Квадратний корінь будь-якого числового значення — це значення, яке при самостійному множенні призводить до вихідного числа. «√» — радикальний символ, який використовується для зображення кореня будь-якого числа. Під квадратним коренем ми маємо на увазі ступінь 1/2 цього числа. Наприклад, припустимо, що x є квадратним коренем з будь-якого цілого числа y, це означає, що x=√y. Помноживши eq, ми також отримаємо x²= y.

Квадратний корінь із квадрата позитивного числа дає вихідне число.

Щоб зрозуміти цю концепцію, ми знаємо, що квадрат з 4 дорівнює 16, а квадратний корінь з 16, √16 = 4. Тепер, як ми бачимо, 16 — це повний квадрат. Це полегшує обчислення квадратного кореня з таких чисел. Однак для обчислення квадратного кореня з недосконалого квадрата, наприклад 3, 5, 7 тощо, обчислення кореня є складним процесом.

Функція «квадратний корінь» — це функція «один до одного», яка використовує як вхідні дані додатне число та повертає квадратний корінь із заданого вхідного числа.

f(x) = √x

Властивості квадратних коренів

Ось деякі з важливих властивостей квадратного кореня:

• Для ідеального квадратного числа існує ідеальний квадратний корінь.
• Для числа, яке закінчується парною кількістю нулів, квадратний корінь існує.
• Квадратний корінь із будь-яких від’ємних чисел не визначений.
• Для числа, яке закінчується цифрами 2, 3, 7 або 8, ідеального квадратного кореня не існує.
• Для числа, яке закінчується цифрами 1, 4, 5, 6 або 9, число матиме квадратний корінь.

Як обчислити квадратний корінь?

Ідеальні квадратні числа - це цілі числа, які є додатними за своєю природою і можуть бути легко виражені у вигляді множення числа на саме себе. Ідеальні квадратні числа зображуються як значення степеня 2 будь-якого цілого числа. Обчислення квадратного кореня з ідеальних квадратних чисел порівняно легше. Для отримання квадратного кореня з чисел використовують чотири методи:

• Метод повторного віднімання квадратного кореня
• Квадратний корінь методом розкладання на прості множники
• Квадратний корінь за методом оцінки
• Квадратний корінь методом довгого ділення

Наведені вище три методи можна використовувати для обчислення квадратного кореня з ідеальних квадратних чисел. Однак останній метод можна використовувати для обох типів чисел.

Метод повторного віднімання квадратних коренів

Метод ґрунтується на наступній послідовності кроків:

Крок 1: Від числа, з якого знаходимо квадратний корінь, віднімаємо послідовні непарні числа.

крок 2: Повторюйте крок 1, доки не буде досягнуто значення 0.

крок 3: Кількість повторів кроку 1 — це необхідний квадратний корінь із заданого числа.

Примітка: Цей метод можна використовувати лише для ідеальних квадратів.

Наприклад, для числа 16 метод працює так:

16 – 1 = 15

15 – 3 =12

12 – 5 = 7

7-7 = 0

Процедуру повторюють 4 рази. Отже, √16 = 4.

Квадратний корінь методом розкладання на прості множники

Розкладання будь-якого числа на прості множники — це представлення цього числа у вигляді добутку простих чисел. Метод ґрунтується на наступній послідовності кроків:

Крок 1: Розкладіть вказане число на прості множники.

крок 2: Пара подібних факторів формується таким чином, що обидва фактори в кожній з утворених пар є рівноправними.

логічне значення в c

крок 3: Візьміть один множник з кожної з пар.

крок 4: Добуток множників отримують, беручи по одному множнику з кожної пари.

крок 5: Отриманий добуток є квадратним коренем із заданого числа.

Примітка: Цей метод можна використовувати лише для ідеальних квадратів.

Наприклад, для числа 64 метод працює так:

egin{array}l llap{2~~~~} 64 hline llap{2~~~~} 32 hline llap{2~~~~} 16 hline llap{2~~~~} 8 hline llap{2~~~~} 4 hline llap{2~~~~} 2 hline 1 end{array}

64 = {2 × 2} × {2 × 2} × {2 × 2}

64 = 2²×2²×2²

64 = (2 × 2 × 2)²

64 = (8)²

√64 = 8

селен

Квадратний корінь за методом оцінки

Метод оцінки використовується для наближення квадратного кореня із заданого числа. Він наближає квадратний корінь із числа до розумного припущення фактичного значення. Розрахунки в цьому методі простіше. Однак це дійсно тривалий і трудомісткий процес.

Крок 1: Знайдіть найближчий досконалий квадрат до і після даного числа.

крок 2: Знайдіть наступні найближчі цілі числа та щоразу округляйте їх, щоб отримати найближчу відповідь.

Наприклад, для числа 15 метод працює так:

9 і 16 є ідеальними квадратними числами до і після найближчих до 15. Тепер ми знаємо,

√16 = 4 і √9 = 3. Це означає, що квадратний корінь із числа 15 знаходиться між 3 і 4. Тепер процес включає оцінку того, чи є квадратний корінь із числа 15 ближчим до 3 чи 4.

У першому випадку беремо 3,5 і 4. Квадрат 3,5 = 12,25 і квадратний корінь з 4 = 16. Отже, квадратний корінь із цілого числа 15 лежить між 3,5 і 4 і ближче до 4.

Далі знаходимо квадрати 3,8 і 3,9, які еквівалентні 3,8²= 14,44 і 3,9²= 15,21 відповідно. Це означає, що √15 знаходиться між 3,8 і 3,9. При подальшому обчисленні ми отримуємо, що √15 = 3,872.

Квадратний корінь методом довгого ділення

Метод довгого ділення для обчислення квадратного кореня з чисел передбачає поділ великих чисел на кроки або частини, таким чином розбиваючи задачу на послідовність простих кроків.

Наприклад, для числа 180 метод працює так:

Крок 1: Над кожною парою цифр числа, починаючи з місця одиниці, розміщується смужка.

крок 2: Потім крайнє ліве число ділиться на найбільше число, щоб квадрат був меншим або дорівнював числу в крайній лівій парі.

крок 3: Тепер число під наступною смугою праворуч від залишку зменшено. До діленого додають останню цифру отриманої частки. Тепер наступним кроком буде знайти таке число праворуч від отриманої суми, щоб воно разом із результатом суми утворювало новий дільник для нового дивіденда.

крок 4: Отримане число в частці еквівалентне числу, вибраному в дільнику.

крок 5: Той самий процес повторюється з використанням десяткової коми та попарним додаванням нулів до залишку.

Крок 6: Частка утворює квадратний корінь із числа.

Приклади запитань

Запитання 1. Обчисліть квадратний корінь із 144 методом розкладання на прості множники?

рішення:

egin{array}l llap{2~~~~} 144 hline llap{2~~~~} 72 hline llap{2~~~~} 36 hline llap{2~~~~} 18 hline llap{3~~~~} 9 hline llap{3~~~~} 3 hline 1 end{array}

для циклу bash

144 = {2 × 2} × {2 × 2} × {3 × 3}

144 = 2²×2²×3²

144 = (2 × 2 × 3)²

144 = (12)²

√144 = 12

Питання 2. Який спосіб спростити квадратний корінь?

рішення:

Розклад даного числа на прості множники можна обчислити. Якщо фактор неможливо згрупувати, для їх групування використовується символ квадратного кореня. Для спрощення використовується наступне правило:

√xy = √(x × y), де x і y — натуральні числа.

Наприклад, √12 =sqrt{2 × 2 × 3}= 23

У разі дробів використовується наступне правило:frac{ sqrt{x}}{sqrt{y}} = sqrt{frac{x}{y}}

Наприклад:frac{sqrt50}{sqrt10} = sqrtfrac{50}{10}= √5

Завдання 3. Розв’язати: √(x + 2) = 4

рішення:

Ми знаємо,

√(x + 2) = 4

Зводячи обидві сторони в квадрат, отримуємо;

х + 2 = √4

х + 2 = ±4

х = ±4 – 2

Тому ми маємо,

х = 2 або х = -6

Запитання 4. Чи може квадратний корінь з від’ємного числа бути цілим числом? Поясніть.

рішення:

Ми знаємо, що від’ємні числа не можуть мати квадратний корінь. Причина цього полягає в тому, що якщо два від’ємних числа помножити разом, отриманий результат завжди буде додатним числом. Отже, квадратний корінь з від’ємного числа буде у вигляді комплексного числа.

Питання 5. Обчислити квадратний корінь з 25 методом повторного віднімання?

рішення:

Дотримуючись вищевказаних кроків, ми маємо,

25 – 1 = 24

24 – 3 = 21

21 – 5 = 16

16 – 7 = 9

9 – 9 = 0

Оскільки процес повторюється 5 разів, ми маємо √25 = 5.

java для циклу

Запитання 6. Обчисліть квадратний корінь з 484 за метод довгого поділу?

рішення:

За методом довгого ділення ми маємо,

тепер,

Залишок дорівнює 0, тому 484 є повним квадратом, таким чином,

√484 = 22