У геометрії додаткові кути можна визначити як ті кути, сума яких дорівнює 90 градусам. Наприклад, 39° і 51° є додатковими кутами, тому що сума 39° і 51° дорівнює 90°. Якщо сума двох кутів є прямим кутом, то можна сказати, що вони є доповняльними кутами. Але що таке кут? У геометрії кутом називають простір, утворений між двома променями, коли вони з’єднані спільною точкою, яка називається вершиною. Якщо θ є кутом, то (90° – θ) є додатковим кутом θ.
Щоб два кути були доповнювальними, їх сума повинна дорівнювати 90 градусам, тобто обидва кути повинні бути гострими. Якщо θ є кутом, то (90° – θ) є додатковим кутом θ.
Види додаткових кутів
Два кути називаються додатковими, якщо їх сума дорівнює 90°. У геометрії існує два типи додаткових кутів, тобто суміжні додаткові кути та несуміжні додаткові кути.
Суміжні додаткові кути: Два додаткових кути, що мають спільну вершину і спільне плече, називають суміжними доповняльними кутами.
З наведеного малюнка можна сказати, що ∠QEF і ∠DEQ є суміжними кутами, оскільки обидва кути мають спільну вершину E і спільне плече EQ. Оскільки ∠QEF + ∠DEQ = 17° + 73° = 90°, ∠QEF і ∠DEQ також є додатковими кутами. Отже, два дані кути є суміжними доповняльними кутами.
Несуміжні додаткові кути: Два кути називаються несуміжними, якщо вони не мають спільної вершини та спільного плеча. Несуміжні доповняльні кути — це доповняльні кути, які не є суміжними.
З наведеного малюнка можна сказати, що ∠XYZ і ∠ABC є несуміжними кутами, оскільки обидва кути не мають спільної вершини та спільного плеча. ∠XYZ і ∠ABC також є додатковими кутами, оскільки їх сума дорівнює 90°, тобто ∠XYZ + ∠ABC = 57° + 33° = 90°. Отже, дані два кути є несуміжними доповняльними.
Теорема про додаткові кути
Теорема про додаткові кути стверджує, що Якщо два кути є доповненням до будь-якого третього кута, то перші два кути рівні між собою.
Доказ:
Припустимо, що ∠COB доповнює ∠BOA та ∠DOC.
З визначення додаткових кутів ми отримуємо,
∠COB + ∠BOA = 90° ————— (1)
∠COB + ∠DOC = 90° ————— (2)
З рівнянь (1) і (2) можна сказати, що
∠COB + ∠BOA = ∠COB + ∠DOC
⇒ ∠COB + ∠BOA – ∠COB – ∠DOC = 0
⇒ ∠BOA – ∠DOC = 0
⇒ ∠BOA = ∠DOC
Отже, теорема доведена.
Властивості додаткових кутів
Обговоримо деякі властивості додаткових кутів.
- Пара кутів називається додатковою, якщо сума їх дорівнює 90°.
- Два додаткових кути можуть бути як суміжними, так і несуміжними.
- Кут називається доповненням до іншого кута, якщо сума обох кутів дорівнює 90°.
- Навіть якщо сума трьох або більше кутів дорівнює 90°, вони не можуть бути доповнювальними.
- Два додаткових кути гострі.
Знаходження доповнення кута
Щоб знайти доповнення до кута, нам потрібно відняти заданий кут від 90°, оскільки ми знаємо, що сума двох додаткових кутів дорівнює 90°. Якщо θ є даним кутом, то (90° – θ) є доповненням до θ.
Наприклад, обчисліть доповнення 17°.
Ми знаємо, що сума двох додаткових кутів дорівнює 90°.
У результаті доповнення до 17° становить (90° – 17°) = 73°.
Отже, доповнення до 17° дорівнює 73°.
Різниця між додатковими і додатковими кутами
| Доповняльні кути | Додаткові кути |
|---|---|
| Якщо сума пари кутів дорівнює 90°, то вони називаються доповнювальними. | Якщо сума пари кутів дорівнює 180°, то вони називаються додатковими. |
| (90° – θ) є доповненням до кута θ. | (180° – θ) – доповнення кута θ. |
| Якщо пару доповнювальних з’єднати разом, то вони утворюють прямий кут. | Якщо пару додаткових з'єднати разом, то вони утворюють пряму лінію. |
| Щоб два кути були доповнювальними, їх сума повинна дорівнювати 90 градусам, тобто обидва кути повинні бути гострими. | У двох додаткових кутах один кут гострий, а інший тупий або обидва можуть бути прямими. |
Вирішені проблеми
Завдання 1: Обчисліть значення двох додаткових кутів A і B, якщо A = (2x – 18)° і B = (5x – 52)°.
рішення:
Дані дані,
∠A = (2x – 18)° і ∠B = (5x – 52)°
ми це знаємо,
Сума двох додаткових кутів = 90°
∠A + ∠B = 90°
⇒ (2x – 18)° + (5x – 52)° = 90°
⇒ 7x – 70° = 90°
⇒ 7x = 90° + 70° = 160°
⇒ x = 160°/7 = 22,85°
тепер,
∠A = (2 × (22,857) – 18) = 27,714°
∠B = (5 × (22,857) – 52) = 62,286°
Отже, ∠A = 27,714° і ∠B = 62,286°.
Задача 2: Визначте значення x, якщо (5x/3) і (x/6) є додатковими кутами.
рішення:
Дані дані,
(5x/3) і (x/6) — додаткові кути.
ми це знаємо,
Сума двох додаткових кутів = 90°
⇒ (5x/3) + (x/6) = 90°
⇒ (10x + x)/6 = 90°
⇒ 11x = 90° × 6 = 540°
⇒ x = 540°/11 = 49,09°
Отже, значення х = 49,09°.
Задача 3: Знайдіть значення x на малюнку нижче.
рішення:
З наведеного малюнка видно, що х і 54° є додатковими кутами, тобто сума х і 54° дорівнює 90°.
⇒ x + 54° = 90°
⇒ x = 90° – 54° = 36°
Отже, значення х дорівнює 36°.
Завдання 4: Знайдіть значення у та міру кутів на даному малюнку.
рішення:
З наведеного малюнка видно, що (2y – 15)° і (3y – 25)° є додатковими кутами, тобто сума (2y – 15)° і (3y – 25)° дорівнює 90°.
⇒ (2y – 15)° + (3y – 25)° = 90°
⇒ (5y – 40)° = 90°
⇒ 5y = 90° + 40° = 130°
⇒ y = 130°/5 = 26°
Тепер (2y – 15)° = ( 2 × 26 – 15) = 37°
(3y – 25)° = (3 × 26 – 15) = 53°
Отже, значення y дорівнює 26°, а додаткові кути дорівнюють 37° і 53°.
Задача 5: Визначте значення x і міру додаткових кутів на малюнку нижче.
рішення:
Враховуючи, що (x – 3)° і (2x – 7)° є додатковими кутами, тобто сума (x – 3)° і (2x – 7)° дорівнює 90°.
⇒ (x – 3)° + (2x – 7)° = 90°
⇒ (3x – 10)° = 90°
поїздка але⇒ 3x = 90° + 10° = 100°
⇒ x = 100°/3 = 33,34°
Тепер (x – 3)° = (33,333- 3)° = 30,333° = 30,33°
(2x – 7)° = (2 x (33,333) – 7)° = 59,666° = 59,67°
Отже, значення x дорівнює 33,333°, а три додаткових кути дорівнюють 30,33° і 59,67°.