ak ≤ bk
• Якщо a ≤ b, то ak ≥ bk

Правило 5

Квадрат будь-якого числа завжди більше або дорівнює нулю.

• a²≥ 0

Правило 6

Витягування квадратних коренів з обох сторін нерівності не змінює напрямок нерівності.

• Якщо a> b, то √a> √b
• Якщо
• Якщо a ≥ b, то √a ≥ √b
• Якщо a ≤ b, то √a ≤ √b

Графік для нерівностей

Нерівності є або з однією змінною, або з двома, або ми маємо систему нерівностей, усі вони можуть бути зображені на декартовій площині, якщо вона містить лише дві змінні. Нерівності з однією змінною відображаються на дійсних лініях, а дві змінні – на декартовій площині.

Інтервальні позначення для нерівностей

Важливі моменти для запису інтервалів для нерівностей:

• У разі більшого і рівного ( ≥ ) або менше ніж дорівнює ( ≤ ), кінцеві значення включено, тому використовуються закриті або квадратні дужки [ ].
• У разі більшого ніж ( > ) або менше ( < ), кінцеві значення виключаються, тому використовуються відкриті дужки ().
• Для позитивної та негативної нескінченності використовуються відкриті дужки ().

У наступній таблиці представлено інтервали для різних нерівностей:

Графік для лінійних нерівностей з однією змінною

З наступної таблиці ми можемо зрозуміти, як побудувати різні лінійні нерівності з однією змінною на реальній лінії.

Нерівність	Інтервал	Графік
х> 1	(1, ∞)	Лінійні нерівності з однією змінною
х <1	(-∞, 1)
x ≥ 1	[1, ∞)
x ≤ 1	(-∞, 1]

Графік для лінійних нерівностей із двома змінними

Розглянемо приклад лінійної нерівності з двома змінними.

Розглянемо лінійну нерівність 20x + 10y ≤ 60, оскільки можливими розв’язками заданої нерівності є (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0 ,5), (0,6), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1) ), (2,2), (3,0), а також усі точки поза цими точками також є розв’язком нерівності.

Побудуємо графік за поданими розв’язками.

Заштрихована область на графіку представляє можливі рішення заданої нерівності.

Читайте також

• Графічне розв’язування лінійних нерівностей двох змінних

Види нерівностей

Існують різні типи нерівностей, які можна класифікувати наступним чином:

• Поліноміальні нерівності: Поліноміальні нерівності — це нерівності, які можна представити у вигляді многочленів. Приклад - 2x + 3 ≤ 10.
• Нерівності абсолютних значень: Абсолютні нерівності — це нерівності в межах знака абсолютної величини. Приклад - |y + 3| ≤ 4.
• Раціональні нерівності: Раціональні нерівності — це нерівності, у яких разом зі змінними є дроби. Приклад- (x + 4) / (x – 5) <5.

Як розв’язувати нерівності

Щоб розв’язати нерівності, ми можемо скористатися наступними кроками:

• Крок 1: Запишіть нерівність у вигляді рівняння.
• Крок 2: Розв’яжіть рівняння та отримайте корені нерівностей.
• крок 3: Отримані значення зобразіть на числовій прямій.
• крок 4: Позначте виключені значення також на числовій прямій за допомогою відкритих кружечків.
• крок 5: Знайдіть проміжки від числової прямої.
• Крок 6: Візьміть випадкове значення з кожного інтервалу, помістіть ці значення в нерівність і перевірте, чи воно задовольняє нерівність.
• Крок 7: Розв’язком нерівності є проміжки, які задовольняють нерівність.

Як розв’язувати поліноміальні нерівності

До поліноміальних нерівностей належать лінійні нерівності, квадратні нерівності, кубічні нерівності тощо. Тут ми навчимося розв’язувати лінійні та квадратні нерівності.

Розв’язування лінійних нерівностей

Лінійні нерівності можна розв’язувати як лінійні рівняння, але відповідно до правила нерівностей. Лінійні нерівності можна розв’язувати за допомогою простих алгебраїчних операцій.

Одно- або двоступеневі нерівності

Однокрокова нерівність — це нерівності, які можна розв’язати за один крок.

Приклад: розв’язати: 5x <10

рішення:

⇒ 5x <10 [Ділення обох сторін на 5]

⇒ x <2 або (-∞, 2)

Двокрокова нерівність — це нерівності, які можна розв’язати за дві дії.

Приклад: розв’язати: 4x + 2 ≥ 10

рішення:

⇒ 4x + 2 ≥ 10

перетворити рядок на int у java

⇒ 4x ≥ 8 [віднімання 2 з обох сторін]

⇒ 4x ≥ 8 [Поділивши обидві сторони на 4]

⇒ x ≥ 2 або [2, ∞)

Складені нерівності

Складені нерівності — це нерівності, які містять кілька нерівностей, розділених символами і або або. Щоб розв’язати складені нерівності, розв’яжіть нерівності окремо, а для остаточного розв’язку виконайте перетин отриманих розв’язків, якщо нерівності розділені знаком і та об’єднайте отримані розв’язки, якщо нерівності розділені знаком або.

Приклад: розв’яжіть: 4x + 6 <10 і 5x + 2 < 12

рішення:

Спочатку розв’яжіть 4x + 6 <10

⇒ 4x + 6 <10 [віднімання 6 з обох сторін]

⇒ 4x <4

⇒ x <1 або (-∞, 1) —–(i)

Друге рішення 5x + 2 <12

⇒ 5x + 2 <12 [віднімання 2 з обох сторін]

⇒ 5x < 10

⇒ x <2 або (-∞, 2) ——-(ii)

З (i) і (ii) ми маємо два розв’язки x <1 і x < 2.

Ми беремо перетин для остаточного розв’язку, оскільки нерівності розділені та.

⇒ (-∞, 1) ∩ (-∞, 2)

⇒ (-∞, 1)

Остаточним розв’язком заданої складеної нерівності є (-∞, 1).

Детальніше

• Складені нерівності
• Текстові задачі лінійних нерівностей
• Нерівність трикутника

Розв’язування квадратних нерівностей

Розглянемо приклад вирішення нерівностей за абсолютними значеннями.

Приклад: Розв’язати нерівність: х ² – 7x + 6 ≥ 0

рішення:

Ось кроки для вирішення нерівності: x²– 7x + 6 ≥ 0

Крок 1: Запишіть нерівність у вигляді рівняння:

x²– 7x + 6 = 0

Крок 2: Розв'язати рівняння:

x²– 7x + 6 = 0

x²– 6x – x + 6 = 0

фабричний метод проектування

x(x – 6) – 1(x – 6) = 0

(x – 6) (x – 1) = 0

x = 6 і x = 1

З вищенаведеного кроку ми отримуємо значення x = 6 і x = 1

крок 3: З наведених вище значень інтервали (-∞, 1], [1, 6], [6, ∞)

Оскільки нерівність ≥ містить дорівнює, тому ми використовуємо закриті дужки для отриманих значень.

крок 4: Представлення інтервалів у числовому рядку.

крок 5: Візьміть випадкові числа між кожним інтервалом і перевірте, чи він задовольняє значення. Якщо він задовольняє, то включите інтервал у розв’язок.

Для інтервалу (-∞, 1] нехай випадкове значення буде -1.

Поклавши x = -1 у нерівність x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ (-1)²– 7(-1) + 6 ≥ 0

⇒ 1 + 7 + 6 ≥ 0

⇒ 14 ≥ 0 (правда)

Для інтервалу [1, 6] нехай випадкове значення дорівнює 2.

Поклавши x = 0 у нерівність x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 2²– 7(2) + 6 ≥ 0

⇒ 4 – 14 + 6 ≥ 0

⇒ -4 ≥ 0 (Хибне)

Для інтервалу [6, ∞) нехай випадкове значення буде 7.

Поклавши x = 7 у нерівність x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 7²– 7(7) + 6 ≥ 0

⇒ 49 – 49 + 6 ≥ 0

⇒ 6 ≥ 0 (правда)

Крок 6: Отже, рішення за модулем нерівності x²– 7x + 6 ≥ 0 – це інтервал (-∞, 1] ∪ [6, ∞), оскільки він задовольняє нерівність, яку можна позначити на числовій прямій як:

Як розв’язати абсолютні нерівності

Розглянемо приклад вирішення нерівностей за абсолютними значеннями.

Приклад: Розв’яжіть нерівність: |y + 1| ≤ 2

рішення:

Ось кроки для вирішення нерівності: |y + 1| ≤ 2

Крок 1: Запишіть нерівність у вигляді рівняння:

|y + 1| = 2

Крок 2: Розв'язати рівняння:

y + 1 = ∓ 2

y + 1 = 2 і y + 1 = – 2

y = 1 і y = -3

З вищенаведеного кроку ми отримуємо значення y = 1 і y = -3

крок 3: З наведених вище значень інтервали (-∞, -3], [-3, 1], [1, ∞)

Оскільки нерівність ≤ містить дорівнює, тому ми використовуємо закриті дужки для отриманих значень.

крок 4: Представлення інтервалів у числовому рядку.

крок 5: Візьміть випадкові числа між кожним інтервалом і перевірте, чи він задовольняє значення. Якщо він задовольняє, то включите інтервал у розв’язок.

Для інтервалу (-∞, -3] нехай випадкове значення буде -4.

Поклавши y = -4 у нерівність |y + 1| ≤ 2

⇒ |-4+ 1| ≤ 2

екземпляр

⇒ |-3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (Хибне)

Для інтервалу [-3, 1] нехай випадкове значення дорівнює 0.

Поклавши y = 0 у нерівність |y + 1| ≤ 2

⇒ |0+ 1| ≤ 2

⇒ |1| ≤ 2

⇒ 1 ≤ 2 (правда)

Для інтервалу [1, ∞) нехай випадкове значення буде 2.

Поклавши y = 2 у нерівність |y + 1| ≤ 2

⇒ |2+ 1| ≤ 2

⇒ |3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (Хибне)

Крок 6: Отже, розв’язок нерівності за модулем |y + 1| ≤ 2 є інтервалом [-3, -1], оскільки він задовольняє нерівність, яка може бути зображена на числовій прямій як:

Як розв’язувати раціональні нерівності

Розглянемо приклад розв’язання раціональних нерівностей.

Приклад: Розв’яжіть нерівність: (x + 3) / (x – 1) <2

рішення:

Нижче наведено кроки для вирішення нерівності:

Крок 1: Запишіть нерівність у вигляді рівняння: (x + 3) / (x – 1) <2

(x + 3) / (x – 1) = 2

Крок 2: Розв'язати рівняння:

(x + 3) / (x – 1) = 2

(x + 3) = 2(x – 1)

х + 3 = 2x – 2

2x – x = 3 + 2

х = 5

З вищевказаного кроку ми отримуємо значення x = 5

крок 3: З наведених вище значень інтервали (-∞,1), (1, 5), (5, ∞)

Оскільки, нерівність є

Оскільки для x = 1 нерівність не визначена, тому ми беремо відкриту дужку для x = 1.

крок 4: Представлення інтервалів у числовому рядку.

крок 5: Візьміть випадкові числа між кожним інтервалом і перевірте, чи він задовольняє значення. Якщо він задовольняє, то включите інтервал у розв’язок.

Для інтервалу (-∞, 1) нехай випадкове значення дорівнює 0.

Поклавши x = 0 у нерівність (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (0 + 3) / (0 – 1) <2

⇒ 3 / (-1) <2

⇒ -3 <2 (правда)

Для інтервалу (1, 5) нехай випадкове значення дорівнює 2.

Розмістивши x = 3 у нерівності (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (3 + 3) / (3 – 1) <2

⇒ 6 / 2 <2

⇒ 3 <2 (Хибне)

Для інтервалу (5, ∞) нехай випадкове значення буде 2.

Розмістивши y = 6 у нерівності (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (6 + 3) / (6 – 1) <2

⇒ 9/5 <2

⇒ 1,8 <2 (правда)

Крок 6: Отже, розв’язок нерівності за модулем (x + 3) / (x – 1) <2 є інтервалом (-∞, 1) ∪ (5, ∞), оскільки він задовольняє нерівність, яка може бути зображена на числовій прямій як:

Як розв’язати лінійну нерівність із двома змінними

Розглянемо приклад вирішення лінійної нерівності з двома змінними.

приклад: Розв’язати: 20x + 10y ≤ 60

рішення:

Розглянемо x = 0 і впишемо його в задану нерівність

⇒ 20x + 10y ≤ 60

кортеж сортування python

⇒ 20(0) + 10y ≤ 60

⇒ 10 років ≤ 60

⇒ і ≤ 6 ——(і)

Тепер, коли x = 0, y може бути від 0 до 6.

Подібним чином введіть значення в нерівність і перевірте, чи вона задовольняє нерівність.

Для x = 1 y може бути від 0 до 4.

Для x = 2 y може бути від 0 до 2.

Для x = 3 y може дорівнювати 0.

Можливим розв’язком заданої нерівності є (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0,5), (0,6), ( 1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1), (2,2), (3, 0).

Системи нерівностей

Системи нерівностей — це сукупність двох або більше нерівностей з однією або кількома змінними. Системи нерівностей містять множинні нерівності з однією або кількома змінними.

Система нерівностей має вигляд:

a_{одинадцять}x₁+ а₁₂x₂+ а₁₃x₃…….. + а_1нx_{п 1}

a_{двадцять один}x₁+ а₂₂x₂+ а₂₃x₃…….. + а_2нx_{п 2}

a_n1x₁+ а_n2x₂+ а_n3x₃…….. + а_ппx_{п п}

Графічне зображення систем нерівностей

Система нерівностей – це група кратних нерівностей. Спочатку розв’яжіть кожну нерівність і побудуйте для кожної нерівності графік. Перетин графіка всіх нерівностей являє собою графік для систем нерівностей.

Розглянемо приклад,

Приклад: Побудуйте графік для систем нерівностей

• 2x + 3y ≤ 6
• x ≤ 3
• y ≤ 2

рішення:

Графік для 2x + 3y ≤ 6

Заштрихована область графіка представляє 2x + 3y ≤ 6

Графік для x ≤ 3

Заштрихована область означає x ≤ 3

Графік для y ≤ 2

Заштрихована область представляє y ≤ 2

Графік для заданої системи нерівностей

Заштрихована область представляє задану систему нерівностей.

Нерівності – FAQ

Що таке поняття нерівності?

Нерівності — це математичні вирази, у яких LHS і RHS виразу нерівні.

Які символи позначають нерівності?

Символи нерівностей:>, <, ≥, ≤ і ≠.

Що таке транзитивна властивість нерівностей?

Властивість транзитивності нерівностей стверджує, що якщо a, b, c три числа, то

• Якщо a> b і b> c, то a> c
• Якщо
• Якщо a ≥ b і b ≥ c, то a ≥ c
• Якщо a ≤ b і b ≤ c, то a ≤ c