Які множники числа 45? 1, 3, 5, 9, 15 і 45.
Цікаво, як я прийшов до цих цифр? Факторинг! Оскільки це забезпечує математичну основу для більш складних систем, навчитися розкладати на множники є ключовим. Отже, незалежно від того, чи ви готуєтеся до іспиту з алгебри, підготовлюєтеся до SAT або ACT, чи просто хочете оновити й запам’ятати, як розкласти числа для вищих порядків математики, це посібник для вас.
Що таке факторинг?
Факторинг - це процес пошуку кожного цілого числа, яке можна помножити на інше ціле число, щоб отримати цільове число . Обидва кратні будуть множниками цільового числа.
Розкладання чисел на множники може здаватися нудним завданням або запам’ятовуванням без кінцевої мети, але розкладання на множники – це техніка, яка допомагає побудувати основу набагато складніших математичних процесів.
Без знання того, як розкладати на множники, було б відверто важко (якщо не неможливо) зрозуміти поліноми та обчислення, і навіть виконувати прості завдання, як-от розділити чек, набагато складніше з’ясувати в голові.
Що таке множники числа 45? Факторинг в дії
Цю концепцію може бути важко уявити, тому давайте розглянемо всі фактори 45, щоб побачити цей процес у дії. Множники числа 45 — це пари чисел, які при перемноженні дорівнюють 45 :
1 & 45 (тому що 1 * 45 = 45)
3 & 15 (тому що 3 * 15 = 45)
5 & 9 (тому що 5 * 9 = 45)
Отже, у формі списку, 45 факторів - це 1, 3, 5, 9, 15 і 45 .
На щастя для нас, для розкладання на множники потрібні лише дві верхні функції на цьому зображенні (ура!)
Розкладання на прості множники та прості множники числа 45
Просте число — це будь-яке ціле число, більше 1, яке може тільки ділиться (рівно) на 1 і саму себе. Список найменших простих чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ... і так далі.
Прем'єр розкладання на множники означає знайти множники простих чисел цільового числа, які при перемноженні дорівнюють цьому цільовому числу. Отже, якщо ми використовуємо 45 як наше цільове число, ми хочемо знайти лише прості множники 45, які потрібно помножити, щоб отримати 45.
Ми знаємо зі списку 45 вище, що лише деякі з цих множників (3 і 5) є простими числами. Але ми також знаємо, що 3 * 5 має значення ні дорівнює 45. Отже, 3 * 5 є неповним розкладанням на прості множники.
Найпростіший спосіб знайти a повний розкладання на прості множники будь-якого даного цільового числа полягає у використанні того, що по суті є «перевернутим» діленням і діленням лише на найменше просте число, яке може вписатися в кожен результат.
Наприклад:
Розділіть цільове число (45) на найменше просте число, яке може бути множником. У цьому випадку це 3.
У підсумку ми отримуємо 15. Тепер розділіть 15 на найменше просте число, яке може бути множником. У цьому випадку це знову 3.
Ми отримуємо результат 5. Тепер розділіть 5 на найменше просте число, яке може бути множником. У цьому випадку це 5.
Це залишає нам 1, тому ми закінчили.
Розкладенням на прості множники буде помножено всі числа на «зовні». Якщо помножити разом, результат буде 45. (Примітка: ми не включаємо 1, оскільки 1 не є простим числом.)
Наше остаточне розкладання 45 на прості множники дорівнює 3 * 3 * 5.
Інший вид Prime.
Складання множників будь-якого числа
Визначаючи фактори, найшвидший спосіб - знайти множник пари як ми робили раніше для всіх множників числа 45. Знаходячи пари, ви скорочуєте свою роботу вдвічі, оскільки ви знаходите і найменший, і найбільший множники одночасно.
Тепер найшвидший спосіб визначити всі пари множників, які вам знадобляться для розкладання цільового числа, — це знайти запасний корінь цільового числа (або квадратний корінь і округлити до найближчого цілого числа) і використовувати це число як зупинка точка для знаходження малих множників.
чому Оскільки ви вже знайшли всі множники, більші за квадрат, знайшовши пари множників менших множників. І ви будете повторювати ці множники, лише якщо продовжите намагатися знайти множники, більші за квадратний корінь.
Не хвилюйтеся, якщо зараз це звучить незрозуміло! Ми попрацюємо на прикладі, щоб показати вам, як можна не витрачати час на повторний пошук тих самих факторів.
Отже, давайте подивимося на дію методу, щоб знайти всі множники числа 64:
Спочатку візьмемо квадратний корінь із 64.
√64 = 8
Тепер ми знаємо тільки зосередитися на цілих числах від 1 до 8, щоб знайти першу половину всіх наших пар факторів.
№1: Наша перша пара факторів буде 1 & 64
№2: 64 є парним числом, тому нашою наступною парою множників будуть 2 і 32.
№3: 64 не можна порівну поділити на 3, тому 3 НЕ є множником.
#4: 64/4 = 16, тому нашою наступною парою множників будуть 4 і 16.
№5: 64 не ділиться на 5 навпіл, тому 5 НЕ є множником 64.
№6: 6 не входить рівномірно в 64, тому 6 НЕ є множником 64.
№7: 7 не йде рівномірно в 64, тому 7 НЕ є множником 64.
#8: 8 * 8 (8 у квадраті) дорівнює 64, тому 8 є множником 64.
І ми можемо зупинитися на цьому, тому що 8 є квадратним коренем із 64. Якби ми продовжували шукати множники, ми б лише повторили більші числа з наших попередніх пар множників (16, 32, 64).
Наш остаточний список множників 64: 1, 2, 4, 8, 16, 32 і 64.
Фактори (як каченята) завжди кращі в парі.
Комбінації швидкого доступу для пошуку факторів
Тепер подивимося, як ми можемо швидко знайти найменші множники (і, отже, пари множників) цільового числа. Нижче я описав кілька корисних прийомів, щоб визначити, чи є числа 1-11 множниками даного числа.
1) Щоразу, коли ви хочете розкласти число, ви завжди можете почати одразу з двох множників: 1 і цільового числа (наприклад, 1 і 45, якщо ви розкладаєте 45). Будь-яке число (окрім 0) завжди можна помножити на 1, щоб дорівнювати самому собі, отже 1 буде завжди бути фактором.
2) Якщо цільове число парне, вашими наступними множниками буде 2 з половиною цільового числа. Якщо число непарне, ви автоматично знаєте, що його не можна поділити порівну на 2, тому 2 НЕ буде множником. (Насправді, якщо цільове число непарне, воно не матиме множників ЖОДНОГО парного числа.)
3) Швидкий спосіб визначити, чи ділиться число на 3, — це скласти цифри цільового числа. Якщо 3 є множником суми цифр, то 3 також є множником цільового числа.
Наприклад, скажімо, наше цільове число 117, і ми повинні його розкласти. Ми можемо визначити, чи є 3 множником, додавши разом цифри цільового числа (117):
1 + 1 + 7 = 9
фрагмент масиву Java
3 можна помножити на 3, щоб отримати 9, тому 3 зможе рівномірно ввійти в 117.
117/3 = 39
3 і 39 є множниками числа 117.
4) Цільове число матиме коефіцієнт 4, лише якщо цільове число парне . Якщо це так, ви можете визначити, чи є 4 фактором, подивившись на результат попередньої пари факторів. Якщо під час ділення цільового числа на 2 результат залишається парним, цільове число також ділиться на 4. Якщо ні, цільове число НЕ матиме коефіцієнта 4.
Наприклад:
18/2 = 9. 18 НЕ ділиться на 4, тому що 9 непарне число.
56/2 = 28. 56 ділиться на 4, оскільки 28 — парне число.
5) 5 буде а множник будь-яких і всіх чисел, що закінчуються цифрами 5 або 0 . Якщо ціль закінчується будь-яким іншим числом, вона не матиме коефіцієнта 5.
6) 6 завжди буде фактором цільового числа якщо цільове число має коефіцієнти 2 і 3 . Якщо ні, 6 не буде фактором.
7) на жаль, немає жодних ярликів, щоб знайти, чи є 7 фактором числа, крім запам'ятовування кратних 7.
8) Якщо ціль число НЕ має множників 2 і 4, воно також не матиме множника 8 . Якщо він має множники 2 і 4, це могутність мають коефіцієнт 8, але вам доведеться поділити, щоб побачити (на жаль, немає жодного хитрого трюку, крім цього та запам’ятовування кратних 8).
9) Ви можете визначити, чи є 9 множником додавання цифр цільового числа разом . Якщо їх сума кратна 9, тоді цільове число має 9 як множник.
Наприклад:
42 → 4 + 2 = 6. 6 НЕ ділиться на 9, тому 9 НЕ є множником 42.
72→ 7 + 2 = 9. 9 ділиться на 9 (очевидно!), тому 9 є множником 72.
10) Якщо ціль число закінчується на 0 , тоді він завжди матиме множник 10. Якщо ні, 10 не буде множником.
одинадцять) Якщо цільове число a двозначне число з повторенням обох цифр (22, 33, 66, 77…), тоді він матиме 11 як множник. Якщо це тризначне число або більше, вам доведеться просто перевірити, чи ділиться воно на 11 самостійно.
12+) На цьому етапі ви, мабуть, уже знайшли свої більші числа, наприклад 12, 13 і 14, знайшовши менші множники та склавши пари множників. Якщо ні, вам доведеться перевірити їх вручну, розділивши їх на цільове число.
Вивчення ваших методів швидкого факторування дозволить усім цим надокучливим шматочкам стати на свої місця.
Поради щодо запам’ятовування 45 факторів
Якщо ваша мета — запам’ятати всі множники числа 45, ви завжди можете скористатися наведеними вище методами для пошуку пар множників.
Квадратний корінь із 45 знаходиться десь між 6 і 7 (6^2 = 36 і 7^2 = 49). Округліть до 6, що буде найбільшим маленьким числом, яке вам потрібно перевірити.
Ви знаєте, що перша пара автоматично буде 1 & 45. Ви також знаєте, що 2, 4 і 6 не будуть множниками, тому що 45 є непарним числом.
4 + 5 = 9, тому 3 буде множником (як і 15, тому що 45/3 = 15).
І, нарешті, 45 закінчується на 5, тому 5 буде множником (як і 9, тому що 45/5 = 9).
Це свідчить про те ти завжди можеш здогадатися множники 45 надзвичайно швидко, навіть якщо ви не запам’ятали точні числа у списку.
Або, якщо ви хочете запам’ятати всі 45 факторів конкретно, ви можете запам’ятати, що, щоб розкласти на множник 45, вам потрібні лише три найменші непарні числа (1, 3, 5) . Тепер просто поєднайте їх із відповідними кратними, щоб отримати 45 (45, 15, 9).
Висновок: чому факторинг важливий
Розкладання на множники є основою для вищих форм математичного мислення, тому навчитися розкладати на множники добре прислужиться вам як у поточних, так і в майбутніх математичних починаннях.
Незалежно від того, чи навчаєтеся ви вперше чи просто знайшли час, щоб оновити свої знання про фактори, вдаючись до розуміння цих процесів (і знаючи прийоми, як отримати ваші фактори найефективніше!), допоможе вам досягти бажаного результату. бути у вашому математичному житті.
Щасливого факторингу!