Якщо ви вивчаєте тригонометричне чи численне або готуєтеся до цього, вам потрібно буде ознайомитися з одиничним колом. Одиничне коло є важливий інструмент, який використовується для визначення синуса, косинуса та тангенса кута. Але як це працює? І яку інформацію потрібно знати, щоб нею скористатися?
У цій статті ми пояснюємо, що таке одиничне коло і навіщо вам його знати. Ми також даємо вам три поради, які допоможуть вам запам’ятати, як використовувати одиничне коло.
Основне зображення: Густавб /Вікімедіа
Одиничне коло: базовий вступ
Одиничне коло — це коло радіусом 1. Це означає, що для будь-якої прямої лінії, проведеної від центральної точки кола до будь-якої точки вздовж краю кола, довжина цієї лінії завжди дорівнюватиме 1. (Це також означає, що діаметр кола дорівнюватиме 2, оскільки діаметр дорівнює подвоєній довжині радіуса.)
Як правило, центральна точка одиничного кола знаходиться там, де перетинаються вісь x і вісь y, або в координатах (0, 0):
Одиничне коло, або тригонометричне коло, як його ще називають, корисно знати, тому що це дозволяє нам легко обчислити косинус, синус і тангенс будь-якого кута від 0° до 360° (або від 0 до 2π радіан).
Як ви можете бачити на наведеній вище схемі, малюючи радіус під будь-яким кутом (позначений ∝ на зображенні), ви створите прямокутний трикутник. На цьому трикутнику косинус — це горизонтальна лінія, а синус — вертикальна. Іншими словами, косинус =х-координата, і синус = y-координата. (Найдовша лінія трикутника, або гіпотенуза, є радіусом і тому дорівнює 1.)
Чому все це важливо? Пам’ятайте, що ви можете визначити довжину сторін трикутника за допомогою Теорема Піфагора, або $a^2+b^2=c^2$ (в якому a і b — довжини сторін трикутника, а в це довжина гіпотенузи).
Ми знаємо, що косинус кута дорівнює довжині горизонтальної прямої, синус дорівнює довжині вертикальної прямої, а гіпотенуза дорівнює 1. Отже, можна сказати, що формула для будь-якого прямокутного трикутника в одиничному колі має такий вигляд:
$$cos^2θ+sin^2θ=1^2$$
Оскільки ^2=1$, ми можемо спростити це рівняння так:
$$cos^2θ+sin^2θ=1$$
Майте це на увазі ці значення можуть бути негативними залежно від утвореного кута та того, в якому квадранті знаходяться координати x і y (я поясню це докладніше пізніше).
Ось огляд усіх великих кутів у градусах і радіанах на одиничному колі:
Одиничне коло — градуси
Одиниця окружності — радіани
Але що робити, якщо трикутник не утворився? Давайте подивимось що відбувається, коли кут дорівнює 0°, створюючи горизонтальну пряму лінію вздовж осі x:
На цьому рядку координата x дорівнює 1, а координата y дорівнює 0. Ми знаємо, що косинус дорівнює координаті x, а синус дорівнює координаті y, тому ми можемо написати це:
- $cos0°=1$
- $sin0°=0$
А якщо кут дорівнює 90° і утворює абсолютно вертикальну лінію вздовж осі у?
Тут ми бачимо, що координата x дорівнює 0, а координата y дорівнює 1. Це дає нам такі значення для синуса та косинуса:
- $cos90°=0$
- $sin90°=1$
Це гасло точно підходить, якщо ви не любитель математики.
перетворення int у рядок у java
Чому ви повинні знати одиничне коло
Як зазначено вище, одиничне коло є корисним, тому що це дозволяє нам легко знайти синус, косинус або тангенс будь-якого градусу чи радіана. Особливо корисно знати діаграму одиничного кола, якщо вам потрібно розв’язати певні тригонометричні значення для домашнього завдання з математики або якщо ви готуєтеся вивчати обчислення.
Але як саме вам може допомогти знання одиничного кола? Припустімо, ви отримали наступну задачу на тесті з математики — і отримали ні дозволено використовувати калькулятор для її вирішення:
$$sin30°$$
З чого почати? Давайте знову поглянемо на діаграму одиничного кола — цього разу з усіма великими кутами (у градусах і радіанах) та їх відповідними координатами:
Джим.белк /Вікімедіа
Не перевантажуйтеся! Пам’ятайте, що ви розв’язуєте лише $sin30°$. Дивлячись на цю діаграму, ми бачимо це y-координата дорівнює /2$ під кутом 30°. А оскільки y-координата дорівнює синусу, наша відповідь така:
$$sin30°=1/2$$
Але що, якщо ви отримаєте задачу, яка використовує радіани замість градусів? Процес її вирішення залишається незмінним. Скажімо, наприклад, ви отримали проблему, яка виглядає так:
$$cos{{3π}/4}$$
Знову ж таки, використовуючи діаграму вище, ми можемо побачити, що координата x (або косинус) для ${3π}/4$ (що дорівнює 135°) дорівнює $-{√2}/2$. Ось як тоді виглядатиме наша відповідь на цю проблему:
$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$
Усе це досить легко зробити, якщо у вас є наведена вище таблиця одиничних кіл, яку можна використовувати як орієнтир. Але більшість (якщо не весь) час це буде не так, і ви повинні будете відповідати на ці типи математичних запитань, використовуючи лише свій розум.
Отже, як ви можете запам’ятати одиничне коло? Читайте наші головні поради!
Як запам’ятати одиничне коло: 3 важливі поради
У цьому розділі ми даємо вам наші найкращі поради щодо запам’ятовування тригонометричного кола, щоб ви могли з легкістю використовувати його для будь-якої математичної задачі, яка вимагає його.
Я б не рекомендував вправлятися в одиничному колі за допомогою самоклейок, але, привіт, це початок.
№1: Запам'ятайте спільні кути та координати
Щоб ефективно використовувати одиничне коло, вам потрібно запам'ятайте найпоширеніші кути (як у градусах, так і в радіанах), а також їхні відповідні координати x та y.
Діаграма вище є корисною діаграмою з одиничними колами, оскільки вона включає всі великі кути як у градусах, так і в радіанах, на додаток до їхніх відповідних точок координат уздовж осей x та y.
Ось діаграма, що містить ту саму інформацію у формі таблиці:
| Кут (градуси) | Кут (радіани) | Координати точки на колі |
| 0° / 360° | 0 / 2р | (1, 0) |
| 30° | $p/ | $({√3}/2, 1/2)$ |
| 45° | $p/4$ | $({√2}/2, {√2}/2)$ |
| 60° | $p/3$ | $(1/2, {√3}/2)$ |
| 90° | $π/2$ | (0, 1) |
| 120° | ${2π}/3$ | $(-1/2, {√3}/2)$ |
| 135° | ${3π}/4$ | $(-{√2}/2, {√2}/2)$ |
| 150° | ${5π}/6$ | $(-{√3}/2, 1/2)$ |
| 180° | пі | (-1, 0) |
| 210° | /6$ | $(-{√3}/2, -1/2)$ |
| 225° | ${5π}/4$ | $(-{√2}/2, -{√2}/2)$ |
| 240° | ${4π}/3$ | $(-1/2, -{√3}/2)$ |
| 270° | ${3π}/2$ | (0, -1) |
| 300° | ${5π}/3$ | $(1/2, -{√3}/2)$ |
| 315° | ${7π}/4$ | $({√2}/2, -{√2}/2)$ |
| 330° | ${11π}/6$ | $({√3}/2, -1/2)$ |
Тепер, хоча ви більше ніж можете спробувати запам’ятати всі ці координати та кути, це багато пам'ятати.
На щастя, є трюк, який допоможе вам запам’ятати найважливіші частини одиничного кола.
Подивіться на координати вище, і ви помітите чітку схему: усі точки (за винятком тих, що знаходяться під кутом 0°, 90°, 270° та 360°) чергувати лише три значення (додатні чи від’ємні):
- /2$
- ${√2}/2$
- ${√3}/2$
Кожне значення відповідає коротка, середня або довга лінія для косинуса та синуса:
дата для рядка
Ось що означають ці довжини:
- 30° / $p/
- 45° / $p/4$
- 60° / $p/3$
- $sin45°$
- $cos240°$
- $cos{5π}/3$
- $ an{2π}/3$
- ${√2}/2$
- $-1/2$
- /2$
- $-√3$
- Утворюється кут 45° вертикальна лінія середньої довжини (для їх)
- Утворює кут 240° коротка горизонтальна лінія (для косинуса)
Наприклад, якщо ви намагаєтесь розв’язати $cos{π/3}$, вам слід одразу знати, що цей кут (який дорівнює 60°) означає коротка горизонтальна лінія на одиничному колі. тому його відповідна x-координата має дорівнювати /2$ (додатне значення, оскільки $π/3$ створює точку в першому квадранті системи координат).
Нарешті, хоча це корисно запам’ятати всі кути в таблиці вище, зауважте це Безумовно, найважливішими кутами, які слід пам’ятати, є наступні:
Ставтеся до негативів і позитивів так само, як до кабелів, які потенційно можуть вбити вас, якщо їх підключити неправильно.
№2: Дізнайтеся, що є негативним, а що позитивним
Дуже важливо вміти розрізняти додатні та від’ємні координати x і y, щоб знайти правильне значення для проблеми тригонометрії. Нагадуємо, в Від того, додатною чи від’ємною буде координата на одиничному колі під який квадрант (I, II, III або IV) знаходиться точка:
Ось діаграма, яка показує, чи буде координата додатною чи від’ємною залежно від квадранта, в якому знаходиться певний кут (у градусах або радіанах):
| Квадрант | X-координата (косинус) | Y-координата (синус) |
| я | + | + |
| II | − | + |
| III | − | − |
| IV | + | − |
Наприклад, припустімо, що на тесті з математики вам дали таку задачу:
$$cos210°$$
Перш ніж навіть спробувати її вирішити, ви повинні бути в змозі визнати, що відповідь буде від'ємне число оскільки кут 210° припадає на квадрант III (де знаходяться координати x завжди негативний).
Тепер, використовуючи трюк, який ми навчилися в підказці 1, ви можете зрозуміти, що кут 210° створює довга горизонтальна лінія. Тому наша відповідь така:
$$cos210°=-{√3}/2$$
№3: Знайте, як розв’язувати дотичну
Нарешті, важливо знати, як використовувати всю цю інформацію про тригонометричне коло, синус і косинус, щоб мати можливість знайти тангенс кута.
У тригонометрії, щоб знайти тангенс кута θ (у градусах або радіанах), ви просто розділити синус на косинус:
$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$
Наприклад, скажімо, ви намагаєтеся відповісти на цю проблему:
$$ an300°$$
Перший крок — скласти рівняння через синус і косинус:
$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$
Тепер, щоб знайти тангенс, нам потрібно знайти синус і косинус 300°. Ви повинні швидко розпізнати, що кут 300° припадає на четвертий квадрант, тобто косинус, або координата x, буде додатним, а синус, або координата y, буде від’ємним.
Ви також повинні це відразу знати створює кут 300° коротка горизонтальна лінія і довга вертикальна лінія. Таким чином, косинус (горизонтальна лінія) дорівнюватиме /2$, а синус (вертикальна лінія) дорівнюватиме $-{√3}/2$ (негативне значення y, оскільки ця точка знаходиться в квадранті IV) .
Тепер, щоб знайти тангенс, все, що вам потрібно зробити, це підключити та вирішити:
$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2}$$
$$ an300°=-√3$$
Час відпрацювати свої математичні навички!
Набір практичних запитань Unit Circle
Тепер, коли ви знаєте, як виглядає одиничне коло і як ним користуватися, давайте перевіримо те, що ви навчилися, за допомогою кількох практичних завдань.
Питання
Відповіді
Відповідь Пояснення
№1: $sin45°$
З цією проблемою є дві частини інформації, які ви повинні бути в змозі визначити відразу:
Оскільки 45° вказує на позитивну лінію середньої довжини, правильна відповідь ${√2}/2$.
Якщо ви не знаєте, як це зрозуміти, намалюйте діаграму, яка допоможе вам визначити, чи буде довжина лінії короткою, середньою чи довгою.
№2: $cos240°$
Подібно до задачі №1 вище, є дві частини інформації, які ви повинні швидко зрозуміти в цій задачі:
Оскільки 240° вказує на негативну коротку лінію, правильна відповідь $-1/2$.
#3: $cos{5π}/3$
На відміну від проблем, наведених вище, ця проблема використовує радіан замість ступенів. Хоча через це проблема може виглядати складнішою для вирішення, насправді вона використовує ті самі основні кроки, що й дві інші проблеми.
По-перше, вам слід визнати, що кут ${5π}/3$ знаходиться в квадранті IV, тому координата x або косинус буде позитивне число. Ви також повинні вміти це сказати${5π}/3$створює коротка горизонтальна лінія.
Це дає вам достатньо інформації, щоб це визначити в відповідь така /2$.
#4: $ an{2π}/3$
Ця задача стосується тангенса, а не синусу чи косинуса, що означає, що з нашого боку потрібно трохи більше математики. По-перше, згадайте основна формула для знаходження тангенса:
$$ an θ={sin θ}/{cos θ}$$
Тепер давайте візьмемо ступінь, який ми отримали — ${2π}/3$— і підключіть його до цього рівняння:
$$ an {2π}/3={sin {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$
Тепер ви зможете розв’язувати синус і косинус окремо, використовуючи те, що ви запам’ятали про одиничне коло. Оскільки кут ${2π}/3$ знаходиться в квадранті II, координата x (або косинус) буде негативною, а координата y (або синус) буде додатною.
Далі ви зможете визначити, виходячи лише з кута горизонтальної лінії коротка лінія, а вертикальна лінія є довга черга. Це означає, що косинус дорівнює $-1/2$, а синус дорівнює ${√3}/2$.
Тепер, коли ми знайшли ці значення, все, що нам потрібно зробити, це підключити їх до нашого початкового рівняння та знайти тангенс:
$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2}$$
$$ an {2π}/3=-√3$$
Що далі?
Якщо ви незабаром складатимете SAT або ACT, вам знадобиться знати певні триговірки, щоб мати змогу успішно вивчати математику. Ознайомтеся з нашими експертними посібниками, щоб запустити SAT і ACT, щоб ви могли дізнатися саме те, що вам потрібно знати в день іспиту!
Окрім запам’ятовування одиничного кола, було б гарною ідеєю навчитися вставляти числа та відповіді. Прочитайте наші посібники, щоб дізнатися все про ці дві корисні стратегії, які ви можете використовувати на будь-якому тесті з математики, включаючи SAT і ACT!