Велика буква O це потужний інструмент, який використовується в інформатиці для опису часової або просторової складності алгоритмів. Він забезпечує стандартизований спосіб порівняння ефективності різних алгоритмів з точки зору їх найгіршої продуктивності. Розуміння Велика буква O необхідний для аналізу та розробки ефективних алгоритмів.

У цьому підручнику ми розглянемо основи Велика буква O , його значення та як аналізувати складність використання алгоритмів Великий О .

Зміст

• Що таке нотація Big-O?
• Визначення нотації Big-O:
• Чому велике позначення O важливе?
• Властивості нотації великого O
• Загальні позначення великого літери
• Як визначити велике позначення O?
• Математичні приклади аналізу виконання
• Алгоритмічні приклади аналізу часу виконання
• Класи алгоритмів з кількістю операцій і часом виконання
• Порівняння нотації Big O, нотації Big Ω (Омега) і нотації Big θ (Theta)
• Поширені запитання про нотацію Big O

Що таке нотація Big-O?

Великий О , який зазвичай називають Порядок , це спосіб вираження верхня межа часової складності алгоритму, оскільки він аналізує найгірший випадок положення алгоритму. Він забезпечує верхня межа від часу, витраченого на алгоритм, з точки зору розміру вхідних даних. Це позначається як O(f(n)) , де f(n) це функція, яка представляє кількість операцій (кроків), які виконує алгоритм для вирішення проблеми розміру п .

дхармендра вік

Позначення великого літери використовується для опису продуктивності або складності алгоритму. Зокрема, це описує найгірший випадок з точки зору час або складність простору.

Важливий момент:

• Велика буква O описує лише асимптотичну поведінку функції, а не її точне значення.
• The Велика буква O можна використовувати для порівняння ефективності різних алгоритмів або структур даних.

Визначення нотації Big-O:

Дано дві функції f(n) і g(n) , ми це кажемо f(n) є O(g(n)) якщо існують константи c> 0 і п ₀ >= 0 такий, що f(n) <= c*g(n) для усіх n>= n ₀ .

Простіше кажучи, f(n) є O(g(n)) якщо f(n) росте не швидше ніж c*g(n) для всіх n>= n₀де c і n₀є константами.

Чому велике позначення O важливе?

Нотація Big O — це математична нотація, яка використовується для опису найгіршої часової складності чи ефективності алгоритму або найгіршої просторової складності структури даних. Він надає спосіб порівняти продуктивність різних алгоритмів і структур даних і передбачити, як вони поводитимуться зі збільшенням розміру вхідних даних.

Нотація великого O важлива з кількох причин:

• Нотація Big O важлива, оскільки вона допомагає аналізувати ефективність алгоритмів.
• Він надає спосіб описати, як час виконання або вимоги до простору алгоритму зростає зі збільшенням розміру вхідних даних.
• Дозволяє програмістам порівнювати різні алгоритми та вибирати найбільш ефективний для конкретної проблеми.
• Допомагає зрозуміти масштабованість алгоритмів і передбачити, як вони працюватимуть зі збільшенням розміру вхідних даних.
• Дозволяє розробникам оптимізувати код і покращити загальну продуктивність.

Властивості нотації Big O:

Нижче наведено деякі важливі властивості нотації Big O:

1. Рефлексивність:

Для будь-якої функції f(n) f(n) = O(f(n)).

приклад:

f(n) = n², тоді f(n) = O(n²).

2. Транзитивність:

Якщо f(n) = O(g(n)) і g(n) = O(h(n)), то f(n) = O(h(n)).

приклад:

f(n) = n³, g(n) = n², h(n) = n⁴. Тоді f(n) = O(g(n)) і g(n) = O(h(n)). Отже, f(n) = O(h(n)).

3. Постійний фактор:

Для будь-якої константи c> 0 і функцій f(n) і g(n), якщо f(n) = O(g(n)), то cf(n) = O(g(n)).

приклад:

f(n) = n, g(n) = n². Тоді f(n) = O(g(n)). Отже, 2f(n) = O(g(n)).

4. Правило суми:

Якщо f(n) = O(g(n)) і h(n) = O(g(n)), то f(n) + h(n) = O(g(n)).

приклад:

f(n) = n², g(n) = n³, h(n) = n⁴. Тоді f(n) = O(g(n)) і h(n) = O(g(n)). Отже, f(n) + h(n) = O(g(n)).

5. Правило продукту:

Якщо f(n) = O(g(n)) і h(n) = O(k(n)), то f(n) * h(n) = O(g(n) * k(n)) .

приклад:

f(n) = n, g(n) = n², h(n) = n³, k(n) = n⁴. Тоді f(n) = O(g(n)) і h(n) = O(k(n)). Отже, f(n) * h(n) = O(g(n) * k(n)) = O(n⁵).

6. Правило композиції:

Якщо f(n) = O(g(n)) і g(n) = O(h(n)), то f(g(n)) = O(h(n)).

приклад:

f(n) = n², g(n) = n, h(n) = n³. Тоді f(n) = O(g(n)) і g(n) = O(h(n)). Отже, f(g(n)) = O(h(n)) = O(n³).

рядки java

Загальні позначення великого літери:

Нотація Big-O — це спосіб вимірювання часової та просторової складності алгоритму. Він описує верхню межу складності в найгіршому випадку. Давайте розглянемо різні типи складності часу:

1. Лінійна часова складність: велика O(n) складність

Лінійна складність часу означає, що час виконання алгоритму лінійно зростає зі збільшенням розміру вхідних даних.

Для прикладу розглянемо такий алгоритм проходить через масив, щоб знайти певний елемент :

bool findElement(int arr[], int n, int key) {  for (int i = 0; i < n; i++) {  if (arr[i] == key) {  return true;  }  }  return false; }>

2. Логарифмічна часова складність: велика O(log n) складність

Логарифмічна часова складність означає, що час роботи алгоритму пропорційний логарифму розміру вхідних даних.

Наприклад, a бінарний алгоритм пошуку має логарифмічну часову складність:

int binarySearch(int arr[], int l, int r, int x) {  if (r>= l) { int mid = l + (r - l) / 2;  if (arr[mid] == x) повернути mid;  if (arr[mid]> x) повертає binarySearch(arr, l, mid - 1, x);  return binarySearch(arr, mid + 1, r, x);  } повернути -1; }>

3. Квадратична часова складність: великий O(n²) Складність

Квадратична часова складність означає, що час роботи алгоритму пропорційний квадрату розміру вхідних даних.

Наприклад, простий алгоритм бульбашкового сортування має квадратичну часову складність:

void bubbleSort(int arr[], int n) {  for (int i = 0; i < n - 1; i++) {  for (int j = 0; j < n - i - 1; j++) {  if (arr[j]>arr[j + 1]) { swap(&arr[j], &arr[j + 1]);  } } } }>

4. Складність кубічного часу: великий O(n³) Складність

Кубічна складність часу означає, що час роботи алгоритму пропорційний кубу розміру вхідних даних.

Наприклад, наївний алгоритм множення матриць має кубічну складність часу:

void multiply(int mat1[][N], int mat2[][N], int res[][N]) {  for (int i = 0; i < N; i++) {  for (int j = 0; j < N; j++) {  res[i][j] = 0;  for (int k = 0; k < N; k++)  res[i][j] += mat1[i][k] * mat2[k][j];  }  } }>

5. Поліноміальна часова складність: великий O(n^k) Складність

Поліноміальна часова складність відноситься до часової складності алгоритму, яку можна виразити як поліноміальну функцію від розміру вхідних даних п . У Біг О У нотації кажуть, що алгоритм має поліноміальну часову складність, якщо його часова складність дорівнює O(n ^k ) , де k є константою та представляє ступінь полінома.

Алгоритми з поліноміальною часовою складністю зазвичай вважаються ефективними, оскільки час роботи зростає з прийнятною швидкістю зі збільшенням розміру вхідних даних. Загальні приклади алгоритмів із поліноміальною часовою складністю включають лінійна часова складність O(n) , квадратична часова складність O(n ² ) , і кубічна складність часу O(n ³ ) .

6. Експоненціальна часова складність: великий O(2^п) Складність

Експоненціальна часова складність означає, що час роботи алгоритму подвоюється з кожним додаванням до вхідного набору даних.

Наприклад, проблема о генерування всіх підмножин множини має експоненційну часову складність:

void generateSubsets(int arr[], int n) {  for (int i = 0; i < (1 << n); i++) {  for (int j = 0; j < n; j++) {  if (i & (1 << j)) {  cout << arr[j] << ' ';  }  }  cout << endl;  } }>

Складність факторіального часу: велика O (n!) складність

Факторна часова складність означає, що час роботи алгоритму факторіально зростає із розміром вхідних даних. Це часто спостерігається в алгоритмах, які генерують усі перестановки набору даних.

Ось приклад факторного алгоритму часової складності, який генерує всі перестановки масиву:

void permute(int* a, int l, int r) {  if (l == r) {  for (int i = 0; i <= r; i++) {  cout << a[i] << ' ';  }  cout << endl;  }  else {  for (int i = l; i <= r; i++) {  swap(a[l], a[i]);  permute(a, l + 1, r);  swap(a[l], a[i]); // backtrack  }  } }>

Якщо ми побудуємо найпоширеніші приклади нотації Big O, ми отримаємо такий графік:

Як визначити велике позначення O?

Велика буква O це математична нотація, яка використовується для опису асимптотична поведінка функції, оскільки її вхід зростає нескінченно великим. Він надає спосіб охарактеризувати ефективність алгоритмів і структур даних.

функції arduino

Кроки для визначення нотації великого O:

1. Визначте домінуючий термін:

• Вивчіть функцію та визначте термін із найвищим порядком зростання зі збільшенням розміру вхідних даних.
• Ігноруйте будь-які постійні множники або члени нижчого порядку.

2. Визначте порядок зростання:

• Порядок зростання домінуючого члена визначає позначення великого O.

3. Напишіть велику букву O:

• Нотація Big O записується як O(f(n)), де f(n) представляє домінуючий член.
• Наприклад, якщо домінуючим членом є n^2, позначення Big O буде O(n^2).

4. Спростіть позначення (необов’язково):

• У деяких випадках Бренд Big O n можна спростити, видаливши постійні множники або використовуючи більш стислі записи.
• Наприклад, O(2n) можна спростити до O(n).

приклад:

Функція: f(n) = 3n³+ 2н²+ 5n + 1

1. Домінуючий термін: 3н³
2. Порядок зростання: Кубічний (n³)
3. Велике позначення O: O(n³)
4. Спрощене позначення: O(n³)

Математичні приклади аналізу виконання:

У таблиці нижче показано аналіз часу виконання алгоритмів різних порядків із збільшенням розміру вхідних даних (n).

Алгоритмічні приклади аналізу часу виконання:

У таблиці нижче класифіковано алгоритми на основі їхньої складності виконання та наведено приклади для кожного типу.

Класи алгоритмів з кількістю операцій і часом виконання:

Нижче наведено класи алгоритмів і час їх виконання на комп’ютері 1 мільйон операцій за секунду (1 секунда = 10 ⁶ мкс = 10 ³ мс) :

Порівняння нотації Big O, нотації Big Ω (Омега) і нотації Big θ (Theta):

Нижче наведено таблицю порівняння нотацій Big O, нотацій Ω (Омега) і нотацій θ (Theta):

У кожному позначенні:

• f(n) представляє функцію, що аналізується, як правило, часову складність алгоритму.
• g(n) представляє певну функцію, яка обмежує f(n) .
• C, C1, і C2 є константами.
• п ₀ ​ — мінімальний розмір вхідних даних, за межами якого виконується нерівність.

Ці позначення використовуються для аналізу алгоритмів на їх основі найгірший випадок (Big O) , найкращий випадок (Ω) , і середній випадок (θ) сценарії.

Часті запитання про нотацію Big O:

Питання 1. Що таке велика буква O?

відповідь: Позначення Big O — це математична нотація, яка використовується для опису верхньої межі часової складності алгоритму з точки зору того, як вона зростає відносно розміру вхідних даних.

Питання 2. Чому велика буква O важлива?

відповідь: Це допомагає нам аналізувати та порівнювати ефективність алгоритмів, зосереджуючись на найгіршому сценарії та розуміючи, як їх продуктивність залежить від розміру вхідних даних.

Питання 3. Як розраховується велика O?

відповідь: Нотація Big O визначається визначенням основної операції в алгоритмі та вираженням її часової складності в термінах n, де n представляє розмір вхідних даних.

перетворення цілого числа в рядок

Запитання 4. Що означає O(1) у нотації Big O?

відповідь: O(1) означає постійну часову складність, вказуючи на те, що час виконання алгоритму не змінюється незалежно від розміру вхідних даних.

Запитання 5. Яке значення різних складностей Big O, таких як O(log n) або O(n^2)?

відповідь: Різні параметри складності, такі як O(log n) або O(n^2), показують, як продуктивність алгоритму масштабується зі збільшенням розміру вхідних даних, надаючи розуміння його ефективності та масштабованості.

Запитання 6. Чи можна також застосувати нотацію Big O до складності простору?

відповідь: Так, нотацію Big O також можна використовувати для аналізу та опису складності простору алгоритму, вказуючи, скільки пам’яті йому потрібно відносно розміру вхідних даних.

Пов'язана стаття:

• Приклади Big-O аналізу
• Проектування та аналіз алгоритмів
• Типи асимптотичних позначень в аналізі складності алгоритмів
• Аналіз алгоритмів | Big – Ω (Big- Omega) Нотація
• Аналіз алгоритмів | маленькі о та маленькі позначення омега